Тригонометрический потенциал Розена – Морса. - Trigonometric Rosen–Morse potential

В тригонометрический потенциал Розена – Морса, названный в честь физиков Натан Розен и Филип М. Морс, входит в число точно решаемых квантово-механические потенциалы.

Определение

В безразмерных единицах и аддитивных константах по модулю он определяется как ^[1]

${\displaystyle V_{tRM}^{(a,b,\lambda )}(\chi )={\frac {a(a-\lambda )}{\sin ^{2}\lambda \chi }}-2b\cot \lambda \chi ,\quad \chi ={\frac {r}{R}},\quad \lambda \chi \in \left[0,\pi \right].}$

(1)

куда ${\displaystyle r}$ относительное расстояние, ${\displaystyle \lambda }$ - параметр масштабирования угла, а ${\displaystyle R}$ пока является подходящим параметром длины. Другая параметризация того же потенциала:

${\displaystyle V_{tRM}^{(a,b,\lambda )}(\chi )={\frac {a(a-\lambda )}{\cos ^{2}\lambda \chi }}-2b\tan \lambda \chi ,\quad \chi ={\frac {r}{R}},\quad \lambda \chi \in \left[-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right],}$

(2)

который является тригонометрической версией одномерного гиперболического потенциала, введенного в молекулярную физику Натан Розен и Филип М. Морс и дано,^[2]

${\displaystyle V(x/d)=B\operatorname {tanh} (x/d)-C\operatorname {sech} ^{2}(x/d),}$

(3)

параллелизм, объясняющий название потенциала. Наиболее известное приложение касается ${\displaystyle V_{tRM}^{(\ell +1,b,1)}(\chi )}$ параметризация, с ${\displaystyle \ell }$ неотрицательное целое число, и связано с Шредингер ^[3] кто намеревался сформулировать атом водорода проблема на Альберт Эйнштейн закрытая вселенная, ${\displaystyle R^{1}\otimes S^{3}}$, то прямой продукт временной линии с трехмерным замкнутым пространством положительной постоянной кривизны, гиперсфера ${\displaystyle S^{3}}$, и ввел его в эту геометрию в своем знаменитом уравнении как аналог Кулоновский потенциал, математическая проблема, кратко освещенная ниже.

В ${\displaystyle V_{tRM}^{(\ell +1,0,1)}(\chi )}$ Случай: Четырехмерный жесткий ротатор в инерционном квантовом движении на трехмерной гиперсфере. ${\displaystyle S^{3}}$

Гиперсфера - это поверхность в четырехмерном Евклидово пространство, ${\displaystyle E_{4}}$, и определяется как,

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=R^{2},}$

(4)

куда ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{3}}$, и ${\displaystyle x_{4}}$ являются Декартовы координаты вектора в ${\displaystyle E_{4}}$, и ${\displaystyle R}$ называется гиперрадиусом. Соответственно, Оператор Лапласа в ${\displaystyle E_{4}}$ дан кем-то,

${\displaystyle \Delta _{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{4}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{3}^{2}}}.}$

(5)

Сейчас переключаюсь на полярные координаты,

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{4}=R\cos \chi ,\quad x_{3}=R\sin \chi \cos \theta ,\quad \chi ,\theta &\in \left[0,\pi \right],\\x_{2}=R\sin \chi \sin \theta \sin \varphi ,\quad x_{1}=R\sin \chi \sin \theta \cos \varphi ,\quad \varphi &\in \left[0,2\pi \right],\end{aligned}}}$

(6)

можно найти оператор Лапласа, выраженный как

${\displaystyle \Delta _{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\longrightarrow \Delta _{4}(R,\chi ,\theta ,\varphi )={\frac {1}{R^{3}}}{\frac {\partial }{\partial R}}R^{3}{\frac {\partial }{\partial R}}-{\frac {1}{R^{2}}}{\mathcal {K}}^{2}(\chi ,\theta ,\varphi ),}$

(7)

${\displaystyle {\mathcal {K}}^{2}(\chi ,\theta ,\varphi )=-{\frac {1}{\sin ^{2}\chi }}{\frac {\partial }{\partial \chi }}\sin ^{2}\chi {\frac {\partial }{\partial \chi }}+{\frac {{\mathbf {L} }^{2}(\theta ,\varphi )}{\sin ^{2}\chi }}.}$

(8)

Здесь, ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{2}(\chi ,\theta ,\varphi )}$ обозначает оператор квадрата углового момента в четырех измерениях, а ${\displaystyle {\mathbf {L} }^{2}(\theta ,\varphi )}$ стандартный трехмерный оператор квадрата углового момента. Рассмотрим теперь гипер-сферический радиус ${\displaystyle R}$ как константа встречается Оператор Лапласа-Бельтрами на ${\displaystyle S^{3}}$ в качестве

${\displaystyle \Delta _{S^{3}}(R,\chi ,\theta ,\varphi )=-{\frac {1}{R^{2}}}{\mathcal {K}}^{2}(\chi ,\theta ,\varphi ),\quad R={\mbox{const}}.}$

(9)

С этим бесплатно волновое уравнение на ${\displaystyle S^{3}}$ принимает форму

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{R^{2}}}\Delta _{S^{3}}(R,\chi ,\theta ,\varphi )Y_{K\ell m}(\chi ,\theta ,\varphi )&={\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{R^{2}}}{\mathcal {K}}(\chi ,\theta ,\varphi )Y_{K\ell m}(\chi ,\theta ,\varphi )\\&={\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{R^{2}}}K(K+2)Y_{K\ell m}(\chi ,\theta ,\varphi ),\end{aligned}}}$

(10)

${\displaystyle K=0,1,2,...,\quad \ell =0,1,2,...K,\quad |m|=0,1,2,...,\ell .}$

(11)

Решения, ${\displaystyle Y_{K\ell m}(\chi ,\theta ,\varphi )}$, к этому уравнению относятся так называемые четырехмерные гипер-сферические гармоники определяется как

${\displaystyle Y_{K\ell m}(\chi ,\theta ,\varphi )=\sin ^{\ell }\chi {\mathcal {G}}_{K-\ell }^{\ell +1}(\cos \chi )Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}$

(12)

куда ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}^{\ell +1}(\cos \chi )}$ являются Полиномы Гегенбауэра. Изменение в (10) переменные как

${\displaystyle Y_{K\ell m}(\chi ,\theta ,\varphi )={\frac {\psi _{K\ell }(\chi )}{\sin \chi }}Y_{\ell }(\theta ,\varphi ),}$

(13)

можно заметить, что ${\displaystyle \psi _{K\ell }(\chi )}$ функция удовлетворяет одномерному Уравнение Шредингера с ${\displaystyle \csc ^{2}\chi }$ потенциал согласно

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{R^{2}}}\left[{\frac {{\mathrm {d} }^{2}}{{\mathrm {d} }\chi ^{2}}}+{\frac {\ell (\ell +1)}{\sin ^{2}\chi }}\right]\psi _{K\ell }(\chi )={\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{R^{2}}}(K+1)^{2}\psi _{K\ell }(\chi ).}$

(14)

Одномерный потенциал в последнем уравнении, совпадающий с потенциалом Розена – Морса в (1) за ${\displaystyle a=\ell +1}$ и ${\displaystyle b=0}$, ясно показывает, что для целых ${\displaystyle a}$ значений, первый член этого потенциала берет свое начало от центробежного барьера на ${\displaystyle S^{3}}$. Другими словами, уравнение (10), и его версия (14) описывают инерционное (свободное) квантовое движение жесткого ротатора в четырехмерном Евклидово пространство, ${\displaystyle E_{4}}$, например, H Atom, позитроний и т. д., чьи "концы" проходят по большим "кружкам" (т.е. ${\displaystyle S^{2}}$ сферы) на ${\displaystyle S^{3}}$.

Теперь возникает вопрос, может ли второй член в (1) также может быть каким-то образом связано с ${\displaystyle S^{3}}$ геометрия.

В ${\displaystyle V_{tRM}^{(\ell +1,b,1)}(\chi )}$ случай: удержание электрического заряда на ${\displaystyle S^{3}}$ и дипольный потенциал, сформированный после ${\displaystyle \alpha Z\cot \chi }$

Рисунок 1: Зарядовая нейтральность сферы. Линии, исходящие из источника, помещенного на сферу, обязательно пересекаются в точке антипода независимо от того, находится ли там реальный заряд противоположного знака. Последовательная формулировка статического заряда на сфере требует наличия реального заряда в точке антипода и, следовательно, зарядовых диполей в качестве фундаментальных конфигураций. Следовательно, сфера поддерживает только ${\displaystyle 2^{n}}$ полюса с целым числом ${\displaystyle n>0}$.

В сумме функция котангенса решает Уравнение Лапласа – Бельтрами на ${\displaystyle S^{3}}$,

${\displaystyle \Delta _{S^{3}}(R,\chi ,\theta ,\varphi )\cot \chi =0,}$

(15)

он представляет собой гармоническую функцию на ${\displaystyle S^{3}}$, причина, по которой Шредингер рассматривал его как аналог кулоновского потенциала в плоском пространстве, сам по себе гармоническая функция к ${\displaystyle E_{3}}$ Лапласиан. По этой аналогии котангенс функцию часто называют «криволинейным кулоновским» потенциалом.^[4] Такая интерпретация приписывает потенциал котангенса единственному источнику заряда, и в этом заключается серьезная проблема. А именно пока просторы, как есть ${\displaystyle E_{3}}$, поддерживают разовые заряды, в закрытых помещениях единичный заряд не может быть определен согласованным образом.^[5] Замкнутые пространства обязательно и неизбежно нейтральны к заряду, что означает, что минимальный фундаментальный степени свободы на них разрешены зарядовые диполи (см. рис. 1).

По этой причине волновое уравнение

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{R^{2}}}\left[\Delta _{S^{3}}(R,\chi ,\theta ,\varphi )-2b\cot \chi \right]\Psi _{K\ell m}(\chi ,\theta ,\varphi )&={\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{R^{2}}}\left[{\mathcal {K}}^{2}(\chi ,\theta ,\varphi )-2b\cot \chi \right]\Psi _{K\ell m}(\chi ,\theta ,\varphi )\\&={\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{R^{2}}}\left[K(K+2)-{\frac {b^{2}}{(K+1)^{2}}}\right]\Psi _{K\ell m}(\chi ,\theta ,\varphi ),\end{aligned}}}$

(16)

которая преобразуется при изменении переменной, ${\displaystyle \Psi _{K\ell m}(\chi ,\theta ,\varphi )={\frac {U_{K\ell }^{(b)}(\chi )}{\sin \chi }}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$, в знакомую одномерную Уравнение Шредингера с ${\displaystyle V_{tRM}^{(\ell +1,b,1)}(\chi )}$ тригонометрический потенциал Розена – Морса,

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{R^{2}}}\left[{\frac {{\mathrm {d} }^{2}}{{\mathrm {d} }\chi ^{2}}}+{\frac {\ell (\ell +1)}{\sin ^{2}\chi }}\right]U_{K\ell }^{(b)}(\chi )-2b\cot \chi U_{K\ell }^{(b)}(\chi )={\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{R^{2}}}\left[(K+1)^{2}-{\frac {b^{2}}{(K+1)^{2}}}\right]U_{K\ell }^{(b)}(\chi ),}$

(17)

на самом деле описывает квантовое движение заряда диполь возмущается полем из-за другого диполя заряда, а не движением одного заряда внутри поля, создаваемого другим зарядом. Другими словами, два уравнения (16) и (17) не описывают, строго говоря, атом водорода на ${\displaystyle S_{3}}$, а скорее квантовое движение на ${\displaystyle S^{3}}$ света ${\displaystyle (e^{+},e^{-})}$ диполь возмущен дипольным потенциалом другого очень тяжелого диполя, такого как H-атом, так что приведенная масса, ${\displaystyle \mu }$, будет порядка массы электрона и им можно пренебречь по сравнению с энергией.

Чтобы понять этот решающий вопрос, нужно сосредоточить внимание на необходимости обеспечения достоверности ${\displaystyle S^{3}}$ как закона Гаусса, так и принцип суперпозиции ради возможности создавать там электростатические разряды. С функцией котангенса в (15) как потенциал с одним источником, такое не может быть достигнуто.^[6] Скорее, необходимо доказать, что функция котангенса представляет собой дипольный потенциал. Такое доказательство было доставлено.^[7] Чтобы понять линию аргументации ^[7] необходимо вернуться к выражению для оператора Лапласа в (5) и прежде чем рассматривать гиперрадиус как константу, разложите это пространство на временную шкалу и ${\displaystyle S^{3}}$. Для этого вводится переменная "время" через логарифм числа ${\displaystyle S^{3}}$ радиус.^[8] Введя эту переменную, измените (7) составляет следующий лапласиан:

${\displaystyle -\left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{4}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{3}^{2}}}\right]\longrightarrow -\left[{\frac {1}{R^{3}}}{\frac {\partial }{\partial R}}R^{3}{\frac {\partial }{\partial R}}-{\frac {1}{R^{2}}}{\mathcal {K}}^{2}(\chi ,\theta ,\varphi )\right]}$

(18)

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;{\stackrel {R=e^{\tau }}{\longrightarrow }}-e^{2\tau }\left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}-\left({\mathcal {K}}^{2}(\chi ,\theta ,\varphi )+1\right)\right].}$

(19)

В ${\displaystyle \tau }$ параметр известен как "конформное время ", а вся процедура называется" радиальной квантование ".^[8] Статический заряд теперь создается в настройках ${\displaystyle \tau }$= const в (19) и вычисляя гармоническую функцию к оставшейся части, так называемый конформный лапласиан, ${\displaystyle \Delta _{S^{3}}^{1}(\chi ,\theta ,\varphi )}$, на ${\displaystyle S^{3}}$, который считывается из (19) в качестве

${\displaystyle \Delta _{S^{3}}^{1}(\tau ,\chi ,\theta ,\varphi )|_{\tau =0}=\Delta _{S^{3}}(R,\chi ,\theta ,\varphi )|_{R=1}+1={\mathcal {K}}^{2}(\chi ,\theta ,\varphi )+1,}$

(20)

где мы выбрали ${\displaystyle \tau =0}$, что эквивалентно, ${\displaystyle R=1}$.

Сравнение последнего выражения с (15) показывает, что правильный оператор, который следует использовать при вычислении гармоническая функция не обычный ${\displaystyle S^{3}}$ Оператор Лапласа – Бельтрами, ${\displaystyle \Delta _{S^{3}}(R,\chi ,\theta ,\varphi )|_{R=1}}$ но так называемый конформный оператор Лапласа – Бельтрами, ${\displaystyle \Delta _{S^{3}}^{1}(\tau ,\chi ,\theta ,\varphi )|_{\tau =0}=\Delta _{S^{3}}(R,\chi ,\theta ,\varphi )|_{R=1}+1}$ в (20). Функция Грина для ${\displaystyle \Delta _{S^{3}}^{1}(\tau ,\chi ,\theta ,\varphi )}$ был рассчитан, например, в.^[9] Его значения на соответствующих Южном и Северном полюсах, в свою очередь, обозначаются ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\pi }(\chi )}$, и ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(\chi )}$, сообщаются как

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\pi }(\chi )=-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}\chi \cot \chi ,}$

(21)

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(\chi )=-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}\left(\chi -\pi \right)\cot \chi ,\quad \chi \in \left[0,\pi \right].}$

(22)

Из них теперь можно построить дипольный потенциал для фундаментального заряда ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ помещенный, скажем, на северном полюсе, и фундаментальный заряд противоположного знака, ${\displaystyle -{\mathcal {Q}}}$, расположенный на противоположном южном полюсе ${\displaystyle S^{3}}$. Связанные потенциалы, ${\displaystyle V_{\pi }(\chi )}$ и ${\displaystyle V_{0}(\chi )}$, затем строятся путем умножения соответствующих значений функции Грина на соответствующие заряды ^[10] в качестве

${\displaystyle V_{\pi }(\chi )=-{\mathcal {Q}}{\mathcal {G}}_{\pi }(\chi )=-{\frac {\left(-{\mathcal {Q}}\right)}{4\pi ^{2}}}\chi \cot \chi ,}$

(23)

${\displaystyle V_{0}(\chi )={\mathcal {Q}}{\mathcal {G}}_{0}(\chi )=-{\frac {\mathcal {Q}}{4\pi ^{2}}}\left(\chi -\pi \right)\cot \chi .}$

(24)

Рисунок 2: Схематическое изображение формы ${\displaystyle {\underline {C}}}$Хардж ${\displaystyle {\underline {D}}}$ипольский потенциал ${\displaystyle V_{CD}(\chi )}$ в (25) на ${\displaystyle S^{3}}$. Этот потенциал является ограничивающим в том смысле, что по мере удаления от экватора он становится бесконечным вблизи полюсов, таким образом предотвращая «утечку» зарядов и удерживая их «ограниченными». ${\displaystyle S^{3}}$. Вместо этого, с уменьшением расстояний до экватора, он постепенно обращается в нуль и оставляет заряды в этой области «асимптотически свободными». Таким образом, статика заряда в замкнутых пространствах обеспечивает удобные шаблоны для моделирования явлений удержания, наиболее заметным из которых является удержание цветных зарядов, известное из квантовая хромодинамика (QCD).

Теперь, предполагая справедливость принципа суперпозиции, можно встретить потенциал зарядового диполя (ЗД), возникающий в точке ${\displaystyle \chi }$ на ${\displaystyle S^{3}}$ в соответствии с

${\displaystyle V_{CD}(\chi )=V_{\pi }(\chi )+V_{0}(\chi )=-{\mathcal {Q}}{\mathcal {G}}_{\pi }(\chi )+{\mathcal {Q}}{\mathcal {G}}_{0}(\chi )=-{\frac {\mathcal {Q}}{4\pi }}\cot \chi .}$

(25)

Электрическое поле к этому диполю получается стандартным путем дифференцированием как

${\displaystyle E(\chi )=-{\frac {\partial }{\partial \chi }}V_{CD}(\chi )={\frac {\mathcal {Q}}{4\pi }}{\frac {1}{\sin ^{2}\chi }},}$

(26)

и совпадает с точным выражением, предписанным Теорема Гаусса на ${\displaystyle S^{3}}$, как объяснено в.^[6] Заметь ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ означает безразмерные заряды. По размерным зарядам ${\displaystyle q}$, относится к ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ через

${\displaystyle {\mathcal {Q}}={\frac {q}{\sqrt {\hbar c}}},}$

(27)

потенциал, воспринимаемый другим обвинением ${\displaystyle (Zq)/{\sqrt {\hbar c}}}$, является

${\displaystyle V_{CD}(\chi )=-{\frac {q^{2}Z}{4\pi \hbar c}}\cot \chi .}$

(28)

Например, в случае электростатический, основной заряд ${\displaystyle q}$ берется заряд электрона, ${\displaystyle e}$, в этом случае специальные обозначения

${\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \hbar c}}}$

(29)

вводится для так называемой фундаментальной константы связи электродинамика. Фактически, можно найти

${\displaystyle V_{CD}(\chi )=-\alpha Z\cot \chi .}$

(30)

На рис.2 показан дипольный потенциал ${\displaystyle V_{CD}(\chi )}$ в (30).

При этом одномерный Уравнение Шредингера это описывает на ${\displaystyle S^{3}}$ квантовое движение диполь электрического заряда возмущенный тригонометрическим потенциалом Розена – Морзе, создаваемый другим диполем электрического заряда, принимает форму

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{R^{2}}}{\frac {{\mathrm {d} }^{2}}{{\mathrm {d} }\chi ^{2}}}+V_{\mbox{tRM}}^{(\ell +1,\alpha Z/2,1)}(\chi )\right)U_{K\ell }^{(\alpha Z)}(\chi )={\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{R^{2}}}\left({\epsilon }_{\ell n}^{(\alpha Z)}\right)^{2}U_{K\ell }^{(\alpha Z)}(\chi ),}$

(31)

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\,V_{\mbox{tRM}}^{(\ell +1,\alpha Z/2,1)}(\chi )={\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{R^{2}}}{\frac {\ell (\ell +1)}{\sin ^{2}\chi }}-2{\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{R^{2}}}\alpha Z\cot \chi ,}$

(32)

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;{\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{R^{2}}}\left(\epsilon _{\ell n}^{(\alpha Z)}\right)^{2}={\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{R^{2}}}(K+1)^{2}-{\frac {\hbar ^{2}c^{2}\alpha ^{2}Z^{2}}{4R^{2}(K+1)^{2}}}.}$

(33)

Из-за отношений, ${\displaystyle K-\ell =n}$, с ${\displaystyle n}$ номер узла волновой функции, можно изменить обозначение волновые функции, ${\displaystyle U_{K\ell }^{(b)}(\chi )}$, более знакомым в литературе, ${\displaystyle U_{\ell n}^{(b)}(\chi )}$.

В экв. (31)-(32) распознается одномерное волновое уравнение с тригонометрическим потенциалом Розена – Морса в (1) за ${\displaystyle a=\ell +1}$ и ${\displaystyle 2b=\alpha Z}$.

Таким образом, котангенс тригонометрического потенциала Розена – Морса может быть получен из закона Гаусса о ${\displaystyle S^{3}}$ в сочетании с принципом суперпозиции, и может быть интерпретирован как дипольный потенциал, генерируемый системой, состоящей из двух противоположных фундаментальных зарядов. Центробежный ${\displaystyle \csc ^{2}\chi }$ член этого потенциала был порожден оператором кинетической энергии на ${\displaystyle S^{3}}$. Таким образом, полный тригонометрический потенциал Розена – Морса может быть получен из первых принципов.

Вернуться к Шредингер работа,^[3] то ${\displaystyle S^{3}}$ гиперрадиус для H-атома оказался действительно очень большим и порядка ${\displaystyle 10^{-3}cm}$. Это на восемь порядков больше, чем размер H-атома. Результат был сделан из подгонки элементов магнитного диполя к эффектам сверхтонкой структуры водорода (см. ^[11]} и ссылку в нем). Вышеупомянутый радиус достаточно велик, чтобы позволить аппроксимировать гиперсферу локально плоским пространством, и в этом случае существование единственного заряда все еще может быть оправдано. В случаях, когда сверхсферический радиус становится сопоставимым с размером системы, нейтралитет заряда берет верх. Такой пример будет представлен в разделе 6 ниже.

Прежде чем закрыть этот раздел, необходимо привести точные решения уравнений (31)-(32), заданный

${\displaystyle U_{K\ell }^{(\alpha Z)}(\chi )=N_{K\ell }\sin ^{K+1}\chi e^{-{\frac {\alpha Z}{2(K+1)}}}R_{K-\ell }^{{\frac {\alpha Z}{K+1)}},-(K+1)}(\cot \chi ),\quad K-\ell =n,}$

(34)

куда ${\displaystyle R_{n}^{\alpha \beta }(x)}$ стоять за Полиномы Романовского.^[12][13][14]

Применение к кулоновским жидкостям

Кулоновские жидкости состоят из диполярных частиц и моделируются с помощью прямое численное моделирование. Обычно его используют для выбора кубических ячеек с периодическими граничными условиями в сочетании с Суммирование Эвальда техники. В более эффективном альтернативном методе, применяемом,^[15][16] в качестве ячейки моделирования используется гиперсферическая поверхность. ${\displaystyle S^{3}}$ в (4). Как уже было сказано выше, базовый объект на ${\displaystyle S^{3}}$ это диполь электрического заряда, называемый в динамика жидкостей, который классически можно представить как жесткую "гантель" (жесткий ротатор) двух противоположных зарядов противоположных знаков, ${\displaystyle +q}$ и ${\displaystyle -q}$. Потенциал двойного заряда рассчитывается путем решения на ${\displaystyle S_{3}}$ то Уравнение Пуассона,

${\displaystyle \Delta _{S^{3}}(\chi )V_{\mbox{b-ch}}(\chi )=-{\frac {4\pi q}{R^{3}}}\left[\delta _{S^{3}}(\chi ,\chi _{0})-\delta _{S_{3}}(\chi ,{\bar {\chi }}_{0})\right].}$

(35)

Здесь, ${\displaystyle \chi _{0}}$ угловая координата заряда ${\displaystyle q}$ размещен в угловом положении ${\displaystyle \chi _{0}}$, считайте с Северного полюса, а ${\displaystyle {\bar {\chi }}_{0}}$ означает антиподал к ${\displaystyle \chi _{0}}$ угловая координата положения, в котором находится заряд противоположных знаков в Южном полушарии. Решение найдено,

${\displaystyle V_{\mbox{b-ch}}(\chi )={\frac {q}{R}}\cot \chi ,}$

(36)

равен потенциалу в (30), условные обозначения по модулю относительно знаков заряда и единиц. Это обеспечивает альтернативное доказательство, которое доставляется уравнениями (19)-(30) того факта, что функция котангенса на ${\displaystyle S^{3}}$ должен быть связан с потенциалом, создаваемым зарядовым диполем. Напротив, потенциалы в приведенных выше уравнениях (23), и (24), были интерпретированы в ^[15] поскольку из-за так называемых одиночных источников «псевдозарядов», где «псевдозаряд» понимается как объединение точечных зарядов ${\displaystyle q}$ с равномерным нейтрализующим фоном полного заряда, ${\displaystyle -q}$.

Приложение к ограничению цвета и физике кварков

Ограничивающий характер котангенсного потенциала в (28) находит применение в явлении, известном из физики сильное взаимодействие который относится к ненаблюдаемости свободных кварки, составляющие адроны. Кварки считаются обладающими тремя основными внутренними степенями свободы, условно называемыми «цвета», красный ${\displaystyle (r)}$, синий ${\displaystyle (b)}$, и зеленый ${\displaystyle (g)}$, в то время как антикварки несут соответствующие антицветы, антикрасные ${\displaystyle ({\bar {r}})}$, анти-синий ${\displaystyle ({\bar {b}})}$, или анти-зеленый ${\displaystyle ({\bar {g}})}$, что означает, что ненаблюдаемость свободных кварков эквивалентна ненаблюдаемости свободных цветных зарядов и, следовательно, «цветовой нейтральности» адроны. «Цвета» кварков - это фундаментальные степени свободы Квантовая хромодинамика (QCD), калибровочная теория сильного взаимодействия. В отличие от Квантовая электродинамика, то калибровочная теория электромагнитных взаимодействий КХД представляет собой неабелева теория что примерно означает, что "цветные" заряды, обозначенные ${\displaystyle g_{s}(Q^{2})}$, не являются константами, но зависят от значений, ${\displaystyle Q^{2}}$переданного импульса, вызывая так называемую, работа постоянной сильной связи, ${\displaystyle \alpha _{s}(Q^{2})}$, в этом случае Закон Гаусса становится более вовлеченным.^[17] Однако при малой передаче импульса вблизи так называемого инфракрасный режим, импульсная зависимость цветового заряда значительно ослабевает,^[18] и при приближении к постоянному значению,

Рисунок 3: Схематическое изображение внутренней мезонной структуры.

Рисунок 4: Распределение масс ${\displaystyle f_{0}}$ мезоны со спином и СР-четностью, рассчитанные с помощью ${\displaystyle V_{tRM}^{(\ell +1,\alpha _{s}N_{c}/2,1)}(\chi )}$ и формула массы в ур. (33) по модулю замены ${\displaystyle \alpha Z}$ к ${\displaystyle \alpha _{s}N_{c}}$.

${\displaystyle g_{s}(Q^{2}){\stackrel {Q^{2}\to 0}{\longrightarrow }}{\mbox{const}},}$

(37)

движет Закон Гаусса вернуться к стандартной форме, известной из Абелевы теории. По этой причине при условии постоянства цветового заряда можно попытаться смоделировать цветовую нейтральность адроны параллельно с нейтралитетом Кулоновские жидкости, а именно, рассматривая квантовые движения цвета на замкнутых поверхностях. В частности, для случая гиперсферы ${\displaystyle S^{3}}$, это было показано в,^[19] что потенциал, обозначенный здесь ${\displaystyle V_{CCD}(\chi )}$, и полученный из одного в (28) через замену,

${\displaystyle \alpha Z\longrightarrow \alpha _{s}N_{c},\quad \alpha _{s}={\frac {g_{s}^{2}}{4\pi }},}$

(38)

то есть потенциал

${\displaystyle V_{CCD}(\chi )=-\alpha _{s}N_{c}\cot \chi ,}$

(39)

куда ${\displaystyle N_{c}}$ - количество цветов, является адекватным для описания спектров легких мезонов с массами до ${\displaystyle \sim 2500MeV}$. Особенно хорошо улавливаются водородоподобные вырождения. Это потому, что потенциал, будучи гармоническая функция к Лапласиан на ${\displaystyle S^{3}}$, имеет ту же симметрию, что и лапласиан сам по себе, симметрия, которая определяется группой изометрий ${\displaystyle S^{3}}$, т.е. ${\displaystyle SO(4)}$, максимальная компактная группа конформной группы ${\displaystyle SO(2,4)}$. По этой причине потенциал в (39), как часть ${\displaystyle V_{tRM}^{(\ell +1,\alpha _{s}N_{c}/2,1)}(\chi )}$, учитывает не только ограничение цвета, но и для конформная симметрия в инфракрасный режим КХД. Внутри такой картины мезон состоит из кварка ${\displaystyle (q)}$-анти-кварк ${\displaystyle ({\bar {q}})}$ цветной диполь в квантовом движении на ${\displaystyle S^{3}}$ геометрии, и возмущается дипольным потенциалом в (39), порожденный и другим цветным диполем, например глюоном ${\displaystyle (g)}$-антиглюон ${\displaystyle ({\bar {g}})}$, как это показано на рис.3.

В ${\displaystyle S^{3}}$ геометрию можно рассматривать как уникальную замкнутую пространственно-подобную геодезическую четырехмерного гиперболоид одного листа, ${\displaystyle {\mathbf {H} }_{1}^{4}}$, расслаивающий за пределами причинного светового конуса Минковского пространственно-подобную область, предположительно имеющую еще одно пространственное измерение, это в соответствии с так называемым Специальная теория относительности де Ситтера, ${\displaystyle dS_{4}}$.^[20] Действительно, потенциалы, будучи мгновенными и не допускающими временного порядка, представляют виртуальные, то есть акаузальные процессы, и как таковые могут быть сгенерированы в одномерном пространстве. волновые уравнения при правильных преобразованиях виртуальных квантовых движений на поверхностях, расположенных вне причинной области, отмеченной Световой конус. Такие поверхности можно рассматривать как геодезические поверхностей, покрывающих пространство, подобное области. Квантовые движения на открытых ${\displaystyle {\mathbf {H} }_{1}^{4}}$ геодезические могут создавать барьеры, описывающие проходящие через них резонансы.^[7] Наглядный пример применения дипольного потенциала ограничения цвета в (39) к мезонная спектроскопия приведен на рис. 4. Следует отметить, что потенциалы в приведенных выше уравнениях (23) и (24) были альтернативно получены в,^[21][22] от петель Вильсона с каспами, предсказывая их величину как ${\displaystyle \alpha _{s}N_{c}/(4\pi ^{2})}$, и в соответствии с (38).

Потенциал в (39), кроме того, использовался в ^[23] в уравнении Дирака на ${\displaystyle S^{3}}$, и было показано, что он предсказывает реалистичные электромагнитные форм-факторы нуклона и связанные с ним константы, такие как средний квадрат электрического заряда и радиусы магнитного диполя, магнитные дипольные моменты протона и нуклона и их соотношение и т. д.

Применимость ${\displaystyle V_{tRM}^{\left(\ell +1,b,1\right)}}$ к фазовым переходам

Свойство тригонометрического потенциала Розена-Морса, будь то в параметризации с ${\displaystyle b=\alpha Z/2}$ в экв. (32) что представляет интерес для электродинамики, или в ${\displaystyle b=\alpha _{s}N_{c}/2}$ параметризация, представляющая интерес для КХД из предыдущего раздела, квалифицирует ее для исследования фазовых переходов в системах с электромагнитным или сильным взаимодействиями на гиперсферических «коробках» конечных объемов. ^[24].^[25] Достоинство таких исследований заключается в возможности выразить температуру, ${\displaystyle T}$, как обратное, ${\displaystyle T=1/R}$, к радиусу ${\displaystyle R}$ гиперсферы. Для этого знания о статистическая сумма (статистическая механика), здесь обозначено ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R,b)}$, рассматриваемого потенциала. Далее мы оцениваем ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R,b)}$ для случая уравнения Шредингера на${\displaystyle S^{3}}$ с линейной энергией (здесь в единицах МэВ),

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\Big (}{\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{2\mu c^{2}R^{2}}}\Delta _{S^{3}}(R,\chi ,\theta ,\varphi )|_{\theta =\pi /2,\varphi =0}&-2b{\frac {\hbar c}{R}}\cot \chi {\Big )}\psi (\chi )=E_{K}\psi (\chi ),\\E_{K}={\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{2\mu c^{2}R^{2}}}(K+1)^{2}&-{\frac {\hbar c}{R}}{\frac {b^{2}}{(K+1)^{2}}},\end{aligned}}}$

(40)

куда ${\displaystyle \mu c^{2}}$ - приведенная масса рассматриваемой системы двух тел. Встатистическая сумма (статистическая механика) для этого энергетического спектра стандартным образом определяется как,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}(R,b)&=\sum _{K=0}^{K=\infty }(K+1)^{2}e^{-\beta \left(E_{K}-E_{0}\right)}\\&=1+e^{\beta E_{0}}\sum _{K=1}^{K=\infty }(K+1)^{2}e^{-\beta E_{K}}.\end{aligned}}}$

(41)

Здесь термодинамическая бета определяется как ${\displaystyle \beta =(k_{B}T)^{-1}}$ с ${\displaystyle k_{B}}$ стоя заПостоянная Больцмана. При оценке ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R,b)}$ полезно напомнить, что с увеличением ${\displaystyle K}$второе слагаемое в правой части (40) становится незначительным по сравнению с членом пропорционального ${\displaystyle (K+1)^{2}}$, поведение, которое становится еще более выраженным при выборе, ${\displaystyle 2b=\alpha Z}$, и ${\displaystyle 2b=\alpha _{s}N_{c}}$. В обоих случаях ${\displaystyle b}$ намного меньше по сравнению с соответствующим безразмерным фактором, ${\displaystyle (\hbar c)/(2\mu c^{2}R)}$, умножение ${\displaystyle (\hbar c/R)(K+1)^{2}}$. По этой причине исследуемая статистическая сумма может быть хорошо аппроксимирована выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}(R,b)&=\sum _{K=0}^{K=\infty }(K+1)^{2}e^{-\beta \left(E_{K}-E_{0}\right)}\\&=1+e^{-\beta \left(E_{1}-E_{0}\right)}+e^{\beta E_{0}}\sum _{K=2}^{K=\infty }(K+1)^{2}e^{-\beta E_{K}}\\&\approx 1+e^{-\beta \left(E_{1}-E_{0}\right)}+e^{\beta E_{0}}\int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}{\mathrm {d} }x\\&=1+e^{-\beta \left(E_{1}-E_{0}\right)}+e^{\beta E_{0}}{\frac {\sqrt {\pi }}{4(a)^{\frac {3}{2}}}},\quad a=\beta {\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{2\mu c^{2}R^{2}}}.\end{aligned}}}$

(42)

Аналогичным образом, статистическая сумма для ${\displaystyle b=\alpha Z/2}$ параметризация, соответствующая Атом водорода на ${\displaystyle S^{3}}$был рассчитан в,^[26] где использовалось более сложное приближение. При расшифровке в текущих обозначениях и единицах статическая сумма в ^[26] представляет собой,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left(R,{\frac {\alpha Z}{2}}\right)\approx 1+e^{\beta E_{0}}\int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}+{\frac {p}{x^{2}}}},\quad p=\beta {\frac {\hbar c}{R}}\alpha ^{2}Z^{2}.\end{aligned}}}$

(43)

Бесконечный интеграл сначала рассматривался с помощью частичного интегрирования, дающего

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}+{\frac {p}{x^{2}}}}&=\int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}e^{\frac {p}{x^{2}}}{\mathrm {d} }x\\&=-{\frac {1}{2a}}\int _{0}^{\infty }xe^{\frac {p}{x^{2}}}{\mathrm {d} }e^{-ax^{2}}\\&=-{\frac {1}{2a}}xe^{\frac {p}{x^{2}}}e^{-ax^{2}}|_{0}^{\infty }+{\frac {1}{2a}}\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}{\mathrm {d} }\,\left(xe^{\frac {p}{x^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{2a}}\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}+{\frac {p}{x^{2}}}}{\mathrm {d} }x+{\frac {2p}{2a}}\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}+{\frac {p}{x^{2}}}}{\mathrm {d} }\left({\frac {1}{x}}\right).\end{aligned}}}$

(44)

Тогда аргумент экспоненты под знаком интеграла был записан как,

${\displaystyle {\begin{aligned}-ax^{2}+{\frac {p}{x^{2}}}=-z^{2}+2i{\sqrt {ap}},\quad z={\sqrt {a}}x+i{\frac {\sqrt {p}}{x}},\end{aligned}}}$

(45)

таким образом достигнув следующего промежуточного результата,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left(R,{\frac {\alpha Z}{2}}\right)\approx 1+{\frac {1}{2a}}e^{\beta E_{0}}e^{2i{\sqrt {ap}}}\int _{0}^{\infty }e^{-z^{2}}{\mathrm {d} }\left(x+{\frac {2p}{x}}\right).\end{aligned}}}$

(46)

На следующем этапе дифференциал был представлен как

${\displaystyle {\begin{aligned}x+{\frac {2p}{x}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\sqrt {a}}}-2i{\sqrt {p}}\right)z+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\sqrt {a}}}+2i{\sqrt {p}}\right)z^{\ast },\end{aligned}}}$

(47)

алгебраическая манипуляция, которая позволяет выразить статистическую сумму в (46) с точки зрения ${\displaystyle {\mbox{erf}}(u)}$ функция комплексного аргумента согласно,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left(R,{\frac {\alpha Z}{2}}\right)\approx 1+{\frac {1}{4a}}e^{\beta E_{0}}\times \left[\left({\frac {1}{\sqrt {a}}}-2i{\sqrt {p}}\right)e^{2i{\sqrt {ap}}}\int _{\Gamma }e^{-z^{2}}{\mathrm {d} }z+\left({\frac {1}{\sqrt {a}}}+2i{\sqrt {p}}\right)e^{-2i{\sqrt {ap}}}\int _{\Gamma }e^{-\left(z^{\ast }\right)^{2}}{\mathrm {d} }z^{\ast }\right],\\\end{aligned}}}$

(48)

куда ${\displaystyle \Gamma }$ - произвольный путь на комплексной плоскости, начинающийся нулем и заканчивающийся${\displaystyle u\to \infty }$. Для получения более подробной информации и физических интерпретаций см.^[26]

Смотрите также

• Полиномы Романовского
• Потенциал Пёшля – Теллера

Рекомендации

1. Купер, Ф .; Khare, A .; Сухатме, У. П. (2001). Суперсимметрия в квантовой механике. Сингапур: World Scientific. ISBN  978-9-81-024612-9.
2. Rosen, N .; Морс, П. М. (1932). «О колебаниях многоатомных молекул». Phys. Rev. 42 (2): 210. Bibcode:1932ПхРв ... 42..210Р. Дои:10.1103 / PhysRev.42.210.
3. Шредингер, Э. (1941). «Факторизация гипергеометрического уравнения». Proc. Рой. Irish Acad. А. 47: 53–54. JSTOR  20488434.
4. Барут, А.О .; Уилсон, Р. (1985). «О динамической группе задачи Кеплера в искривленном пространстве постоянной кривизны». Phys. Lett. А. 110 (7–8): 351. Bibcode:1985ФЛА..110..351Б. Дои:10.1016/0375-9601(85)90052-0.
5. Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1971). Классическая теория поля. Vol. 2 курса теоретической физики (3-е изд.). Pergamon Press. п. 335. ISBN  978-0-08-016019-1.
6. Pouria, P. (2010). «Модификация закона Кулона в замкнутых пространствах». Являюсь. J. Phys. 78 (4): 403. arXiv:0912.0225. Bibcode:2010AmJPh..78..403P. Дои:10.1119/1.3272020.
7. Кирхбах, М .; Компин, К. Б. (2016). "Моделирование двойственности между спектрами связанных и резонансных мезонов с помощью свободных квантовых движений в пространстве-времени де Ситтера. ${\displaystyle dS_{4}}$". Евро. Phys. J. A. 52 (7): 210. arXiv:1608.05041. Bibcode:2016EPJA ... 52..210K. Дои:10.1140 / epja / i2016-16210-3.
8. Fubini, S .; Hanson, A.J .; Джеки, Р. (1973). «Новый подход к теории поля». Phys. Ред. D. 7 (6): 1732. Bibcode:1973ПхРвД ... 7.1732Ф. Дои:10.1103 / PhysRevD.7.1732.
9. Алертц, Б. (1990). "Электродинамика в пространстве-времени Робертсона-Уокера" (PDF). Анна. Inst. Анри Пуанкаре. 53 (3): 319.
10. Келлог, О. Д. (1953). Основы теории потенциала. Нью-Йорк: Дувр. ISBN  978-0-48-660144-1.
11. Bessis, N .; Bessis, G .; Шамседдин, Р. (1982). «Тонкая структура атома в пространстве постоянной кривизны». J. Phys. A: Математика.Gen. 15 (10): 3131. Bibcode:1982JPhA ... 15.3131B. Дои:10.1088/0305-4470/15/10/017.
12. Романовский, В. (1929). "Sur quelques классы nouvelles de polynomes orthogonaux". C. R. Acad. Sci. Париж (На французском). 188: 1023.
13. Раус, Э. Дж. (1884). «О некоторых свойствах некоторых решений дифференциального уравнения второго порядка». Proc. Лондонская математика. Soc. 16: 245. Дои:10.1112 / плмс / с1-16.1.245.
14. Raposo, A. P .; Weber, H.J .; Álvarez Castillo, D.E .; Кирхбах, М. (2007). «Полиномы Романовского в избранных задачах физики». Cent. Евро. J. Phys. 5 (3): 253–284. arXiv:0706.3897. Bibcode:2007CEJPh ... 5..253R. Дои:10.2478 / s11534-007-0018-5.
15. Кайол, Дж. М. (1993). «Новый потенциал для численного моделирования растворов электролитов на гиперсфере». J. Chem. Phys. 99 (11): 8953. Bibcode:1993ЖЧФ..99.8953С. Дои:10.1063/1.465565.
16. Caillol, J.M .; Трулссон, М. (2014). «Новый дипольный потенциал для численного моделирования полярных жидкостей на четырехмерной гиперсфере». J. Chem. Phys. 141 (12): 124111. arXiv:1407.7739. Bibcode:2014ЖЧФ.141л4111С. Дои:10.1063/1.4896181. PMID  25273416.
17. Серна, М .; Кэхилл, К. (2003). «Риманова калибровочная теория и зарядовое квантование». Журнал физики высоких энергий. 2003 (10): 054. arXiv:hep-th / 0205250. Bibcode:2003JHEP ... 10..054S. Дои:10.1088/1126-6708/2003/10/054.
18. Deur, A .; Burkert, V .; Chen, J. P .; Корш, В. (2008). «Определение эффективной константы сильной связи ${\displaystyle \alpha _{s,g_{1}}\left(Q^{2}\right)}$ из данных функции спиновой структуры CLAS ". Phys. Lett. B. 665 (5): 349–351. arXiv:0803.4119. Bibcode:2008ФЛБ..665..349Д. Дои:10.1016 / j.physletb.2008.06.049.
19. Кирхбах, М .; Компеан, К. Б. (2017). Дополнение к: Моделирование двойственности между спектрами связанных и резонансных мезонов с помощью свободных квантовых движений в пространстве-времени де Ситтера. ${\displaystyle dS_{4}}$". Евро. Phys. J. A. 53 (4): 65. Bibcode:2017EPJA ... 53 ... 65K. Дои:10.1140 / epja / i2017-12269-6.
20. Aldrovandi, R .; Beltrán Almeida, J.P .; Перейра, Дж. Г. (2007). "Специальная теория относительности де Ситтера". Учебный класс. Квантовая гравитация. 24 (6): 1385–1404. arXiv:gr-qc / 0606122. Bibcode:2007CQGra..24.1385A. Дои:10.1088/0264-9381/24/6/002.
21. Белицкий, А. В .; Горский, А. С .; Корчемский, Г. П. (2003). «Калибровочно-струнная двойственность для конформных операторов КХД». Nucl. Phys. B. 667 (1–2): 3–54. arXiv:hep-th / 0304028. Bibcode:2003НуФБ.667 .... 3Б. Дои:10.1016 / S0550-3213 (03) 00542-X.
22. Горский, А. С. (2005). «Спиновые цепи и двойственность калибровочных струн». Теор. Математика. Phys. 142 (2): 153. arXiv:hep-th / 0308182. Дои:10.1007 / s11232-005-0042-9.
23. Кирхбах, М .; Компеан, К. Б. (2018). «Электромагнитные форм-факторы протона от неэнергетического удержания потенциала». Nucl. Phys. А. 980: 32. arXiv:1810.03665. Bibcode:2018НуФА.980 ... 32К. Дои:10.1016 / j.nuclphysa.2018.09.083.
24. Aharony, O .; Marsano, J .; Minwalla, S .; Пападодимас, К .; Ван Рамсдонк, М. (2004). "Фазовый переход деконфайнмента Хагедорна в слабосвязанных больших N калибровочных теориях". Adv. Теор. Математика. Phys. 8 (4): 603–696. arXiv:hep-th / 0310285. Дои:10.4310 / ATMP.2004.v8.n4.a1.
25. Руки, С .; Холлоуд, Т. Дж .; Майерс, Дж. К. (2010). «КХД с химическим потенциалом в малом гиперсферическом ящике». Журнал физики высоких энергий. 2010 (7): 86. arXiv:1003.5813. Bibcode:2010JHEP ... 07..086H. Дои:10.1007 / JHEP07 (2010) 086.
26. Блиндер, С. М. (1996). «Каноническая статистическая сумма для атома водорода в искривленном пространстве». J. Math. Chem. 19: 43. Дои:10.1007 / BF01165129. HDL:2027.42/43064.