Фолькенборн интеграл - Volkenborn integral

В математике, в области p-адический анализ, то Фолькенборн интеграл это метод интеграция для p-адических функций.

Определение

Позволять :${\displaystyle f:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {C} _{p}}$ быть функцией от p-адический целые числа, принимающие значения в p-адических числах. Интеграл Волкенборна определяется пределом, если он существует:

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x=0}^{p^{n}-1}f(x).}$

В более общем смысле, если

${\displaystyle R_{n}=\left\{\left.x=\sum _{i=r}^{n-1}b_{i}x^{i}\right|b_{i}=0,\ldots ,p-1{\text{ for }}r<n\right\}}$

тогда

${\displaystyle \int _{K}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x\in R_{n}\cap K}f(x).}$

Этот интеграл определил Арнт Волкенборн.

Примеры

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}1\,{\rm {d}}x=1}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x\,{\rm {d}}x=-{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {1}{6}}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{k}\,{\rm {d}}x=B_{k}}$

куда ${\displaystyle B_{k}}$ k-й Число Бернулли.

Приведенные выше четыре примера можно легко проверить, напрямую используя определение и Формула Фаульхабера.

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}{x \choose k}\,{\rm {d}}x={\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}(1+a)^{x}\,{\rm {d}}x={\frac {\log(1+a)}{a}}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}e^{ax}\,{\rm {d}}x={\frac {a}{e^{a}-1}}}$

Последние два примера можно формально проверить, развернув в Серия Тейлор и интеграция по срокам.

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}\log _{p}(x+u)\,{\rm {d}}u=\psi _{p}(x)}$

с ${\displaystyle \log _{p}}$ p-адическая логарифмическая функция и ${\displaystyle \psi _{p}}$ p-адический функция дигаммы.

Характеристики

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x+m)\,{\rm {d}}x=\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,{\rm {d}}x+\sum _{x=0}^{m-1}f'(x)}$

Отсюда следует, что интеграл Волкенборна не является трансляционным инвариантом.

Если ${\displaystyle P^{t}=p^{t}\mathbb {Z} _{p}}$ тогда

${\displaystyle \int _{P^{t}}f(x)\,{\rm {d}}x={\frac {1}{p^{t}}}\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(p^{t}x)\,{\rm {d}}x}$

Смотрите также

• П-адическое распределение

Рекомендации

• Арнт Волкенборн: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen I. В: Manuscripta Mathematica. Bd. 7, № 4, 1972 г., г. [1]
• Арнт Волкенборн: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen II. В: Manuscripta Mathematica. Bd. 12, № 1, 1974 г., [2]
• Анри Коэн, "Теория чисел", том II, стр. 276