D-матрица Вигнера - Wigner D-matrix

В D-матрица Вигнера это унитарная матрица в неприводимое представление групп SU (2) и ТАК (3). Комплексно сопряженная D-матрица является собственной функцией гамильтониана сферической и симметричной жесткие роторы. Матрица была введена в 1927 г. Юджин Вигнер. D означает Дарстеллунг, что в переводе с немецкого означает «представительство».

Определение D-матрицы Вигнера

Позволять J_Икс, J_у, J_z быть генераторами Алгебра Ли из SU (2) и SO (3). В квантовая механика, эти три оператора являются компонентами векторного оператора, известного как угловой момент. Примерами являются угловой момент электрона в атоме, электронный спин, а угловой момент жесткий ротор.

Во всех случаях три оператора удовлетворяют следующим условиям коммутационные отношения,

${displaystyle [J_{x},J_{y}]=iJ_{z},quad [J_{z},J_{x}]=iJ_{y},quad [J_{y},J_{z}]=iJ_{x},}$

где я это чисто мнимое число и постоянная Планка час был установлен равным единице. В Оператор Казимира

${displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}$

коммутирует со всеми образующими алгебры Ли. Следовательно, его можно диагонализовать вместе с J_z.

Это определяет сферическое основание здесь используется. То есть в этой основе есть полный комплект из кеты с

${displaystyle J^{2}|jmangle =j(j+1)|jmangle ,quad J_{z}|jmangle =m|jmangle ,}$

где j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ... для SU (2) и j = 0, 1, 2, ... для SO (3). В обоих случаях, м = −j, −j + 1, ..., j.

3-х мерный оператор вращения можно записать как

${displaystyle {mathcal {R}}(alpha ,eta ,gamma )=e^{-ialpha J_{z}}e^{-ieta J_{y}}e^{-igamma J_{z}},}$

где α, β, γ находятся Углы Эйлера (характеризуется ключевыми словами: соглашение z-y-z, правая рамка, правило правого винта, активная интерпретация).

В D-матрица Вигнера унитарная квадратная матрица размерности 2j +1 в этой сферической основе с элементами

${displaystyle D_{m'm}^{j}(alpha ,eta ,gamma )equiv langle jm'|{mathcal {R}}(alpha ,eta ,gamma )|jmangle =e^{-im'alpha }d_{m'm}^{j}(eta )e^{-imgamma },}$

где

${displaystyle d_{m'm}^{j}(eta )=langle jm'|e^{-ieta J_{y}}|jmangle =D_{m'm}^{j}(0,eta ,0)}$

является элементом ортогонального (Малая) d-матрица Вигнера.

То есть в этой основе

${displaystyle D_{m'm}^{j}(alpha ,0,0)=e^{-im'alpha }delta _{m'm}}$

диагональна, как и γ матричный фактор, но в отличие от приведенного выше β фактор.

D-матрица Вигнера (малая)

Вигнер дал следующее выражение:^[1]

${displaystyle d_{m'm}^{j}(eta )=[(j+m')!(j-m')!(j+m)!(j-m)!]^{frac {1}{2}}sum _{s}left[{frac {(-1)^{m'-m+s}left(cos {frac {eta }{2}}ight)^{2j+m-m'-2s}left(sin {frac {eta }{2}}ight)^{m'-m+2s}}{(j+m-s)!s!(m'-m+s)!(j-m'-s)!}}ight].}$

Сумма более s превышает такие значения, что факториалы неотрицательны.

Заметка: Определенные здесь элементы d-матрицы действительны. В часто используемом соглашении z-x-z Углы Эйлера, фактор ${displaystyle (-1)^{m'-m+s}}$ в этой формуле заменяется на ${displaystyle (-1)^{s}i^{m-m'},}$ заставляя половину функций быть чисто воображаемыми. Реальность элементов d-матрицы является одной из причин того, что соглашение z-y-z, используемое в этой статье, обычно предпочтительнее в квантово-механических приложениях.

Элементы d-матрицы связаны с Многочлены Якоби ${displaystyle P_{k}^{(a,b)}(cos eta )}$ с неотрицательным ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b.}$^[2] Позволять

${displaystyle k=min(j+m,j-m,j+m',j-m').}$

Если

${displaystyle k={egin{cases}j+m:&a=m'-m;quad lambda =m'-mj-m:&a=m-m';quad lambda =0j+m':&a=m-m';quad lambda =0j-m':&a=m'-m;quad lambda =m'-mend{cases}}}$

Затем с ${displaystyle b=2j-2k-a,}$ отношение

${displaystyle d_{m'm}^{j}(eta )=(-1)^{lambda }{inom {2j-k}{k+a}}^{frac {1}{2}}{inom {k+b}{b}}^{-{frac {1}{2}}}left(sin {frac {eta }{2}}ight)^{a}left(cos {frac {eta }{2}}ight)^{b}P_{k}^{(a,b)}(cos eta ),}$

где ${displaystyle a,bgeq 0.}$

Свойства D-матрицы Вигнера

Комплексно сопряженная D-матрица удовлетворяет ряду дифференциальных свойств, которые можно кратко сформулировать, введя следующие операторы с ${displaystyle (x,y,z)=(1,2,3),}$

${displaystyle {egin{aligned}{hat {mathcal {J}}}_{1}&=ileft(cos alpha cot eta {frac {partial }{partial alpha }}+sin alpha {partial over partial eta }-{cos alpha over sin eta }{partial over partial gamma }ight){hat {mathcal {J}}}_{2}&=ileft(sin alpha cot eta {partial over partial alpha }-cos alpha {partial over partial eta }-{sin alpha over sin eta }{partial over partial gamma }ight){hat {mathcal {J}}}_{3}&=-i{partial over partial alpha }end{aligned}}}$

которые имеют квантово-механический смысл: они фиксированы в пространстве жесткий ротор операторы углового момента.

В дальнейшем,

${displaystyle {egin{aligned}{hat {mathcal {P}}}_{1}&=ileft({cos gamma over sin eta }{partial over partial alpha }-sin gamma {partial over partial eta }-cot eta cos gamma {partial over partial gamma }ight){hat {mathcal {P}}}_{2}&=ileft(-{sin gamma over sin eta }{partial over partial alpha }-cos gamma {partial over partial eta }+cot eta sin gamma {partial over partial gamma }ight){hat {mathcal {P}}}_{3}&=-i{partial over partial gamma },end{aligned}}}$

которые имеют квантово-механическое значение: они закреплены на теле жесткий ротор операторы углового момента.

Операторы удовлетворяют коммутационные отношения

${displaystyle left[{mathcal {J}}_{1},{mathcal {J}}_{2}ight]=i{mathcal {J}}_{3},qquad {hbox{and}}qquad left[{mathcal {P}}_{1},{mathcal {P}}_{2}ight]=-i{mathcal {P}}_{3}}$

и соответствующие отношения с индексами переставляются циклически. В ${displaystyle {mathcal {P}}_{i}}$ удовлетворить аномальные коммутационные соотношения (со знаком минус справа).

Два набора взаимно коммутируют,

${displaystyle left[{mathcal {P}}_{i},{mathcal {J}}_{j}ight]=0,quad i,j=1,2,3,}$

и полные квадраты операторов равны,

${displaystyle {mathcal {J}}^{2}equiv {mathcal {J}}_{1}^{2}+{mathcal {J}}_{2}^{2}+{mathcal {J}}_{3}^{2}={mathcal {P}}^{2}equiv {mathcal {P}}_{1}^{2}+{mathcal {P}}_{2}^{2}+{mathcal {P}}_{3}^{2}.}$

Их явный вид:

${displaystyle {mathcal {J}}^{2}={mathcal {P}}^{2}=-{frac {1}{sin ^{2}eta }}left({frac {partial ^{2}}{partial alpha ^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial gamma ^{2}}}-2cos eta {frac {partial ^{2}}{partial alpha partial gamma }}ight)-{frac {partial ^{2}}{partial eta ^{2}}}-cot eta {frac {partial }{partial eta }}.}$

Операторы ${displaystyle {mathcal {J}}_{i}}$ действуют на первый (строчный) индекс D-матрицы,

${displaystyle {egin{aligned}{mathcal {J}}_{3}D_{m'm}^{j}(alpha ,eta ,gamma )^{*}&=m'D_{m'm}^{j}(alpha ,eta ,gamma )^{*}({mathcal {J}}_{1}pm i{mathcal {J}}_{2})D_{m'm}^{j}(alpha ,eta ,gamma )^{*}&={sqrt {j(j+1)-m'(m'pm 1)}}D_{m'pm 1,m}^{j}(alpha ,eta ,gamma )^{*}end{aligned}}}$

Операторы ${displaystyle {mathcal {P}}_{i}}$ действуют на второй (столбец) индекс D-матрицы

${displaystyle {mathcal {P}}_{3}D_{m'm}^{j}(alpha ,eta ,gamma )^{*}=mD_{m'm}^{j}(alpha ,eta ,gamma )^{*},}$

и из-за аномального коммутационного отношения операторы повышения / понижения определены с обратными знаками,

${displaystyle ({mathcal {P}}_{1}mp i{mathcal {P}}_{2})D_{m'm}^{j}(alpha ,eta ,gamma )^{*}={sqrt {j(j+1)-m(mpm 1)}}D_{m',mpm 1}^{j}(alpha ,eta ,gamma )^{*}.}$

В заключение,

${displaystyle {mathcal {J}}^{2}D_{m'm}^{j}(alpha ,eta ,gamma )^{*}={mathcal {P}}^{2}D_{m'm}^{j}(alpha ,eta ,gamma )^{*}=j(j+1)D_{m'm}^{j}(alpha ,eta ,gamma )^{*}.}$

Другими словами, строки и столбцы (комплексно сопряженной) D-матрицы Вигнера покрывают неприводимые представления изоморфных Алгебры Ли Сгенерированно с помощью ${displaystyle {{mathcal {J}}_{i}}}$ и ${displaystyle {-{mathcal {P}}_{i}}}$.

Важное свойство D-матрицы Вигнера следует из коммутации ${displaystyle {mathcal {R}}(alpha ,eta ,gamma )}$ с оператор обращения времени ${displaystyle T,}$

${displaystyle langle jm'|{mathcal {R}}(alpha ,eta ,gamma )|jmangle =langle jm'|T^{dagger }{mathcal {R}}(alpha ,eta ,gamma )T|jmangle =(-1)^{m'-m}langle j,-m'|{mathcal {R}}(alpha ,eta ,gamma )|j,-mangle ^{*},}$

или

${displaystyle D_{m'm}^{j}(alpha ,eta ,gamma )=(-1)^{m'-m}D_{-m',-m}^{j}(alpha ,eta ,gamma )^{*}.}$

Здесь мы использовали это ${displaystyle T}$ антиунитарно (следовательно, комплексное сопряжение после перемещения ${displaystyle T^{dagger }}$ от кет до бюстгальтера), ${displaystyle T|jmangle =(-1)^{j-m}|j,-mangle }$ и ${displaystyle (-1)^{2j-m'-m}=(-1)^{m'-m}}$.

Отношения ортогональности

Элементы D-матрицы Вигнера ${displaystyle D_{mk}^{j}(alpha ,eta ,gamma )}$ образуют набор ортогональных функций от углов Эйлера ${displaystyle alpha ,eta ,}$ и ${displaystyle gamma }$:

${displaystyle int _{0}^{2pi }dalpha int _{0}^{pi }sin eta deta int _{0}^{2pi }dgamma ,,D_{m'k'}^{j'}(alpha ,eta ,gamma )^{ast }D_{mk}^{j}(alpha ,eta ,gamma )={frac {8pi ^{2}}{2j+1}}delta _{m'm}delta _{k'k}delta _{j'j}.}$

Это частный случай Соотношения ортогональности Шура.

Что особенно важно, Теорема Питера – Вейля, они далее образуют полный набор.

В группа персонажей для SU (2) зависят только от угла поворота β, существование функции класса, значит, независимо от осей вращения

${displaystyle chi ^{j}(eta )equiv sum _{m}D_{mm}^{j}(eta )=sum _{m}d_{mm}^{j}(eta )={frac {sin left({frac {(2j+1)eta }{2}}ight)}{sin left({frac {eta }{2}}ight)}},}$

и, следовательно, удовлетворяют более простым соотношениям ортогональности через Мера Хаара группы,^[3]

${displaystyle {frac {1}{pi }}int _{0}^{2pi }deta sin ^{2}left({frac {eta }{2}}ight)chi ^{j}(eta )chi ^{j'}(eta )=delta _{j'j}.}$

Отношение полноты (разработанное в той же ссылке, (3.95)) имеет вид

${displaystyle sum _{j}chi ^{j}(eta )chi ^{j}(eta ')=delta (eta -eta '),}$

откуда, для ${displaystyle eta '=0,}$

${displaystyle sum _{j}chi ^{j}(eta )(2j+1)=delta (eta ).}$

Кронекеровское произведение D-матриц Вигнера, ряд Клебша-Гордана

Набор Кронекер продукт матрицы

${displaystyle mathbf {D} ^{j}(alpha ,eta ,gamma )otimes mathbf {D} ^{j'}(alpha ,eta ,gamma )}$

образует приводимое матричное представление групп SO (3) и SU (2). Приведение к неприводимым компонентам осуществляется следующим уравнением:^[4]

${displaystyle D_{mk}^{j}(alpha ,eta ,gamma )D_{m'k'}^{j'}(alpha ,eta ,gamma )=sum _{J=|j-j'|}^{j+j'}langle jmj'm'|Jleft(m+m'ight)angle langle jkj'k'|Jleft(k+k'ight)angle D_{left(m+m'ight)left(k+k'ight)}^{J}(alpha ,eta ,gamma )}$

Символ ${displaystyle langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}angle }$ этоКоэффициент Клебша-Гордана.

Связь со сферическими гармониками и полиномами Лежандра

Для целых значений ${displaystyle l}$, элементы D-матрицы со вторым индексом, равным нулю, пропорциональны сферические гармоники и ассоциированные полиномы Лежандра, нормализованное к единице и с условием фаз Кондона и Шортли:

${displaystyle D_{m0}^{ell }(alpha ,eta ,gamma )={sqrt {frac {4pi }{2ell +1}}}Y_{ell }^{m*}(eta ,alpha )={sqrt {frac {(ell -m)!}{(ell +m)!}}},P_{ell }^{m}(cos {eta }),e^{-imalpha }.}$

Отсюда следует следующее соотношение для d-матрицы:

${displaystyle d_{m0}^{ell }(eta )={sqrt {frac {(ell -m)!}{(ell +m)!}}},P_{ell }^{m}(cos {eta }).}$

Вращение сферических гармоник ${displaystyle langle heta ,phi |ell m'angle }$ то это фактически композиция из двух вращений,

${displaystyle sum _{m'=-ell }^{ell }Y_{ell m'}( heta ,phi )~D_{m'~m}^{ell }(alpha ,eta ,gamma ).}$

Когда оба индекса установлены в ноль, элементы D-матрицы Вигнера задаются обычными Полиномы Лежандра:

${displaystyle D_{0,0}^{ell }(alpha ,eta ,gamma )=d_{0,0}^{ell }(eta )=P_{ell }(cos eta ).}$

В нынешнем соглашении об углах Эйлера ${displaystyle alpha }$ - продольный угол и ${displaystyle eta }$ - это продольный угол (сферические полярные углы в физическом определении таких углов). Это одна из причин того, что z-у-zсоглашение часто используется в молекулярной физике. Из свойства обращения времени D-матрицы Вигнера сразу следует

${displaystyle left(Y_{ell }^{m}ight)^{*}=(-1)^{m}Y_{ell }^{-m}.}$

Существует более общее отношение к спин-взвешенные сферические гармоники:

${displaystyle D_{ms}^{ell }(alpha ,eta ,-gamma )=(-1)^{s}{sqrt {frac {4pi }{2{ell }+1}}}{}_{s}Y_{{ell }m}(eta ,alpha )e^{isgamma }.}$^[5]

Связь с функциями Бесселя

В пределе, когда ${displaystyle ell gg m,m^{prime }}$ у нас есть

${displaystyle D_{mm'}^{ell }(alpha ,eta ,gamma )approx e^{-imalpha -im'gamma }J_{m-m'}(ell eta )}$

где ${displaystyle J_{m-m'}(ell eta )}$ это Функция Бесселя и ${displaystyle ell eta }$ конечно.

Список элементов d-матрицы

Используя знаковое соглашение Вигнера и др. элементы d-матрицы ${displaystyle d_{m'm}^{j}( heta )}$за j = 1/2, 1, 3/2 и 2 приведены ниже.

за j = 1/2

${displaystyle {egin{aligned}d_{{frac {1}{2}},{frac {1}{2}}}^{frac {1}{2}}&=cos {frac { heta }{2}}[6pt]d_{{frac {1}{2}},-{frac {1}{2}}}^{frac {1}{2}}&=-sin {frac { heta }{2}}end{aligned}}}$

за j = 1

${displaystyle {egin{aligned}d_{1,1}^{1}&={frac {1}{2}}(1+cos heta )[6pt]d_{1,0}^{1}&=-{frac {1}{sqrt {2}}}sin heta [6pt]d_{1,-1}^{1}&={frac {1}{2}}(1-cos heta )[6pt]d_{0,0}^{1}&=cos heta end{aligned}}}$

за j = 3/2

${displaystyle {egin{aligned}d_{{frac {3}{2}},{frac {3}{2}}}^{frac {3}{2}}&={frac {1}{2}}(1+cos heta )cos {frac { heta }{2}}[6pt]d_{{frac {3}{2}},{frac {1}{2}}}^{frac {3}{2}}&=-{frac {sqrt {3}}{2}}(1+cos heta )sin {frac { heta }{2}}[6pt]d_{{frac {3}{2}},-{frac {1}{2}}}^{frac {3}{2}}&={frac {sqrt {3}}{2}}(1-cos heta )cos {frac { heta }{2}}[6pt]d_{{frac {3}{2}},-{frac {3}{2}}}^{frac {3}{2}}&=-{frac {1}{2}}(1-cos heta )sin {frac { heta }{2}}[6pt]d_{{frac {1}{2}},{frac {1}{2}}}^{frac {3}{2}}&={frac {1}{2}}(3cos heta -1)cos {frac { heta }{2}}[6pt]d_{{frac {1}{2}},-{frac {1}{2}}}^{frac {3}{2}}&=-{frac {1}{2}}(3cos heta +1)sin {frac { heta }{2}}end{aligned}}}$

за j = 2^[6]

${displaystyle {egin{aligned}d_{2,2}^{2}&={frac {1}{4}}left(1+cos heta ight)^{2}[6pt]d_{2,1}^{2}&=-{frac {1}{2}}sin heta left(1+cos heta ight)[6pt]d_{2,0}^{2}&={sqrt {frac {3}{8}}}sin ^{2} heta [6pt]d_{2,-1}^{2}&=-{frac {1}{2}}sin heta left(1-cos heta ight)[6pt]d_{2,-2}^{2}&={frac {1}{4}}left(1-cos heta ight)^{2}[6pt]d_{1,1}^{2}&={frac {1}{2}}left(2cos ^{2} heta +cos heta -1ight)[6pt]d_{1,0}^{2}&=-{sqrt {frac {3}{8}}}sin 2 heta [6pt]d_{1,-1}^{2}&={frac {1}{2}}left(-2cos ^{2} heta +cos heta +1ight)[6pt]d_{0,0}^{2}&={frac {1}{2}}left(3cos ^{2} heta -1ight)end{aligned}}}$

Элементы d-матрицы Вигнера с переставленными нижними индексами находятся по соотношению:

${displaystyle d_{m',m}^{j}=(-1)^{m-m'}d_{m,m'}^{j}=d_{-m,-m'}^{j}.}$

Симметрии и частные случаи

${displaystyle {egin{aligned}d_{m',m}^{j}(pi )&=(-1)^{j-m}delta _{m',-m}[6pt]d_{m',m}^{j}(pi -eta )&=(-1)^{j+m'}d_{m',-m}^{j}(eta )[6pt]d_{m',m}^{j}(pi +eta )&=(-1)^{j-m}d_{m',-m}^{j}(eta )[6pt]d_{m',m}^{j}(2pi +eta )&=(-1)^{2j}d_{m',m}^{j}(eta )[6pt]d_{m',m}^{j}(-eta )&=d_{m,m'}^{j}(eta )=(-1)^{m'-m}d_{m',m}^{j}(eta )end{aligned}}}$

Смотрите также

• Коэффициенты Клебша – Гордана
• Тензорный оператор
• Симметрии в квантовой механике

Рекомендации

1. Вигнер, Э. П. (1931). Gruppentheorie und ihre Anwendungen auf die Quantenmechanik der Atomspektren. Брауншвейг: Vieweg Verlag. Переведено на английский язык Гриффин, Дж. Дж. (1959). Теория групп и ее приложение к квантовой механике атомных спектров. Нью-Йорк: Academic Press.
2. Биденхарн, Л.C .; Лоук, Дж. Д. (1981). Угловой момент в квантовой физике. Читает: Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-13507-8.
3. Швингер, Дж. "На угловом моменте", Гарвардский университет, Nuclear Development Associates, Inc., Министерство энергетики США (через агентство-предшественник Комиссия по атомной энергии ) (26 января 1952 г.)
4. Роуз, М. Э. Элементарная теория углового момента. Нью-Йорк, JOHN WILEY & SONS, 1957 год.
5. https://link.springer.com/content/pdf/bbm%3A978-4-431-54180-6%2F1.pdf
6. Эден, М. (2003). «Компьютерное моделирование в твердотельном ЯМР. I. Теория спиновой динамики». Концепции магнитного резонанса Часть A. 17А (1): 117–154. Дои:10.1002 / cmr.a.10061.

внешняя ссылка

• Таблица PDG коэффициентов Клебша-Гордана, сферических гармоник и d-функций