Модель Ван Хиле - Van Hiele model

В математическое образование, то Модель Ван Хиле это теория, которая описывает, как студенты учатся геометрия. Теория зародилась в 1957 году в докторских диссертациях Дины ван Хиле-Гелдоф и Пьера ван Хиле (жены и мужа) в г. Утрехтский университет, в Нидерланды. Советы проводили исследования теории в 1960-х годах и интегрировали их выводы в свои учебные программы. Американские исследователи провели несколько крупных исследований теории Ван Хиле в конце 1970-х - начале 1980-х годов, сделав вывод о том, что низкий уровень Ван Хиле у студентов затруднял успешное обучение. ориентированная на доказательства геометрия курсы и советы по лучшей подготовке в более раннем классе.[1][2] Опубликован Пьер ван Хиле Структура и понимание в 1986 году, далее описывая свою теорию. Модель сильно повлияла на учебные программы по геометрии во всем мире, поскольку особое внимание уделяется анализу свойств и классификации форм на начальных этапах обучения. В Соединенных Штатах теория повлияла на геометрическую составляющую Стандарты опубликовано Национальный совет учителей математики и новый Общие основные стандарты.

Уровни Ван Хиле

Студент наизусть учится оперировать [математическими] соотношениями, которые он не понимает и происхождения которых он не видел ... Следовательно, система отношений - это самостоятельная конструкция, не имеющая связи с другими переживаниями ребенка. Это означает, что ученик знает только то, чему его учили и что из этого было выведено. Он не научился устанавливать связи между системой и чувственным миром. Он не будет знать, как применить то, что он узнал, в новой ситуации. - Пьер ван Хиле, 1959 год.[3]

Самая известная часть модели Ван Хиле - это пять уровней, которые ван Хилес постулировал для описания того, как дети учатся рассуждать в геометрии. Нельзя ожидать, что студенты будут доказывать геометрические теоремы, пока они не получат обширного понимания систем взаимосвязей между геометрическими идеями. Эти системы нельзя выучить наизусть, их необходимо развивать на основе знакомства с многочисленными примерами и контрпримерами, различными свойствами геометрических фигур, взаимосвязями между свойствами и порядком их упорядочения. Пять уровней, постулируемые ван Хилесом, описывают, как учащиеся продвигаются через это понимание.

Пять уровней Ван Хиле иногда неправильно понимают как описание того, как учащиеся понимают классификацию форм, но на самом деле уровни описывают способ, которым учащиеся рассуждают о формах и других геометрических идеях. Пьер ван Хиле заметил, что его ученики имеют тенденцию к "плато" в определенных точках своего понимания геометрии, и он определил эти точки плато как уровни.[4] Как правило, эти уровни являются результатом опыта и обучения, а не возраста. Это в отличие от Piaget теория познавательного развития, которая зависит от возраста. У ребенка должно быть достаточно опыта (в классе или в другом классе) с этими геометрическими идеями, чтобы перейти на более высокий уровень сложности. Благодаря богатому опыту дети могут достичь уровня 2 в начальной школе. Без такого опыта многие взрослые (включая учителей) остаются на Уровне 1 всю свою жизнь, даже если они проходят формальный курс геометрии в средней школе.[5] Уровни следующие:

Дети на уровне 0 часто говорят, что все эти формы - треугольники, кроме E, которая слишком «тонкая». Они могут сказать, что F «вверх ногами». Учащиеся уровня 1 поймут, что только E и F являются действительными треугольниками.

Уровень 0. Визуализация: На этом уровне внимание ребенка сосредоточено на индивидуальных формах, которые ребенок учится классифицировать, оценивая их целостный внешний вид. Дети просто говорят: «Это круг», обычно без дальнейшего описания. Дети идентифицируют прототипы основных геометрических фигур (треугольник, круг, квадрат ). Эти визуальные прототипы затем используются для идентификации других форм. Форма - это круг, потому что она похожа на солнце; форма - это прямоугольник, потому что она похожа на дверь или коробку; и так далее. Кажется, что квадрат имеет другую форму, чем прямоугольник, а ромб не похож на другие параллелограммы, поэтому в детском сознании эти формы классифицируются совершенно отдельно. Дети рассматривают фигуры целостно, не анализируя их свойства. Если форма недостаточно похожа на свой прототип, ребенок может отклонить классификацию. Таким образом, дети на этом этапе могут не называть тонкий треугольник в форме клина (со сторонами 1, 20, 20 или со сторонами 20, 20, 39) «треугольником», потому что он по форме сильно отличается от равносторонний треугольник, который является обычным прототипом «треугольника». Если горизонтальное основание треугольника находится сверху, а противоположная вершина - снизу, ребенок может распознать его как треугольник, но заявить, что он «перевернут». Формы с закругленными или неполными сторонами могут быть приняты как «треугольники», если они имеют целостное сходство с равносторонним треугольником.[6] Квадраты называются «ромбами» и не считаются квадратами, если их стороны ориентированы под углом 45 ° к горизонтали. Дети на этом уровне часто верят, что что-то правда, основываясь на единственном примере.

Уровень 1. Анализ: На этом уровне формы становятся носителями своих свойств. Объекты мысли - это классы фигур, которые ребенок научился анализировать как обладающие свойствами. Человек на этом уровне может сказать: «У квадрата 4 равные стороны и 4 равных угла. Его диагонали равны и перпендикулярны, и они делят друг друга пополам». Свойства важнее внешнего вида формы. Если на доске нарисована фигура и учитель утверждает, что у нее должны быть совпадающие стороны и углы, ученики соглашаются, что это квадрат, даже если он плохо нарисован. Недвижимость на этом уровне еще не заказана. Дети могут обсуждать свойства основных фигур и узнавать их по этим свойствам, но обычно не позволяют категориям перекрываться, потому что они понимают каждое свойство отдельно от других. Например, они по-прежнему будут настаивать на том, чтобы " квадрат это не прямоугольник. "(Они могут вводить посторонние свойства для поддержки таких убеждений, такие как определение прямоугольника как фигуры с одной парой сторон длиннее, чем другая пара сторон.) Дети начинают замечать многие свойства фигур, но не видят взаимосвязи между свойствами; поэтому они не могут сократить список свойств до краткого определения с необходимыми и достаточными условиями. индуктивно из нескольких примеров, но пока не могу рассуждать дедуктивно потому что они не понимают, как связаны свойства фигур.

Уровень 2. Абстракция.: На этом уровне свойства упорядочены. Объекты мысли - это геометрические свойства, которые ученик научился дедуктивно связывать. Учащийся понимает, что свойства связаны, и один набор свойств может подразумевать другое свойство. Студенты могут рассуждать с помощью простых аргументов о геометрических фигурах. Студент на этом уровне может сказать: "Равнобедренные треугольники симметричны, поэтому их базовые углы должны быть равны ". Учащиеся признают взаимосвязь между типами фигур. Они признают, что все квадраты являются прямоугольниками, но не все прямоугольники являются квадратами, и они понимают, почему квадраты являются типом прямоугольников, на основе понимания свойств каждого из них. Они могут сказать, возможно ли иметь прямоугольник, который, например, тоже является ромбом. Они понимают необходимые и достаточные условия и может писать краткие определения. Однако они еще не понимают внутреннего значения дедукции. Они не могут следовать сложным аргументам, понимать место определений или осознавать необходимость аксиом, поэтому они еще не могут понять роль формальных геометрических доказательств.

Уровень 3. Удержание: Студенты на этом уровне понимают значение дедукции. Объектом мышления являются дедуктивные рассуждения (простые доказательства), которые студент учится комбинировать, чтобы сформировать систему формальных доказательств (Евклидова геометрия ). Учащиеся могут создавать геометрические доказательства на уровне средней школы и понимать их значение. Они понимают роль неопределенных терминов, определений, аксиомы и теоремы в евклидовой геометрии. Однако студенты этого уровня считают, что аксиомы и определения фиксированы, а не произвольны, поэтому они еще не могут представить себе неевклидова геометрия. Геометрические идеи все еще понимаются как объекты на евклидовой плоскости.

Уровень 4. Строгость.: На этом уровне геометрия понимается на уровне математика. Студенты понимают, что определения произвольны и не обязательно должны относиться к какой-либо конкретной реализации. Объектом мышления являются дедуктивные геометрические системы, для которых учащийся сравнивает аксиоматические системы. Учащиеся могут учиться неевклидовы геометрии с пониманием. Люди могут понять дисциплину геометрии и ее философские отличия от нематематических исследований.

Американские исследователи перенумеровали уровни с 1 до 5, чтобы они могли добавить «Уровень 0», который описывает маленьких детей, которые вообще не могут определять формы. Обе системы нумерации все еще используются. Некоторые исследователи также называют уровни по-разному.

Свойства уровней

Уровни Ван Хиле имеют пять свойств:

1. Фиксированная последовательность: уровни иерархические. Студенты не могут «пропустить» уровень.[5] Ван Хилес утверждают, что большая часть трудностей, с которыми сталкиваются студенты-геометры, связаны с обучением на уровне дедукции, когда они еще не достигли уровня абстракции.

2. Смежность: свойства, которые являются внутренними на одном уровне, становятся внешними на следующем. (Свойства присутствуют на уровне визуализации, но ученик еще не осознает их сознательно до уровня анализа. На самом деле свойства связаны на уровне анализа, но ученики еще не осознают эти отношения явным образом.)

3. Различие: каждый уровень имеет свои лингвистические символы и сеть отношений. Значение языкового символа - это больше, чем его явное определение; он включает в себя переживания, которые говорящий ассоциирует с данным символом. То, что может быть «правильным» на одном уровне, не обязательно правильно на другом уровне. На уровне 0 квадрат - это что-то вроде коробки. На уровне 2 квадрат - это особый тип прямоугольника. Ни то, ни другое не является правильным описанием значения слова «квадрат» для кого-то, кто рассуждает на уровне 1. Если ученику просто передают определение и связанные с ним свойства, не имея возможности развить значимый опыт с концепцией, ученик не будет уметь применять эти знания за пределами ситуаций, использованных на уроке.

4. Разделение: учитель, рассуждающий на одном уровне, говорит на другом «языке», чем ученик на более низком уровне, что мешает пониманию. Когда учитель говорит о «квадрате», он или она имеет в виду особый тип прямоугольника. Учащиеся 0 или 1 уровня понимают этот термин иначе. Ученик не понимает учителя, и учитель не понимает, как ученик рассуждает, часто делая вывод, что ответы ученика просто «неправильные». Ван Хилес считал, что это свойство было одной из основных причин неудач в геометрии. Учителя полагают, что они выражают свои мысли ясно и логично, но их рассуждения на уровне 3 или 4 непонятны ученикам на более низких уровнях, и учителя не понимают мыслительные процессы своих учеников. В идеале учитель и ученики нуждаются в совместном опыте владения языком.

5. Достижение: Ван Хилес рекомендовал пять этапов для обучения студентов с одного уровня на другой по заданной теме:[7]

  • Информация или запрос: студенты знакомятся с материалом и начинают раскрывать его структуру. Учителя представляют новую идею и позволяют ученикам работать с новой концепцией. Попросив учащихся испытать структуру новой концепции аналогичным образом, они могут провести содержательный разговор о ней. (Учитель может сказать: «Это ромб. Нарисуйте еще несколько ромбов на своей бумаге».)
  • Управляемая или направленная ориентация: учащиеся выполняют задания, которые позволяют им исследовать неявные отношения. Учителя предлагают действия достаточно управляемого характера, которые позволяют учащимся познакомиться со свойствами новой концепции, которую учитель желает им изучить. (Учитель может спросить: «Что произойдет, если вы вырежете и сложите ромб по диагонали? По другой диагонали?» И так далее, после чего следует обсуждение.)
  • Экспликация: студенты выражают то, что они обнаружили, и вводят словарный запас. Опыт учащихся связан с общими языковыми символами. Ван Хилес считают, что учить лексику выгоднее. после студенты имели возможность ознакомиться с концепцией. Открытия сделаны максимально откровенными. (Учитель может сказать: «Вот свойства, которые мы заметили, и некоторый связанный с ними словарь для вещей, которые вы обнаружили. Давайте обсудим, что они означают».)
  • Свободное ориентирование: учащиеся выполняют более сложные задачи, позволяя им освоить сеть отношений в материале. Они знают изучаемые свойства, но им необходимо развивать беглость в навигации по сети отношений в различных ситуациях. Этот вид деятельности гораздо более открытый, чем ориентированная на проводника. Для этих задач не будет установленного порядка их решения. Проблемы могут быть более сложными и требовать более свободного исследования для поиска решений. (Учитель может сказать: «Как вы могли построить ромб, имея только две его стороны?» И другие задачи, для которых ученики не усвоили фиксированную процедуру.)
  • Интеграция: студенты резюмируют то, что они узнали, и запоминают. Учитель может дать студентам обзор всего, что они узнали. Важно, чтобы на этом этапе учитель не представлял никаких новых материалов, а только краткое изложение того, что уже было изучено. Учитель может также дать задание запомнить принципы и выученный словарный запас для будущей работы, возможно, с помощью дальнейших упражнений. (Учитель может сказать: «Вот краткое изложение того, что мы узнали. Запишите это в свой блокнот и выполняйте эти упражнения в качестве домашнего задания».) Сторонники модели ван Хиле отмечают, что традиционное обучение часто включает только этот последний этап, который объясняет, почему студенты не усваивают материал.

Для докторской диссертации Дины ван Хиле-Гелдоф она провела обучающий эксперимент с 12-летними детьми в средней школе Монтессори в Нидерландах. Она сообщила, что с помощью этого метода она смогла поднять уровень учеников с 0 до 1 за 20 уроков и с 1 до 2 за 50 уроков.

Исследование

Используя уровни Ван Хиле в качестве критерия, почти половина студентов-геометров помещается на курс, в котором их шансы на успех составляют всего 50-50. - Залман Усискин, 1982 г.[1]

Исследователи обнаружили, что уровень Ван Хиле у американских студентов низкий. Европейские исследователи нашли аналогичные результаты для европейских студентов.[8] Многие, возможно, большинство американских студентов не достигают уровня дедукции даже после успешного завершения ориентированного на доказательство курса геометрии в средней школе.[1] вероятно, потому, что, как утверждал ван Хилес, материал заучивается наизусть.[5] По всей видимости, это связано с тем, что курсы геометрии в американских старших классах предполагают, что учащиеся уже, по крайней мере, находятся на Уровне 2, готовы перейти на Уровень 3, тогда как многие старшеклассники все еще находятся на Уровне 1 или даже на Уровне 0.[1] См. Свойство Fixed Sequence выше.

Критика и модификации теории

Уровни являются прерывистыми, как определено в свойствах выше, но исследователи обсуждают, насколько дискретными являются уровни на самом деле. Исследования показали, что многие дети рассуждают на нескольких или промежуточных уровнях, что, по-видимому, противоречит теории.[6] Дети также продвигаются по уровням с разной скоростью для разных концепций, в зависимости от их воздействия на предмет. Поэтому они могут рассуждать на одном уровне для определенных форм, но на другом уровне для других форм.[5]

Некоторые исследователи[9] обнаружили, что многие дети на уровне визуализации не рассуждают полностью целостным образом, но могут сосредоточиться на одном атрибуте, таком как равные стороны квадрата или округлость круга. Они предложили переименовать этот уровень в синкретический уровень. Также были предложены другие модификации,[10] например, определение подуровней между основными уровнями, хотя ни одна из этих модификаций пока не приобрела популярности.

дальнейшее чтение

Рекомендации

  1. ^ а б c d Усискин, Залман (1982), Уровни Ван Хиле и достижения в области геометрии в средней школе, Чикагский университет
  2. ^ Fuys; и другие. (1988), Модель геометрического мышления Ван Хиле среди подростков, Национальный совет учителей математики
  3. ^ ван Хиле, Пьер (1985) [1959], Мысль и геометрия ребенка, Бруклин, штат Нью-Йорк: Городской университет Нью-Йорка, стр. 243–252.
  4. ^ Фройденталь, Ганс (1958). Отчет о методах инициирования в геометрию. Гронинген, Нидерланды: J. B. Wolters.
  5. ^ а б c d Мэйберри (1983), "Уровни геометрической мысли Ван Хиле у учителей дошкольного образования", Журнал исследований в области математического образования, 14 (1): 58–69, Дои:10.2307/748797, JSTOR  748797
  6. ^ а б Бургер; Шонесси (1986), "Характеризуя уровни развития геометрии ван Хиле", Журнал исследований в области математического образования, 17 (1): 31–48, CiteSeerX  10.1.1.584.2471, Дои:10.2307/749317, JSTOR  749317
  7. ^ Модель геометрической мысли Ван Хиле
  8. ^ Гутьеррес, Анхель; Хайме, А. (1998). «Об оценке Ван Хиле уровней рассуждения». Сосредоточьтесь на учебных задачах по математике. 20 (2/3): 27–46.
  9. ^ Clements, Douglas H .; Swaminathan, S .; Hannibal, M.A.Z .; Сарама, Джули (1999). «Детские представления о форме». Журнал исследований в области математического образования. 30 (2): 192–212. Дои:10.2307/749610. JSTOR  749610.
  10. ^ Баттиста, Майкл (2009), «Основные исследования по изучению школьной геометрии», Понимание геометрии в меняющемся мире, Семьдесят первый ежегодник, Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики, стр. 91–108.

внешняя ссылка