Следы неравенства - Trace inequality - Wikipedia

В математика, есть много видов неравенство с участием матрицы и линейные операторы на Гильбертовы пространства. В статье рассматриваются некоторые важные операторные неравенства, связанные с следы матриц.^[1][2][3][4]

Основные определения

Позволять ЧАС_п обозначим пространство Эрмитский п×п матрицы, ЧАС_п⁺ обозначим множество, состоящее из положительный полуопределенный п×п Эрмитовы матрицы и ЧАС_п⁺⁺ обозначим множество положительно определенный Эрмитовы матрицы. Для операторов в бесконечномерном гильбертовом пространстве мы требуем, чтобы они были класс трассировки и самосопряженный, и в этом случае применяются аналогичные определения, но для простоты мы обсуждаем только матрицы.

Для любой действительной функции ж на интервале я ⊂ ℝ, можно определить матричная функция f (А) для любого оператора А ∈ ЧАС_п с собственные значения λ в я путем определения его на собственных значениях и соответствующих проекторы п в качестве

${\displaystyle f(A)\equiv \sum _{j}f(\lambda _{j})P_{j}~,}$ Учитывая спектральное разложение ${\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}.}$

Оператор монотонный

Основная статья: Операторная монотонная функция

Функция ж: я → ℝ определенный на интервале я ⊂ ℝ называется оператор монотонный если ∀п, и все А, Б ∈ ЧАС_п с собственными значениями в я, имеет место

${\displaystyle A\geq B\Rightarrow f(A)\geq f(B),}$

где неравенство А ≥ В означает, что оператор А − B ≥ 0 положительно полуопределенный. Можно проверить, что f (A) = A² на самом деле нет оператор монотонный!

Оператор выпуклый

Функция ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }$ как говорят оператор выпуклый если для всех ${\displaystyle n}$ и все А, Б ∈ ЧАС_п с собственными значениями в я, и ${\displaystyle 0<\lambda <1}$, имеет место

${\displaystyle f(\lambda A+(1-\lambda )B)\leq \lambda f(A)+(1-\lambda )f(B).}$

Обратите внимание, что оператор ${\displaystyle \lambda A+(1-\lambda )B}$ имеет собственные значения в ${\displaystyle I}$, поскольку ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ иметь собственные значения в я.

Функция ${\displaystyle f}$ является оператор вогнутый если ${\displaystyle -f}$ операторно выпуклый, т. е. приведенное выше неравенство для ${\displaystyle f}$ обратный.

Выпуклость суставов

Функция ${\displaystyle g:I\times J\rightarrow \mathbb {R} }$, определенные на интервалах ${\displaystyle I,J\subset \mathbb {R} }$ как говорят совместно выпуклый если для всех ${\displaystyle n}$ и все${\displaystyle A_{1},A_{2}\in \mathbf {H} _{n}}$ с собственными значениями в ${\displaystyle I}$ и все ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in \mathbf {H} _{n}}$ с собственными значениями в ${\displaystyle J}$, и любые ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$ следующее имеет место

${\displaystyle g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})\leq \lambda g(A_{1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).}$

Функция грамм является совместно вогнутый если -грамм является совместно выпуклым, т. е. приведенное выше неравенство для грамм обратный.

Функция трассировки

Учитывая функцию ж: ℝ → ℝ ассоциированный функция трассировки на ЧАС_п дан кем-то

${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j}),}$

куда А имеет собственные значения λ а Tr означает a след оператора.

Выпуклость и монотонность следовой функции.

Позволять ж: ℝ → ℝ непрерывно, и пусть п быть любым целым числом. Тогда, если ${\displaystyle t\mapsto f(t)}$ монотонно возрастает, поэтому ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)}$ на ЧАС_п.

Аналогично, если ${\displaystyle t\mapsto f(t)}$ является выпуклый, так это ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)}$ на ЧАС_п, и он строго выпуклый, если ж строго выпуклый.

См. Доказательства и обсуждение в,^[1] Например.

Теорема Лёвнера – Хайнца

За ${\displaystyle -1\leq p\leq 0}$, функция ${\displaystyle f(t)=-t^{p}}$ является операторно монотонным и операторно вогнутым.

За ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$, функция ${\displaystyle f(t)=t^{p}}$ является операторно монотонным и операторно вогнутым.

За ${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$, функция ${\displaystyle f(t)=t^{p}}$ операторно выпуклый. Более того,

${\displaystyle f(t)=\log(t)}$ оператор вогнутый и оператор монотонный, а

${\displaystyle f(t)=t\log(t)}$ операторно выпуклый.

Первоначальное доказательство этой теоремы принадлежит К. Лёвнер который дал необходимое и достаточное условие для ж быть операторно монотонным.^[5] Элементарное доказательство теоремы обсуждается в ^[1] и более общая его версия в формате.^[6]

Неравенство Клейна

Для всех эрмитов п×п матрицы А и B и все дифференцируемые выпуклые функцииж: ℝ → ℝ с производная f ' , или для всех положительно определенных эрмитовых п×п матрицы А и B, и все дифференцируемые выпуклые функции ж: (0, ∞) → ℝ выполняется неравенство

${\displaystyle \operatorname {Tr} [f(A)-f(B)-(A-B)f'(B)]\geq 0~.}$

В любом случае, если ж строго выпукло, равенство выполняется тогда и только тогда, когда А = B.Популярным выбором в приложениях является ж(т) = т бревно т, Смотри ниже.

Доказательство

Позволять ${\displaystyle C=A-B}$ так что для ${\displaystyle t\in (0,1)}$,

${\displaystyle B+tC=(1-t)B+tA}$,

варьируется от ${\displaystyle B}$ к ${\displaystyle A}$.

Определять

${\displaystyle F(t)=\operatorname {Tr} [f(B+tC)]}$.

В силу выпуклости и монотонности следовых функций ${\displaystyle F(t)}$ выпуклый, и поэтому для всех ${\displaystyle t\in (0,1)}$,

${\displaystyle F(0)+t(F(1)-F(0))\geq F(t)}$,

который,

${\displaystyle F(1)-F(0)\geq {\frac {F(t)-F(0)}{t}}}$,

и, по сути, правая часть монотонно убывает по ${\displaystyle t}$.

Принимая предел ${\displaystyle t\to 0}$ урожайность,

${\displaystyle F(1)-F(0)\geq F'(0)}$,

что с перестановкой и заменой является неравенством Клейна:

${\displaystyle \mathrm {tr} [f(A)-f(B)-(A-B)f'(B)]\geq 0}$

Обратите внимание, что если ${\displaystyle f(t)}$ строго выпуклый и ${\displaystyle C\neq 0}$, тогда ${\displaystyle F(t)}$ строго выпуклый. Окончательное утверждение следует из этого и того факта, что ${\displaystyle {\tfrac {F(t)-F(0)}{t}}}$ монотонно убывает по ${\displaystyle t}$.

Неравенство Голдена – Томпсона

Основная статья: Неравенство Голдена – Томпсона

В 1965 г. С. Голден ^[7] и Си Джей Томпсон ^[8] независимо обнаружил, что

Для любых матриц ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}}$,

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{A+B}\leq \operatorname {Tr} e^{A}e^{B}.}$

Это неравенство можно обобщить для трех операторов:^[9] для неотрицательных операторов ${\displaystyle A,B,C\in \mathbf {H} _{n}^{+}}$,

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{\ln A-\ln B+\ln C}\leq \int _{0}^{\infty }dt\,\operatorname {Tr} A(B+t)^{-1}C(B+t)^{-1}.}$

Неравенство Пайерлса – Боголюбова.

Позволять ${\displaystyle R,F\in \mathbf {H} _{n}}$ быть таким, что Tr e^р = 1. Определение грамм = Tr Fe^р, у нас есть

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{F}e^{R}\geq \operatorname {Tr} e^{F+R}\geq e^{g}.}$

Доказательство этого неравенства следует из сказанного выше в сочетании с Неравенство Клейна. Брать ж(Икс) = ехр (Икс), А=р + F, и B = р + gI.^[10]

Вариационный принцип Гиббса

Позволять ${\displaystyle H}$ - самосопряженный оператор такой, что ${\displaystyle e^{-H}}$ является класс трассировки. Тогда для любого ${\displaystyle \gamma \geq 0}$ с ${\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma =1,}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma H+\operatorname {Tr} \gamma \ln \gamma \geq -\ln \operatorname {Tr} e^{-H},}$

с равенством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \gamma =\exp(-H)/\operatorname {Tr} \exp(-H).}$

Теорема Либа о вогнутости

Следующая теорема была доказана Э. Х. Либ в.^[9] Он доказывает и обобщает гипотезу Э. П. Вигнера, М. М. Янасе и Ф. Дж. Дайсона.^[11] Шесть лет спустя Т. Андо дал другие доказательства. ^[12] и Б. Саймон,^[3] и с тех пор было дано еще несколько.

Для всех ${\displaystyle m\times n}$ матрицы ${\displaystyle K}$, и все ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle r}$ такой, что ${\displaystyle 0\leq q\leq 1}$ и ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$, с ${\displaystyle q+r\leq 1}$ настоящая карта на ${\displaystyle \mathbf {H} _{m}^{+}\times \mathbf {H} _{n}^{+}}$ данный

${\displaystyle F(A,B,K)=\operatorname {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{r})}$

• совместно вогнута в ${\displaystyle (A,B)}$
• выпуклый в ${\displaystyle K}$.

Здесь ${\displaystyle K^{*}}$ стоит за сопряженный оператор из ${\displaystyle K.}$

Теорема Либа

Для фиксированной эрмитовой матрицы ${\displaystyle L\in \mathbf {H} _{n}}$, функция

${\displaystyle f(A)=\operatorname {Tr} \exp\{L+\ln A\}}$

вогнутый на ${\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{++}}$.

Теорема и доказательство принадлежат Э. Х. Либу,^[9] Теорема 6, где он получает эту теорему как следствие теоремы Либа о вогнутости. Наиболее прямое доказательство принадлежит Х. Эпштейну;^[13] см. M.B. Рускайские бумаги,^[14][15] для обзора этого аргумента.

Теорема Андо о выпуклости

Доказательство Т. Андо ^[12] из Теорема Либа о вогнутости привели к следующему значительному дополнению к нему:

Для всех ${\displaystyle m\times n}$ матрицы ${\displaystyle K}$, и все ${\displaystyle 1\leq q\leq 2}$ и ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ с ${\displaystyle q-r\geq 1}$, действительная карта на ${\displaystyle \mathbf {H} _{m}^{++}\times \mathbf {H} _{n}^{++}}$ данный

${\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{-r})}$

выпуклый.

Совместная выпуклость относительной энтропии

Для двух операторов ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}^{++}}$ определите следующую карту

${\displaystyle R(A\parallel B):=\operatorname {Tr} (A\log A)-\operatorname {Tr} (A\log B).}$

За матрицы плотности ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \sigma }$, карта ${\displaystyle R(\rho \parallel \sigma )=S(\rho \parallel \sigma )}$ это Умегаки квантовая относительная энтропия.

Обратите внимание, что неотрицательность ${\displaystyle R(A\parallel B)}$ следует из неравенства Клейна с ${\displaystyle f(t)=t\log t}$.

Заявление

Карта ${\displaystyle R(A\parallel B):\mathbf {H} _{n}^{++}\times \mathbf {H} _{n}^{++}\rightarrow \mathbf {R} }$ совместно выпуклый.

Доказательство

Для всех ${\displaystyle 0<p<1}$

, ${\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})}$ совместно вогнутая, Теорема Либа о вогнутости, и поэтому

${\displaystyle (A,B)\mapsto {\frac {1}{p-1}}(\operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})-\operatorname {Tr} A)}$

выпуклый. Но

${\displaystyle \lim _{p\rightarrow 1}{\frac {1}{p-1}}(\operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})-\operatorname {Tr} A)=R(A\parallel B),}$

и в пределе выпуклость сохраняется.

Доказательство принадлежит Г. Линдбладу.^[16]

Оператор Дженсена и неравенства следов

Операторская версия Неравенство Дженсена принадлежит К. Дэвису.^[17]

Непрерывная действительная функция ${\displaystyle f}$ на интервале ${\displaystyle I}$ удовлетворяет Неравенство оператора Дженсена если выполняется следующее

${\displaystyle f\left(\sum _{k}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}\right)\leq \sum _{k}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k},}$

для операторов ${\displaystyle \{A_{k}\}_{k}}$ с ${\displaystyle \sum _{k}A_{k}^{*}A_{k}=1}$ и для самосопряженные операторы ${\displaystyle \{X_{k}\}_{k}}$ с спектр на ${\displaystyle I}$.

Видеть,^[17][18] для доказательства следующих двух теорем.

Следовое неравенство Дженсена

Позволять ж - непрерывная функция, определенная на интервале я и разреши м и п быть натуральными числами. Если ж выпукло, то справедливо неравенство

${\displaystyle \operatorname {Tr} {\Bigl (}f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}{\Bigr )}{\Bigr )}\leq \operatorname {Tr} {\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k}{\Bigr )},}$

для всех (Икс₁, ... , Икс_п) самосопряженный м × м матрицы со спектрами, содержащимися в я и все (А₁, ... , А_п) из м × м матрицы с

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.}$

Наоборот, если указанное выше неравенство выполняется для некоторого п и м, куда п > 1, тогда ж выпуклый.

Неравенство оператора Дженсена

Для непрерывной функции ${\displaystyle f}$ определенный на интервале ${\displaystyle I}$ следующие условия эквивалентны:

• ${\displaystyle f}$ операторно выпуклый.
• Для каждого натурального числа ${\displaystyle n}$ у нас есть неравенство

${\displaystyle f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}{\Bigr )}\leq \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k},}$

для всех ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$ ограниченные самосопряженные операторы на произвольной Гильбертово пространство ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ со спектрами, содержащимися в ${\displaystyle I}$ и все ${\displaystyle (A_{1},\ldots ,A_{n})}$ на ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ с ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.}$

• ${\displaystyle f(V^{*}XV)\leq V^{*}f(X)V}$ для каждой изометрии ${\displaystyle V}$ на бесконечномерном гильбертовом пространстве ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ и

каждый самосопряженный оператор ${\displaystyle X}$ со спектром в ${\displaystyle I}$.

• ${\displaystyle Pf(PXP+\lambda (1-P))P\leq Pf(X)P}$ для каждой проекции ${\displaystyle P}$ на бесконечномерном гильбертовом пространстве ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, каждый самосопряженный оператор ${\displaystyle X}$ со спектром в ${\displaystyle I}$ и каждый ${\displaystyle \lambda }$ в ${\displaystyle I}$.

Неравенство Араки – Либа – Тирринга.

Э. Х. Либ и В. Э. Тирринг доказали следующее неравенство в ^[19] в 1976: Для любого ${\displaystyle A\geq 0}$, ${\displaystyle B\geq 0}$ и ${\displaystyle r\geq 1,}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB)^{r})\leq \operatorname {Tr} (B^{r}A^{r}B^{r}).}$

В 1990 г. ^[20] Х. Араки обобщил полученное выше неравенство на следующее: для любого ${\displaystyle A\geq 0}$, ${\displaystyle B\geq 0}$ и ${\displaystyle q\geq 0,}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB)^{rq})\leq \operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q}),}$ за ${\displaystyle r\geq 1,}$

и

${\displaystyle \operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q})\leq \operatorname {Tr} ((BAB)^{rq}),}$ за ${\displaystyle 0\leq r\leq 1.}$

Неравенство Либа – Тирринга также имеет следующее обобщение:^[21] для любого ${\displaystyle A\geq 0}$, ${\displaystyle B\geq 0}$ и ${\displaystyle \alpha \in [0,1],}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha }B)\leq \operatorname {Tr} (B^{2}AB^{2}).}$

Теорема Эффроса и ее расширение

Э. Эффрос в ^[22] доказал следующую теорему.

Если ${\displaystyle f(x)}$ - операторная выпуклая функция, а ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle R}$ являются коммутирующими ограниченными линейными операторами, т. е. коммутатор ${\displaystyle [L,R]=LR-RL=0}$, то перспектива

${\displaystyle g(L,R):=f(LR^{-1})R}$

совместно выпукло, т. е. если ${\displaystyle L=\lambda L_{1}+(1-\lambda )L_{2}}$ и ${\displaystyle R=\lambda R_{1}+(1-\lambda )R_{2}}$ с ${\displaystyle [L_{i},R_{i}]=0}$ (i = 1,2), ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$,

${\displaystyle g(L,R)\leq \lambda g(L_{1},R_{1})+(1-\lambda )g(L_{2},R_{2}).}$

Эбадиан и др. позже неравенство распространилось на случай, когда ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle R}$ не ездить на работу. ^[23]

Следовое неравенство фон Неймана и связанные с ним результаты

Следовое неравенство фон Неймана, названное в честь его создателя Джон фон Нейман, утверждает, что для любого п × п комплексные матрицы А, B с сингулярные значения ${\displaystyle \alpha _{1}\geq \alpha _{2}\geq \cdots \geq \alpha _{n}}$ и ${\displaystyle \beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \cdots \geq \beta _{n}}$ соответственно,^[24]

${\displaystyle \left|\operatorname {Tr} (AB)\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\beta _{i}\,.}$

Простым следствием этого является следующий результат^[25]: За эрмитский п × п положительно полуопределенные комплексные матрицы А, B где сейчас собственные значения сортируются по убыванию (${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}}$, соответственно),

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i+1}\leq \operatorname {Tr} (AB)\leq \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\,.}$

Смотрите также

• энтропия фон Неймана
• Неравенство Либа – Тирринга
• Теорема Шура – ​​Хорна

Рекомендации

1. Э. Карлен, Следовые неравенства и квантовая энтропия: вводный курс, Contemp. Математика. 529 (2010) 73–140 Дои:10.1090 / conm / 529/10428
2. Р. Бхатия, Матричный анализ, Springer, (1997).
3. Б. Саймон, Идеалы трассировки и их приложения, Cambridge Univ. Press, (1979); Второе издание. Амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд (2005).
4. М. Охя, Д. Петц, Квантовая энтропия и ее использование, Springer, (1993).
5. Лёвнер, Карл (1934). «Убер монотонный Matrixfunktionen». Mathematische Zeitschrift (на немецком). ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 38 (1): 177–216. Дои:10.1007 / bf01170633. ISSN  0025-5874. S2CID  121439134.
6. W.F. Донохью младший, Монотонные матричные функции и аналитическое продолжение, Спрингер, (1974).
7. Голден, Сидней (1965-02-22). «Нижние оценки функции Гельмгольца». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 137 (4B): B1127 – B1128. Дои:10.1103 / Physrev.137.b1127. ISSN  0031-899X.
8. Томпсон, Колин Дж. (1965). «Неравенство с приложениями в статистической механике». Журнал математической физики. Издательство AIP. 6 (11): 1812–1813. Дои:10.1063/1.1704727. ISSN  0022-2488.
9. Либ, Эллиотт H (1973). «Выпуклые функции следа и гипотеза Вигнера-Янасе-Дайсона». Успехи в математике. Elsevier BV. 11 (3): 267–288. Дои:10.1016 / 0001-8708 (73) 90011-х. ISSN  0001-8708.
10. Д. Рюэль, Статистическая механика: точные результаты, World Scient. (1969).
11. Wigner, Eugene P .; Янасэ, Муцуо М. (1964). «О положительной полуопределенной природе одного матричного выражения». Канадский математический журнал. Канадское математическое общество. 16: 397–406. Дои:10.4153 / cjm-1964-041-x. ISSN  0008-414X.
12. Андо, Т. (1979). «Вогнутость некоторых отображений на положительно определенных матрицах и приложения к произведениям Адамара». Линейная алгебра и ее приложения. Elsevier BV. 26: 203–241. Дои:10.1016/0024-3795(79)90179-4. ISSN  0024-3795.
13. Эпштейн, Х. (1973). «Замечания к двум теоремам Э. Либа». Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 31 (4): 317–325. Дои:10.1007 / bf01646492. ISSN  0010-3616. S2CID  120096681.
14. Рускай, Мэри Бет (2002). «Неравенства для квантовой энтропии: обзор с условиями равенства». Журнал математической физики. Издательство AIP. 43 (9): 4358–4375. arXiv:Quant-ph / 0205064. Дои:10.1063/1.1497701. ISSN  0022-2488. S2CID  3051292.
15. Рускай, Мэри Бет (2007). «Еще одно краткое и элементарное доказательство сильной субаддитивности квантовой энтропии». Доклады по математической физике. Elsevier BV. 60 (1): 1–12. arXiv:Quant-ph / 0604206. Дои:10.1016 / с0034-4877 (07) 00019-5. ISSN  0034-4877. S2CID  1432137.
16. Линдблад, Горан (1974). «Ожидания и энтропийные неравенства для конечных квантовых систем». Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 39 (2): 111–119. Дои:10.1007 / bf01608390. ISSN  0010-3616. S2CID  120760667.
17. К. Дэвис, Неравенство Шварца для выпуклых операторных функций, Proc. Амер. Математика. Soc. 8, 42–44, (1957).
18. Хансен, Франк; Педерсен, Герт К. (2009-06-09). «Неравенство оператора Дженсена». Бюллетень Лондонского математического общества. 35 (4): 553–564. arXiv:математика / 0204049. Дои:10.1112 / с0024609303002200. ISSN  0024-6093. S2CID  16581168.
19. EH Lieb, WE Thirring, Неравенства для моментов собственных значений гамильтониана Шредингера и их связь с неравенствами Соболева, Исследования по математической физике, под редакцией Э. Либа, Б. Саймона и А. Уайтмана, Princeton University Press, 269– 303 (1976).
20. Араки, Хузихиро (1990). «О неравенстве Либа и Тирринга». Письма по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 19 (2): 167–170. Дои:10.1007 / bf01045887. ISSN  0377-9017. S2CID  119649822.
21. З. Аллен-Чжу, Й. Ли, Л. Ореккья, Использование оптимизации для получения независимого от ширины, параллельного, более простого и быстрого положительного решателя SDP, в Симпозиуме ACM-SIAM по дискретным алгоритмам, 1824–1831 (2016).
22. Эффрос, Э. Г. (21 января 2009 г.). «Матричный подход к некоторым известным квантовым неравенствам». Труды Национальной академии наук США. Труды Национальной академии наук. 106 (4): 1006–1008. arXiv:0802.1234. Дои:10.1073 / pnas.0807965106. ISSN  0027-8424. ЧВК  2633548. PMID  19164582.
23. Ebadian, A .; Никуфар, I .; Эшаги Горджи, М. (18.04.2011). «Перспективы матричных выпуклых функций». Труды Национальной академии наук. Труды Национальной академии наук США. 108 (18): 7313–7314. Дои:10.1073 / pnas.1102518108. ISSN  0027-8424.
24. Мирский, Л. (декабрь 1975). «След неравенства Джона фон Неймана». Monatshefte für Mathematik. 79 (4): 303–306. Дои:10.1007 / BF01647331. S2CID  122252038.
25. Маршалл, Альберт В .; Олкин, Инграм; Арнольд, Барри (2011). Неравенства: теория мажоризации и ее приложения (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п.340 -341. ISBN  978-0-387-68276-1.

• Scholarpedia основной источник.