Энтропия Верла - Wehrl entropy - Wikipedia

В квантовая информация теория, Энтропия Верла,^[1] названный в честь Альфреда Верла, является классическая энтропия из квантово-механический матрица плотности. Это разновидность квази-энтропия определены для Представление Хусими Q фазового пространства распределение квазивероятностей. Видеть ^[2] для всестороннего обзора основных свойств классический, квант и энтропии Верла, и их значение в статистическая механика.

Определения

В Функция Хусими^[3] это "классическое фазовое пространство "функция позиция Икс и импульс п, и в одном измерении определяется для любой квантово-механической матрицы плотности ρ к

${\displaystyle Q_{\rho }(x,p)=\int \phi (x,p|y)^{*}\rho (y,y')\phi (x,p|y')dydy',}$

куда φ это "(Глаубера) когерентное состояние", предоставленный

${\displaystyle \phi (x,p|y)=\pi ^{-1/4}\exp(-|y-x|^{2}/2)+i\,px).}$

(Его можно понимать как Преобразование Вейерштрасса из Квази-вероятностное распределение Вигнера.)

В Энтропия Верла тогда определяется как

${\displaystyle S_{W}(\rho )=-\int Q_{\rho }(x,p)\log Q_{\rho }(x,p)\,dx\,dp~.}$

Определение может быть легко обобщено на любую конечную размерность.

Характеристики

Такое определение энтропии основывается на том факте, что Q-представление Хусими остается неотрицательно определенным,^[4] в отличие от других представлений квантовых распределений квазивероятностей в фазовом пространстве. Энтропия Верла имеет несколько важных свойств:

1. Это всегда положительно, ${\displaystyle S_{W}(\rho )\geq 0,}$ как полная квантовая энтропия фон Неймана, но в отличие от классическая дифференциальная энтропия что может быть отрицательным при низкой температуре. Фактически, минимальное значение энтропии Верля равно 1, т.е. ${\displaystyle S_{W}(\rho )\geq 1,}$ как обсуждается ниже в разделе «Гипотеза Верля».
2. Энтропия тензорного произведения двух систем всегда больше энтропии одной системы. Другими словами, для государства ${\displaystyle \rho }$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$, у нас есть ${\displaystyle S_{W}(\rho _{1})\leq S_{W}(\rho )}$, куда ${\displaystyle \rho _{1}=\mathrm {Tr} _{2}\,\rho }$. Обратите внимание, что квантовый энтропия фон Неймана, ${\displaystyle S(\rho )}$, не обладает этим свойством, что хорошо видно на чистом максимально запутанное состояние.
3. Энтропия Верла строго ограничена снизу энтропией фон Неймана, ${\displaystyle S_{W}(\rho )>S(\rho )}$. Нет известной верхней или нижней границы (кроме нуля) для разницы ${\displaystyle S_{W}(\rho )-S(\rho )}$.
4. Энтропия Верла не инвариантна относительно всех унитарных преобразований, в отличие от энтропии фон Неймана. Другими словами, ${\displaystyle S_{W}(U^{*}\rho \,U)\neq S_{W}(\rho )}$ для общей унитарной U. Однако он инвариантен относительно некоторых унитарных преобразований.^[1]

Гипотеза Верла

В его оригинальной статье ^[1] Верл высказал предположение, что наименьшее возможное значение энтропии Верля равно 1, ${\displaystyle S_{W}(\rho )\geq 1,}$ и это происходит тогда и только тогда, когда матрица плотности ${\displaystyle \rho }$ является проектором чистого состояния на любое когерентное состояние, т. е. для любого выбора ${\displaystyle x_{0},p_{0}}$,

${\displaystyle \rho _{0}(y,y')=\phi (x_{0},p_{0}|y)^{*}\phi (x_{0},p_{0}|y')}$.

Вскоре после того, как гипотеза была опубликована, Э. Х. Либ доказано ^[5] что минимум энтропии Верла равен 1, и это происходит, когда состояние является проектором на любое когерентное состояние.

В 1991 г. Э. Карлен доказал ^[6] уникальность минимизатора, то есть минимум энтропии Верла происходит только тогда, когда состояние является проектором на любое когерентное состояние.

Аналогом гипотезы Верля для систем с классическим фазовым пространством, изоморфным сфере (а не плоскости), является Гипотеза Либа.

Обсуждение

Однако это не полностью квантовый энтропия фон Неймана в представлении Хусими в фазовом пространстве, − ∫ Q ★ бревно_★Q  dx дп: все необходимые звездные продукты ★ в этой энтропии здесь отброшены. В представительстве Хусими звездные продукты читаются

${\displaystyle \star \equiv \exp \left({\frac {\hbar }{2}}({\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{x}-i{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{p})({\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}+i{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p})\right)~,}$

и изоморфны^[7] к Мойял продукты из Представление Вигнера – Вейля.

Таким образом, энтропию Верля можно рассматривать как тип эвристического полуклассического приближения к полной квантовой энтропии фон Неймана, поскольку она сохраняет некоторую час зависимость (через Q) но не все это.

Как и все энтропии, он отражает некоторую долю нелокализации,^[8] как Преобразование Гаусса участвует в создании Q и жертва звездных операторов фактически отбросила информацию. В общем, как указано, для одного и того же состояния энтропия Верла превышает энтропию фон Неймана (которая обращается в нуль для чистых состояний).

Энтропия Верля для блоховских когерентных состояний

Энтропия Верла может быть определена для других типов когерентных состояний. Например, его можно определить для блоховских когерентных состояний, т. Е. Для угловой момент представления группы ${\displaystyle SU(2)}$ за квантовые спиновые системы.

Блоховские когерентные состояния

Рассмотрим пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2J+1}}$ с ${\displaystyle J={\frac {1}{2}},1,{\frac {3}{2}},\dots }$ . Мы рассматриваем одиночный квантовый спин с фиксированным угловым моментом J, и обозначим через ${\displaystyle \mathbf {S} =(S_{x},S_{y},S_{z})}$ обычные операторы углового момента, удовлетворяющие следующим коммутационным соотношениям: ${\displaystyle [S_{x},S_{y}]=i\,S_{z}}$ и циклические перестановки.

Определять ${\displaystyle S_{\pm }=S_{x}\pm i\,S_{y}}$, тогда ${\displaystyle [S_{z},S_{\pm }]=\pm S_{\pm }}$ и ${\displaystyle [S_{+},S_{-}]=S_{z}}$.

Собственные состояния ${\displaystyle S_{z}}$ находятся

${\displaystyle S_{z}|s\rangle =s|s\rangle ,s=-J,\dots ,J.}$

За ${\displaystyle s=J}$ штат ${\displaystyle |J\rangle \in \mathbb {C} ^{2J+1}}$ удовлетворяет: ${\displaystyle S_{z}|J\rangle =J|J\rangle ,}$ и ${\displaystyle S_{+}|J\rangle =0,S_{-}|J\rangle =|J-1\rangle }$.

Обозначим единичную сферу в трех измерениях через

${\displaystyle \Xi _{2}=\{\Omega =(\theta ,\phi )\ |\ 0\leq \theta \leq \pi ,\ 0\leq \phi \leq 2\pi \}}$,

и по ${\displaystyle L^{2}(\Xi )}$ пространство квадратично интегрируемой функции на Ξ с мерой

${\displaystyle d\Omega ={\frac {2J+1}{4\pi }}\sin \theta \,d\theta \,d\phi }$.

В Блоховское когерентное состояние определяется

${\displaystyle |\Omega \rangle \equiv \exp \left\{{\frac {1}{2}}\theta e^{i\phi }S_{-}-{\frac {1}{2}}\theta e^{-i\phi }S_{+}\right\}|J\rangle }$.

Принимая во внимание указанные выше свойства состояния ${\displaystyle |J\rangle }$, блоховское когерентное состояние также можно выразить как

${\displaystyle |\Omega \rangle =(1+|z|^{2})^{-J}e^{zS_{-}}|J\rangle =(1+|z|^{2})^{-J}\sum _{M=-J}^{J}z^{J-M}{\binom {2J}{J+M}}^{1/2}|M\rangle ,}$

куда ${\displaystyle ~~z=e^{i\phi }\tan {\frac {\theta }{2}}}$, и

${\displaystyle |M\rangle ={\binom {2J}{J+M}}^{-1/2}{\frac {1}{(J-M)!}}\,S_{-}^{J-M}|J\rangle }$

является нормированным собственным состоянием ${\displaystyle S_{z}}$ удовлетворение ${\displaystyle S_{z}|M\rangle =M|M\rangle }$.

Когерентное состояние Блоха является собственным состоянием оператора вращенного момента количества движения ${\displaystyle S_{z}}$ с максимальным собственным значением. Другими словами, для оператора вращения

${\displaystyle R_{\theta ,\phi }=\exp \left\{{\frac {1}{2}}\theta e^{i\phi }S_{-}-{\frac {1}{2}}\theta e^{-i\phi }S_{+}\right\}}$,

блоховское когерентное состояние ${\displaystyle |\Omega \rangle }$ удовлетворяет

${\displaystyle R_{\theta ,\phi }S_{z}R_{\theta ,\phi }^{-1}\ |\Omega \rangle =J\,|\Omega \rangle }$.

Энтропия Верля для блоховских когерентных состояний

Учитывая матрицу плотности ρ, определим полуклассическое распределение плотности

${\displaystyle \rho ^{cl}(\Omega )=\langle \Omega |\rho |\Omega \rangle }$.

Энтропия Верла ${\displaystyle \rho }$ для блоховских когерентных состояний определяется как классическая энтропия распределения плотности ${\displaystyle \rho ^{cl}}$,

${\displaystyle S_{W}^{B}(\rho )=S^{cl}(\rho ^{cl})=-\int \rho ^{cl}(\Omega )\ \ln \rho ^{cl}(\Omega )\ d\Omega }$,

куда ${\displaystyle S^{cl}}$ - классическая дифференциальная энтропия.

Гипотеза Верля для блоховских когерентных состояний

Аналог гипотезы Верля для блоховских когерентных состояний был предложен в ^[5] в 1978 г. Он предлагает минимальное значение энтропии Верля для блоховских когерентных состояний,

${\displaystyle S_{W}^{B}(\rho )\geq {\frac {2J}{2J+1}}}$,

и утверждает, что минимум достигается тогда и только тогда, когда состояние является чистым блоховским когерентным состоянием.

В 2012 г. Э. Х. Либ и Я. П. Соловей доказали ^[9] существенная часть этой гипотезы, подтверждающая минимальное значение энтропии Верла для когерентных состояний Блоха и тот факт, что оно достигается для любого чистого когерентного состояния Блоха. Проблема уникальности минимизатора остается нерешенной.

Обобщенная гипотеза Верла

В ^[9] Э. Х. Либ и Дж. П. Соловей доказали гипотезу Верла для блоховских когерентных состояний, обобщив ее следующим образом.

Обобщенная гипотеза Верла

Для любого вогнутый функция ${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$ (например. ${\displaystyle f(x)=-x\log x}$ как в определении энтропии Верля), и любая матрица плотности ρ, у нас есть

${\displaystyle \int f(Q_{\rho }(x,p))dx\,dp\geq \int f(Q_{\rho _{0}}(x,p))dx\,dp}$,

куда ρ₀ является чистым когерентным состоянием, определенным в разделе «Гипотеза Верля».

Обобщенная гипотеза Верля для блоховских когерентных состояний

Обобщенная гипотеза Верла для глауберовских когерентных состояний была доказана как следствие аналогичного утверждения для блоховских когерентных состояний. Для любого вогнутый функция ${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$, и любая матрица плотности ρ у нас есть

${\displaystyle \int f(\langle \Omega |\rho |\Omega \rangle )d\Omega \geq \int f(|\langle \Omega |\Omega _{0}\rangle |^{2})d\Omega }$,

куда ${\displaystyle \Omega _{0}\in \Xi _{2}}$ любая точка на сфере.

Единственность минимизаторов для любого утверждения остается открытой проблемой.

Смотрите также

• Когерентное состояние
• Энтропия
• Теория информации и теория меры
• Гипотеза Либа
• Квантовая информация
• Квантовая механика
• Вращение
• Статистическая механика
• Энтропия фон Неймана

Рекомендации

1. Верл А. (1979). «О соотношении классической и квантово-механической энтропии». Доклады по математической физике. 16 (3): 353. Bibcode:1979RpMP ... 16..353Вт. Дои:10.1016/0034-4877(79)90070-3.
2. Верл, А. (1978). «Общие свойства энтропии». Обзоры современной физики. 50 (2): 221. Bibcode:1978RvMP ... 50..221Вт. Дои:10.1103 / RevModPhys.50.221.
3. Коди Хусими (1940). «Некоторые формальные свойства матрицы плотности». Труды Физико-математического общества Японии. 3. 22 (4): 264–314. Дои:10.11429 / ppmsj1919.22.4_264.
4. Картрайт, Н. Д. (1975). «Неотрицательное распределение типа Вигнера». Physica A: Статистическая механика и ее приложения. 83: 210–818. Bibcode:1975PhyA ... 83..210C. Дои:10.1016 / 0378-4371 (76) 90145-Х.
5. Либ, Эллиотт Х. (1978). «Доказательство энтропийной гипотезы Верла». Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 62 (1): 35–41. Bibcode:1978CMaPh..62 ... 35L. Дои:10.1007 / bf01940328. ISSN  0010-3616.
6. Карлен, Э. (1991). «Некоторые интегральные тождества и неравенства для целых функций и их применение к преобразованию когерентного состояния». Журнал функционального анализа. 97: 231. Дои:10.1016 / 0022-1236 (91) 90022-В.
7. К. Захос, Д. Фэрли и Т. Кертрайт, «Квантовая механика в фазовом пространстве» (Всемирный научный, Сингапур, 2005 г.) ISBN  978-981-238-384-6 .
8. Гнутцманн, Свен; Кароль Жычковски (2001). «Энтропии Реньи – Верля как меры локализации в фазовом пространстве». J. Phys. A: Математика. Gen. 34 (47): 10123. arXiv:Quant-ph / 0106016. Bibcode:2001JPhA ... 3410123G. Дои:10.1088/0305-4470/34/47/317.
9. Lieb, E.H .; Соловей, J.P. (2014). «Доказательство энтропийной гипотезы для блоховских когерентных спиновых состояний и его обобщений». Acta Mathematica. 212 (2): 379. arXiv:1208.3632. Дои:10.1007 / s11511-014-0113-6.