Метод Треффца - Trefftz method

В математика, то Метод Треффца это метод для численное решение из уравнения в частных производных названный в честь Немецкий математик Эрих Треффц(де ) (1888–1937). Он попадает в класс методы конечных элементов.

Введение

Гибридный метод конечных элементов Треффца значительно продвинулся с момента его появления около 30 лет назад.[1][когда? ] Традиционный метод анализа конечных элементов включает преобразование дифференциальное уравнение что превращает проблему в вариационный функциональный из которых можно найти узловые свойства элемента, известные как переменные поля. Это может быть решено путем подстановки приближенных решений дифференциального уравнения и создания конечного элемента матрица жесткости который сочетается со всеми элементами в континуум для получения глобальной матрицы жесткости.[2] Применение соответствующих граничные условия к этой глобальной матрице, и последующее решение поле переменные завершают математический процесс, после которого численные вычисления могут использоваться для решения реальных инженерных задач.[1][3]

Важный аспект решения функционала требует от нас найти решения, которые удовлетворяют заданным граничным условиям и удовлетворяют межэлементным непрерывность поскольку мы независимо определяем свойства каждого элемента домен.[1]

Гибридный метод Треффца отличается от обычного метода конечных элементов предполагаемым поля смещения и формулировка вариационного функционала. В отличие от обычного метода (основанного на математической технике Рэлея-Ритца) метод Треффца (основанный на математической технике Треффца) предполагает, что поле смещения состоит из двух независимых компонентов; поле смещения внутри элемента, которое удовлетворяет основному дифференциальному уравнению и используется для аппроксимации изменения потенциала в области элемента, и соответствующее поле кадра, которое, в частности, удовлетворяет условию непрерывности между элементами, определенному на границе элемента. Поле кадра здесь такое же, как и в обычном методе конечных элементов, но определено строго на границе элемента - отсюда и использование термина «гибрид» в номенклатуре метода. Таким образом, вариационный функционал должен включать дополнительные члены для учета граничных условий, поскольку предполагаемое поле решения удовлетворяет только основному дифференциальному уравнению.[1][3]

Преимущества перед традиционным методом конечных элементов

Основными преимуществами гибридного метода Треффца перед традиционным методом являются:

  1. формулировка требует интеграция только по границам элемента, что позволяет использовать изогнутую сторону или многочлен формы, которые будут использоваться для границы элемента,
  2. представляет основы разложения для элементов, которые не удовлетворяют межэлементной непрерывности через вариационный функционал, и
  3. этот метод позволяет создавать отдельные трещины или перфорированные элементы за счет использования локализованных функций решения в качестве пробные функции.[1][3]

Приложения

С момента своего массового внедрения около 30 лет назад[когда? ], этот модифицированный метод конечных элементов становится все более популярным в таких приложениях, как эластичность, Пластины Кирхгофа, толстые пластины, общая трехмерная механика твердого тела, антисимметричная механика твердого тела, потенциальные проблемы, оболочки, эластодинамические задачи, геометрически нелинейный изгиб пластин и анализ нестационарной теплопроводности среди прочего.[1][3] В настоящее время он применяется для устойчивых, нетурбулентных, несжимаемых, Ньютоновская жидкость поток приложений через текущие исследования на факультете инженерии и информационных технологий (FEIT) в Австралийский национальный университет (ANU) в Канберре, Австралия. Гибридный метод Треффца также применяется к некоторым месторождениям, например компьютерное моделирование гидратированных мягких тканей или водонасыщенных пористых сред в рамках текущего исследовательского проекта в Технический университет Лиссабона, Instituto Superior Técnico в Португалии.

Заметки

  1. ^ а б c d е ж Цинь (2000)
  2. ^ Коннор и Бреббия (1976)
  3. ^ а б c d Цинь (2004)

использованная литература

  • Цинь, Q.H. (2000), Метод конечных и граничных элементов Треффца, Саутгемптон, Англия: WIT Press, стр. 1–55.
  • Коннор, Дж. Дж .; Бреббия, К.А. (1976), Методы конечных элементов для потока жидкости (3-е изд.), Бристоль, Англия: Ньюнес-Баттервортс
  • Цинь, Q.H. (2004), "Формулировка гибридного метода конечных элементов Треффца для определения упругопластичности", Прикладное математическое моделирование, 29 (2): 235–252, Дои:10.1016 / j.apm.2004.09.004

внешние ссылки