Теорема о гадком утенке - Ugly duckling theorem

В Теорема о гадком утенке является аргумент показывая, что классификация невозможна без какого-либо предвзятость. В частности, он предполагает конечное число свойств, которые можно комбинировать логические связки, и конечное число объектов; он утверждает, что любые два разные у объектов одинаковое количество (экстенсиональный ) характеристики. Теорема названа в честь Ганс Христиан Андерсен Рассказ 1843 года "Гадкий утенок ", потому что это показывает, что утенок так же похож на лебедь как два утенка друг к другу. Это было предложено Сатоси Ватанабэ в 1969 г.^{[1]:376–377}

Математическая формула

Пример Ватанабэ с использованием объектов А, B, C, и свойства F («первый»), W («белый»). «0», «1», «¬ " , "∧ ", "∨ ", и "⊕ "обозначать"ложный", "истинный", "нет ", "и ", "или же ", и "Эксклюзивный или "соответственно. Поскольку F означает W, каждый предикат, который может быть образован из F и W, совпадает с другим предикатом, следовательно, существует только 8 экстенсивно различные возможные предикаты, каждый из которых отображается в отдельной строке. Белые утята А и B согласны с 4 из них (строки 2, 3, 4, 8), но также А и Cтоже (строки 3, 5, 7, 8), и так же B и C (строки 1, 3, 6, 8).^[1]:368[2]

Предположим, есть п вещи во вселенной, и каждый хочет разделить их на классы или категории. У человека нет предвзятых идей или предубеждения о том, какие категории являются «естественными» или «нормальными», а какие нет. Таким образом, нужно рассмотреть все возможные классы, все возможные способы создания наборов из п объекты. Есть ${displaystyle 2^{n}}$ таким образом, размер набор мощности из п объекты. Это можно использовать для измерения сходства между двумя объектами: и можно будет увидеть, сколько наборов у них общего. Однако нельзя. Любые два объекта имеют одинаковое количество общих классов, если мы можем сформировать любой возможный класс, а именно ${displaystyle 2^{n-1}}$ (половина от общего количества классов). Чтобы убедиться, что это так, можно представить, что каждый класс представлен п-кусочек нить (или же двоично закодированный целое число), с нулем для каждого элемента не в классе и единицей для каждого элемента в классе. Как выяснилось, есть ${displaystyle 2^{n}}$ такие струны.

Поскольку здесь есть все возможные варианты выбора нулей и единиц, любые две битовые позиции будут согласовываться ровно в половине случаев. Можно выбрать два элемента и переупорядочить биты так, чтобы они были первыми двумя, и представить числа, отсортированные лексикографически. Первый ${displaystyle 2^{n}/2}$ числа будут иметь бит # 1, установленный в ноль, а второй ${displaystyle 2^{n}/2}$ будет установлен на единицу. В каждом из этих блоков верхний ${displaystyle 2^{n}/4}$ бит # 2 будет установлен в ноль, а другой ${displaystyle 2^{n}/4}$ будет как один, поэтому они соглашаются на два блока ${displaystyle 2^{n}/4}$ или в половине всех случаев. Независимо от того, какие два элемента вы выбираете. Итак, если у нас нет предвзятого мнения о том, какие категории лучше, тогда все будет одинаково похоже (или одинаково несхожим). Количество предикаты одновременно удовлетворяется двумя неидентичными элементами, постоянна по всем таким парам и одинакова^{[нужна цитата ]} как количество удовлетворенных на один. Таким образом, какой-то индуктивный^{[нужна цитата ]} необъективность необходима для вынесения суждений; то есть предпочитать одни категории другим.

Логические функции

Позволять ${displaystyle x_{1},x_{2},dots ,x_{n}}$ быть набором векторов ${displaystyle k}$ логические значения каждый. Гадкий утенок - это вектор, который меньше всего похож на других. Учитывая логические значения, это можно вычислить, используя Расстояние Хэмминга.

Однако выбор логических функций для рассмотрения мог быть несколько произвольным. Возможно, на основе оригинальных черт были черты, которые были важны для идентификации гадкого утенка. Набор логических значений в векторе может быть расширен новыми функциями, вычисляемыми как логические функции из ${displaystyle k}$ оригинальные черты. Единственный канонический способ сделать это - расширить его с помощью все возможные булевы функции. Полученные завершенные векторы имеют ${displaystyle 2^{k}}$ Особенности. Теорема о гадком утенке утверждает, что гадкого утенка не существует, потому что любые два завершенных вектора будут либо равны, либо различаться ровно в половине признаков.

Доказательство. Пусть x и y - два вектора. Если они одинаковы, то их завершенные векторы также должны быть одинаковыми, потому что любая булева функция от x будет согласована с одной и той же логической функцией от y. Если x и y различны, то существует координата ${displaystyle i}$ где ${displaystyle i}$-я координата ${displaystyle x}$ отличается от ${displaystyle i}$-я координата ${displaystyle y}$. Теперь завершенные функции содержат все логические функции на ${displaystyle k}$ Логические переменные, каждая ровно один раз. Рассматривая эти логические функции как многочлены от ${displaystyle k}$ переменных над GF (2), разбиваем функции на пары ${displaystyle (f,g)}$ куда ${displaystyle f}$ содержит ${displaystyle i}$-я координата как линейный член и ${displaystyle g}$ является ${displaystyle f}$ без этого линейного члена. Теперь для каждой такой пары ${displaystyle (f,g)}$, ${displaystyle x}$ и ${displaystyle y}$ согласует ровно одну из двух функций. Если они согласны с одним, они должны не согласиться с другим, и наоборот. (Считается, что это доказательство принадлежит Ватанабэ.)

Обсуждение

Решение теоремы о гадком утке^{[уточнить ]} было бы ввести ограничение на способ измерения сходства путем ограничения свойств, участвующих в классификации, например, между A и B. Однако Medin et al. (1993) отмечают, что это на самом деле не решает проблему произвольности или предвзятости, поскольку в каких отношениях A похож на B: «зависит от контекста стимула и задачи, так что не существует однозначного ответа на вопрос о том, насколько схоже. один объект к другому ».^[3][5] Например, стержень и зебра были бы более похожи, чем лошадь и зебра, если бы элемент в полоску имел достаточный вес. Конечно, если бы эти веса характеристик были фиксированными, то эти отношения подобия были бы ограничены ». Тем не менее, свойство« полосатое »как« исправление »веса или ограничение само по себе является произвольным, что означает:« если нельзя указать такие критерии, то утверждение то, что категоризация основана на сопоставлении атрибутов, почти полностью бессмысленно ".

Стамос (2003) попытался решить теорему об уродливом утенке, показав, что некоторые суждения об общем сходстве не произвольны в том смысле, что они полезны:

«Предположительно, процессы восприятия и концептуальные представления людей развились так, что информация, имеющая значение для человеческих потребностей и целей, может быть приблизительно аппроксимирована эвристикой подобия ... Если вы находитесь в джунглях и видите тигра, но вы решаете не стереотипировать (возможно, потому что вы считаете, что сходство - ложный друг), тогда вас, вероятно, съедят. Другими словами, в биологическом мире стереотипы, основанные на достоверных суждениях об общем сходстве, статистически приводят к большему выживанию и репродуктивному успеху ».^[6]

Если одни свойства не будут считаться более заметными или «взвешенными» более важными, чем другие, все будет казаться одинаково похожим, поэтому Ватанабе (1986) писал: «любые объекты, поскольку они различимы, одинаково похожи».^[7]

В более слабой обстановке, предполагающей бесконечно много свойств, Мерфи и Медин (1985) приводят пример двух предполагаемых классифицированных вещей, слив и газонокосилок:

"Предположим, что нужно перечислить общие характеристики слив и газонокосилок, чтобы судить об их сходстве. Легко видеть, что список может быть бесконечным: оба весят менее 10 000 кг (и менее 10 001 кг), оба не существовало 10 000 000 лет назад (и 10 000 001 год назад), оба плохо слышат, оба могут быть отброшены, оба занимают место и т. д. Точно так же список различий может быть бесконечным ... любые два объекта могут быть произвольно похожими или отличается, изменив критерий того, что считается релевантным атрибутом ".^[8]

Смотрите также

• Никаких бесплатных обедов в поиске и оптимизации
• Теорема о бесплатном обеде

Примечания

1. Сатоси Ватанабэ (1969). Знание и предположение: количественное исследование выводов и информации. Нью-Йорк: Вили. ISBN  0-471-92130-0. LCCN  68-56165.
2. Ватанабэ Икс₁, Икс₂, Икс₃, у₁, и у₂, соответствуют C, B, А, F и W соответственно.
3. Дуглас Л. Медин и Р. Л. Голдстоун и Дедре Джентнер (1993). «Уважение к сходству». Психологический обзор. 100 (2): 254–278. Дои:10.1037 / 0033-295x.100.2.254.
4. Нельсон Гудман (1972). «Семь критических замечаний по поводу сходства». У Нельсона Гудмана (ред.). Проблемы и проекты. Нью-Йорк: Бобс-Меррил. С. 437–446.
5. Философ Нельсон Гудман^[4] пришли к такому же выводу: «Но важность - это очень изменчивый вопрос, изменяющийся при каждом изменении контекста и интереса, и совершенно неспособный поддержать фиксированные различия, которые философы так часто стремятся основывать на нем».
6. Стамос, Д. Н. (2003). Проблема видов. Lexington Books. п. 344.
7. Сатоси Ватанабэ (1986). «Эпистемологическая относительность». Анналы Японской ассоциации философии науки. 7 (1): 1–14. Дои:10.4288 / jafpos1956.7.1.
8. Грегори Л. Мерфи и Дуглас Л. Медин (июль 1985 г.). «Роль теорий в концептуальной согласованности» (PDF). Психологический обзор. 92 (3): 289–316. Дои:10.1037 / 0033-295x.92.3.289.