Сферическая основа - Spherical basis

«Сферический тензор» перенаправляет сюда. О концепции, связанной с операторами, см. тензорный оператор.

В чистый и Прикладная математика, особенно квантовая механика и компьютерная графика и их приложений, сферическое основание это основа используется для выражения сферические тензоры.^{[необходимо определение ]} Сферический базис тесно связан с описанием углового момента в квантовой механике и сферических гармонических функций.

Пока сферические полярные координаты один ортогональная система координат для выражения векторов и тензоров с использованием полярных и азимутальных углов и радиального расстояния сферический базис строится из стандартная основа и использовать сложные числа.

В трех измерениях

Вектор А в 3D Евклидово пространство ℝ³ можно выразить знакомым Декартова система координат в стандартная основа е_Икс, е_y, е_z, и координаты А_Икс, А_y, А_z:

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {e} _{x}+A_{y}\mathbf {e} _{y}+A_{z}\mathbf {e} _{z}}$

(1)

или любой другой система координат с ассоциированным основа набор векторов. Благодаря этому расширьте скаляры, чтобы разрешить умножение на комплексные числа, так что теперь мы работаем в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ скорее, чем ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Основное определение

В сферических основаниях обозначено е₊, е₋, е₀, и соответствующие координаты относительно этого базиса, обозначенные А₊, А₋, А₀, вектор А является:

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{+}\mathbf {e} _{+}+A_{-}\mathbf {e} _{-}+A_{0}\mathbf {e} _{0}}$

(2)

где сферические базисные векторы могут быть определены в декартовом базисе с использованием сложный -значные коэффициенты в ху самолет:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{+}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{x}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{-}&=+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{x}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{y}\\\end{aligned}}\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {e} _{\pm }=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\mathbf {e} _{x}\pm i\mathbf {e} _{y}\right)\,}$

(3А)

в котором я обозначает мнимая единица, и одна нормаль к плоскости в z направление:

${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\mathbf {e} _{z}}$

Обратные отношения следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{x}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{+}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{y}&=+{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{+}+{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{z}&=\mathbf {e} _{0}\end{aligned}}}$

(3B)

Определение коммутатора

Хотя определение основы в трехмерном пространстве является допустимым определением сферического тензора, оно охватывает только тот случай, когда ранг ${\displaystyle k}$ равно 1. Для более высоких рангов можно использовать либо коммутатор, либо определение вращения сферического тензора. Определение коммутатора дается ниже, любой оператор ${\displaystyle T_{q}^{(k)}}$ удовлетворяющий следующим соотношениям, представляет собой сферический тензор:

${\displaystyle [J_{\pm },T_{q}^{(k)}]=\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}T_{q\pm 1}^{(k)}}$

${\displaystyle [J_{z},T_{q}^{(k)}]=\hbar qT_{q}^{(k)}}$

Определение вращения

Аналогично тому, как сферические гармоники преобразуются при повороте, общий сферический тензор преобразуется следующим образом, когда состояния преобразуются при унитарный D-матрица Вигнера ${\displaystyle {\mathcal {D}}(R)}$, куда р является элементом группы (вращение 3 × 3) в ТАК (3). То есть эти матрицы представляют элементы группы вращения. С помощью своего Алгебра Ли, можно показать, что эти два определения эквивалентны.

${\displaystyle {\mathcal {D}}(R)T_{q}^{(k)}{\mathcal {D}}^{\dagger }(R)=\sum _{q^{\prime }=-k}^{k}T_{q^{\prime }}^{(k)}{\mathcal {D}}_{q^{\prime }q}^{(k)}}$

Смотрите также: D-матрица Вигнера

Координатные векторы

Основная статья: Координатный вектор

Для сферической основы координаты являются комплексными числами А₊, А₀, А₋, и его можно найти заменой (3B) в (1), либо рассчитывается непосредственно из внутренний продукт ⟨, ⟩ (5):

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{+}&=\left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {e} _{+}\right\rangle =-{\frac {A_{x}}{\sqrt {2}}}+{\frac {iA_{y}}{\sqrt {2}}}\\A_{-}&=\left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {e} _{-}\right\rangle =+{\frac {A_{x}}{\sqrt {2}}}+{\frac {iA_{y}}{\sqrt {2}}}\\\end{aligned}}\quad \rightleftharpoons \quad A_{\pm }=\left\langle \mathbf {e} _{\pm },\mathbf {A} \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\mp A_{x}+iA_{y}\right)}$

(4А)

${\displaystyle A_{0}=\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {A} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{z},\mathbf {A} \right\rangle =A_{z}}$

с обратными отношениями:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}A_{+}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}A_{-}\\A_{y}&=-{\frac {i}{\sqrt {2}}}A_{+}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}A_{-}\\A_{z}&=A_{0}\end{aligned}}}$

(4B)

В общем, для двух векторов с комплексными коэффициентами в одном и том же действительном ортонормированном базисе е_я, с собственностью е_я·е_j = δ_ij, то внутренний продукт является:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\star }=\sum _{j}a_{j}b_{j}^{\star }}$

(5)

где · - обычный скалярное произведение и комплексно сопряженный * необходимо использовать для сохранения величина (или "норма") вектора положительно определенный.

Свойства (три измерения)

Ортонормальность

Сферическая основа - это ортонормированный базис, поскольку внутренний продукт ⟨, ⟩ (5) каждой пары обращается в нуль, что означает, что все базисные векторы взаимно ортогональный:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =0}$

и каждый базисный вектор представляет собой единичный вектор:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =1}$

следовательно, необходимость в нормирующих множителях 1 /√2.

Изменение базовой матрицы

Смотрите также: изменение основы

Определяющие отношения (3А) можно резюмировать как матрица преобразования U:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}$

с инверсией:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{-1}{\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

Видно, что U это унитарная матрица, другими словами, это Эрмитово сопряжение U^† (комплексно сопряженный и матрица транспонировать ) также является обратная матрица U⁻¹.

Для координат:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{\mathrm {*} }{\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{\mathrm {*} }={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}$

и обратный:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}=(\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}{\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}\,,\quad (\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

Перекрестные продукты

Принимая перекрестные продукты сферических базисных векторов находим очевидное соотношение:

${\displaystyle \mathbf {e} _{q}\times \mathbf {e} _{q}={\boldsymbol {0}}}$

куда q является заполнителем для +, -, 0 и двух менее очевидных отношений:

${\displaystyle \mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{\mp }=\pm i\mathbf {e} _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{0}=\pm i\mathbf {e} _{\pm }}$

Внутреннее изделие в сферической основе

Внутренний продукт между двумя векторами А и B в сферической основе следует из приведенного выше определения внутреннего продукта:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \right\rangle =A_{+}B_{+}^{\star }+A_{-}B_{-}^{\star }+A_{0}B_{0}^{\star }}$

Смотрите также

• Теорема Вигнера – Эккарта
• Матрица Вигнера D
• Группа вращения 3D

Рекомендации

1. У. Дж. Томпсон (2008). Угловой момент. Джон Вили и сыновья. п. 311. ISBN  9783527617838.

Общий

• С.С.М. Вонг (2008). Введение в ядерную физику (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN  978-35-276-179-13.

внешняя ссылка