ты-инвариантный - u-invariant - Wikipedia

В математика, то универсальный инвариант или же ты-инвариантный из поле описывает структуру квадратичные формы над полем.

Универсальный инвариант ты(F) поля F это самый большой размер анизотропное квадратичное пространство над F, или ∞, если его не существует. С формально реальные поля имеют анизотропные квадратичные формы (суммы квадратов) в каждом измерении, инвариант представляет интерес только для других полей. Эквивалентная формулировка такова: ты наименьшее число такое, что каждая форма измерения больше, чем ты является изотропный, или что каждая форма измерения по крайней мере ты является универсальный.

Примеры

Для сложные числа, ты(C) = 1.
Если F является квадратично замкнутый тогда ты(F) = 1.
Функциональное поле алгебраическая кривая над алгебраически замкнутое поле имеет ты ≤ 2; это следует из Теорема Цена что такое поле квазиалгебраически замкнутый.^[1]
Если F нереальный Глобальный или же местное поле, или в более общем смысле связанное поле, тогда ты(F) = 1, 2, 4 или 8.^[2]

Характеристики

Если F формально не реально ты(F) не более ${ displaystyle q (F) = left | {F ^ { star} / F ^ { star 2}} right |}$ , индекс квадратов в мультипликативной группа из F.^[3]
ты(F) не может принимать значения 3, 5 или 7.^[4] Поля существуют с ты = 6^[5]^[6] и ты = 9.^[7]
Меркурьева показал, что каждый четное целое число встречается как значение ты(F) для некоторых F.^[8]^[9]
Александр Вишик доказано, что существуют поля с ты-инвариантный ${ displaystyle 2 ^ {r} +1}$ для всех ${ displaystyle r> 3}$ .^[10]
В ты-инвариант ограничен относительно конечных-степень расширения полей. Если E/F расширение поля степени п тогда

{ Displaystyle и (Е) Leq { гидроразрыва {п + 1} {2}} и (F) .}

В случае квадратичных расширений ты-инвариант ограничен

{ Displaystyle и (F) -2 leq u (E) leq { frac {3} {2}} и (F) }

и достигаются все значения в этом диапазоне.^[11]

Генерал ты-инвариантный

Поскольку ты-инвариантность малоинтересна в случае формально вещественных полей, определим Общее ты-инвариантный быть максимальным размером анизотропной формы в торсионная подгруппа из Кольцо Witt из F, или ∞, если его не существует.^[12] Для неформально-вещественных полей кольцо Витта является торсионным, так что это согласуется с предыдущим определением.^[13] Для формально реального поля общее ты-инвариантно либо четно, либо ∞.

Характеристики

ты(F) ≤ 1 тогда и только тогда, когда F это Пифагорейское поле.^[13]

Рекомендации

^ Лам (2005) стр.376
^ Лам (2005) стр.406
^ Лам (2005) стр. 400
^ Лам (2005) стр. 401
^ Лам (2005) с.484
^ Лам, Т. (1989). «Поля u-инварианта 6 по А. Меркурьеву». Теория колец 1989. В честь С. А. Амицура, Proc. Symp. и семинар, Иерусалим 1988/89. Israel Math. Конф. Proc. 1. С. 12–30. Zbl 0683.10018.
^ Ижболдин, Олег Т. (2001). «Поля u-инварианта 9». Анналы математики. Вторая серия. 154 (3): 529–587. Дои:10.2307/3062141. JSTOR 3062141. Zbl 0998.11015.
^ Лам (2005) стр. 402
^ Эльман, Карпенко, Меркурьев (2008) с. 170
^ Вишик, Александр (2009). "Поля ты-инвариантный ${ displaystyle 2 ^ {r} +1}$ ". Алгебра, арифметика и геометрия. Успехи в математике. Birkhäuser Boston. Дои:10.1007/978-0-8176-4747-6_22.
^ Минач, Ян; Уодсворт, Адриан Р. (1995). «U-инвариант для алгебраических расширений». В Розенберг, Алекс (ред.). K-теория и алгебраическая геометрия: связи с квадратичными формами и алгебрами с делением. Летний научно-исследовательский институт квадратичных форм и алгебр с делением, 6-24 июля 1992 г., Калифорнийский университет, Санта-Барбара, Калифорния (США). Proc. Symp. Чистая математика. 58. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 333–358. Zbl 0824.11018.
^ Лам (2005) стр. 409
^ ^а ^б Лам (2005) стр. 410

Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями. Аспирантура по математике. 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. МИСТЕР 2104929. Zbl 1068.11023.
Раджваде, А. Р. (1993). Квадраты. Серия лекций Лондонского математического общества. 171. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
Элман, Ричард; Карпенко, Никита; Меркурьев, Александр (2008). Алгебраическая и геометрическая теория квадратичных форм. Публикации коллоквиума Американского математического общества. 56. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-0-8218-4329-1.

[Lam376-1] Лам (2005) стр.376

[Lam406-2] Лам (2005) стр.406

[Lam400-3] Лам (2005) стр. 400

[Lam401-4] Лам (2005) стр. 401

[Lam484-5] Лам (2005) с.484

[Lam1989-6] Лам, Т. (1989). «Поля u-инварианта 6 по А. Меркурьеву». Теория колец 1989. В честь С. А. Амицура, Proc. Symp. и семинар, Иерусалим 1988/89. Israel Math. Конф. Proc. 1. С. 12–30. Zbl 0683.10018.

[7] Ижболдин, Олег Т. (2001). «Поля u-инварианта 9». Анналы математики. Вторая серия. 154 (3): 529–587. Дои:10.2307/3062141. JSTOR 3062141. Zbl 0998.11015.

[Lam402-8] Лам (2005) стр. 402

[ELM170-9] Эльман, Карпенко, Меркурьев (2008) с. 170

[10] Вишик, Александр (2009). "Поля ты-инвариантный ${ displaystyle 2 ^ {r} +1}$ ". Алгебра, арифметика и геометрия. Успехи в математике. Birkhäuser Boston. Дои:10.1007/978-0-8176-4747-6_22.

[11] Минач, Ян; Уодсворт, Адриан Р. (1995). «U-инвариант для алгебраических расширений». В Розенберг, Алекс (ред.). K-теория и алгебраическая геометрия: связи с квадратичными формами и алгебрами с делением. Летний научно-исследовательский институт квадратичных форм и алгебр с делением, 6-24 июля 1992 г., Калифорнийский университет, Санта-Барбара, Калифорния (США). Proc. Symp. Чистая математика. 58. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 333–358. Zbl 0824.11018.

[Lam409-12] Лам (2005) стр. 409

[Lam410-13] а ^б Лам (2005) стр. 410

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]