Униформизация (теория множеств) - Uniformization (set theory)

В теория множеств, филиал математика, то аксиома униформизации это слабая форма аксиома выбора. В нем говорится, что если ${ displaystyle R}$ это подмножество из ${ Displaystyle X раз Y}$ , куда ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ находятся Польские просторы, то существует подмножество ${ displaystyle f}$ из ${ displaystyle R}$ это частичная функция из ${ displaystyle X}$ к ${ displaystyle Y}$ , и чья область набор из всех ${ displaystyle x}$ такой, что ${ displaystyle f (x)}$ существует) равно

{ Displaystyle {Икс в Икс середине существует у в Y: (х, у) в R } ,}

Такая функция называется униформизирующая функция за ${ displaystyle R}$ , или униформа из ${ displaystyle R}$ .

Униформизация отношения р (голубой) по функциям ж (красный).

Чтобы увидеть связь с аксиомой выбора, заметьте, что ${ displaystyle R}$ можно рассматривать как ассоциацию с каждым элементом ${ displaystyle X}$ , подмножество ${ displaystyle Y}$ . Унификация ${ displaystyle R}$ затем выбирает ровно один элемент из каждого такого подмножества, когда подмножество непустой. Таким образом, разрешая произвольные множества Икс и Y (а не только польские пространства) сделает аксиому униформизации эквивалентной аксиоме выбора.

А pointclass ${ displaystyle { boldsymbol { Gamma}}}$ говорят, что имеет свойство униформизации если каждый связь ${ displaystyle R}$ в ${ displaystyle { boldsymbol { Gamma}}}$ можно униформизировать с помощью частичной функции в ${ displaystyle { boldsymbol { Gamma}}}$ . Свойство униформизации подразумевается свойство масштаба, по крайней мере, для адекватные классы определенной формы.

Это следует из ZFC только что ${ displaystyle { boldsymbol { Pi}} _ {1} ^ {1}}$ и ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}} _ {2} ^ {1}}$ обладают свойством униформизации. Из наличия достаточного большие кардиналы который

${ displaystyle { boldsymbol { Pi}} _ {2n + 1} ^ {1}}$ и ${ Displaystyle { boldsymbol { Sigma}} _ {2n + 2} ^ {1}}$ обладают свойством униформизации для каждого натуральное число ${ displaystyle n}$ .
Следовательно, сбор проективные множества обладает свойством униформизации.
Каждое отношение в L (R) можно унифицировать, но не обязательно функцией из L (R). Фактически, L (R) не обладает свойством униформизации (эквивалентно, L (R) не удовлетворяет аксиоме униформизации).
- (Примечание: очевидно, что каждое отношение в L (R) может быть униформизировано в Vв предположении, что V удовлетворяет выбранной аксиоме. Дело в том, что каждое такое отношение может быть униформизировано в некоторой транзитивной внутренней модели V, в которой аксиома детерминированности держит.)

Униформизация (теория множеств) - Uniformization (set theory)

Рекомендации