Действие тора - Torus action - Wikipedia

В алгебраической геометрии a действие тора на алгебраическое многообразие это групповое действие из алгебраический тор по разнообразию. Разновидность, оснащенная действием тора Т называется Т-разнообразие. В дифференциальной геометрии рассматривается действие действительного или комплексного тора на многообразии (или орбифолд ).

А нормальный алгебраическое многообразие с тором, действующим на нем таким образом, что существует плотная орбита, называется торическое разнообразие (например, нормальные замыкания орбит являются торическими многообразиями).

Линейное действие тора

А линейное действие тора можно одновременно диагонализовать, после расширения базового поля, если необходимо: если тор Т действует в конечномерном векторном пространстве V, то существует разложение в прямую сумму:

${\displaystyle V=\bigoplus _{\chi }V_{\chi }}$

куда

• ${\displaystyle \chi :T\to \mathbb {G} _{m}}$ является гомоморфизмом групп, характером Т.
• ${\displaystyle V_{\chi }=\{v\in V|t\cdot v=\chi (t)v\}}$, Т-инвариантное подпространство, называемое весовым подпространством веса ${\displaystyle \chi }$.

Разложение существует, потому что линейное действие определяет (и определяется) линейное представление ${\displaystyle \pi :T\to \operatorname {GL} (V)}$ а потом ${\displaystyle \pi (T)}$ состоит из поездок на работу диагонализуемые линейные преобразования, при расширении базового поля.

Если V не имеет конечной размерности, существование такого разложения сложно, но один простой случай, когда разложение возможно, - это когда V является объединением конечномерных представлений (${\displaystyle \pi }$ называется рациональный; см. ниже пример). В качестве альтернативы можно использовать функциональный анализ; например, использует Прямая сумма в гильбертовом пространстве.

Пример: Позволять ${\displaystyle S=k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$ кольцо многочленов над бесконечным полем k. Позволять ${\displaystyle T=\mathbb {G} _{m}^{r}}$ действовать как автоморфизмы алгебры автор: для ${\displaystyle t=(t_{1},\dots ,t_{r})\in T}$

${\displaystyle t\cdot x_{i}=\chi _{i}(t)x_{i}}$

куда

${\displaystyle \chi _{i}(t)=t_{1}^{\alpha _{i,1}}\dots t_{r}^{\alpha _{i,r}},}$ ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$ = целые числа.

Тогда каждый ${\displaystyle x_{i}}$ это Т-весовой вектор и, следовательно, моном ${\displaystyle x_{0}^{m_{0}}\dots x_{r}^{m_{r}}}$ это Т-весовой вектор веса ${\displaystyle \sum m_{i}\chi _{i}}$. Следовательно,

${\displaystyle S=\bigoplus _{m_{0},\dots m_{n}\geq 0}S_{m_{0}\chi _{0}+\dots +m_{n}\chi _{n}}.}$

Обратите внимание, если ${\displaystyle \chi _{i}(t)=t}$ для всех я, то это обычное разложение кольца многочленов на однородные компоненты.

Разложение Бялыницкого-Бирулы

Разложение Бялыницкого-Бирулы говорит, что гладкая алгебраическая Т-разнообразие допускает Т-стабильный клеточное разложение.

Его часто называют алгебраическим Теория Морса.^[1]

Смотрите также

• Теорема Сумихиро
• ГКМ сорт
• Эквивариантные когомологии
• мономиальный идеал

Рекомендации

1. http://blog.konradvoelkel.de/2013/04/bialynicki-birula-decomposition/

• Альтманн, Клаус; Илтен, Натан Оуэн; Петерсен, Ларс; Зюсс, Хендрик; Фоллмерт, Роберт (2012-08-15). «Геометрия Т-многообразий». arXiv:1102.5760. Дои:10.4171/114. ISBN  978-3-03719-114-9.
• А. Бялыницки-Бирула, "Некоторые теоремы о действиях алгебраических групп", Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 98, № 3 (ноябрь 1973 г.), стр. 480–497
• М. Брион, К. Прочези, Action d'un tore dans une varété projective, в Операторные алгебры, унитарные представления и теория инвариантов (Париж, 1989), Prog. по математике. 92 (1990), 509–539.