Заппа – Сеп продукт - Zappa–Szép product
В математика, особенно теория групп, то Заппа – Сеп продукт (также известный как Произведение Заппа – Редеи – Сепа, общий продукт, вязать изделие или же точная факторизация) описывает способ, которым группа можно построить из двух подгруппы. Это обобщение непосредственный и полупрямые продукты. Он назван в честь Гвидо Заппа (1940) и Йено Сеп (1950), хотя он был независимо изучен другими, в том числе Б. Нейман (1935), Г.А. Миллер (1935) и Дж. де Сегье (1904).[1]
Внутренние продукты Zappa – Szép
Позволять грамм быть группой с элемент идентичности е, и разреши ЧАС и K быть подгруппами грамм. Следующие утверждения эквивалентны:
- грамм = HK и ЧАС ∩ K = {е}
- Для каждого грамм в грамм, существует единственный час в ЧАС и уникальный k в K такой, что g = hk.
Если выполняется одно из этих утверждений (а значит, и оба), то грамм считается внутренним Заппа – Сеп продукт из ЧАС и K.
Примеры
Позволять грамм = GL(п,C), общая линейная группа из обратимый п × п матрицы над сложные числа. Для каждой матрицы А в грамм, то QR-разложение утверждает, что существует уникальный унитарная матрица Q и уникальный верхнетреугольная матрица р с положительный настоящий записи на главном диагональ такой, что А = QR. Таким образом грамм является произведением Заппы – Сепа унитарная группа U(п) и группа (скажем) K верхнетреугольных матриц с положительными диагональными элементами.
Одним из наиболее важных примеров этого является Филип Холл теорема 1937 г. о существовании Силовские системы за разрешимые группы. Это показывает, что каждая разрешимая группа является произведением Заппы – Сепа холлова п'-подгруппа и силовский п-подгруппа, и на самом деле группа является (многокомпонентным) произведением Заппы – Сепа некоторого множества представителей своих силовских подгрупп.
В 1935 г. Джордж Миллер показал, что любая нерегулярная транзитивная группа подстановок с регулярной подгруппой является произведением Заппы – Сепа регулярной подгруппы и стабилизатора точки. Он приводит PSL (2,11) и переменную группу степени 5 в качестве примеров, и, конечно, каждая переменная группа простой степени является примером. В этой же статье приводится ряд примеров групп, которые не могут быть реализованы как произведения Заппы – Сепа собственных подгрупп, таких как группа кватернионов и знакопеременная группа степени 6.
Внешние продукты Zappa – Szép
Как и в случае с прямым и полупрямым произведением, существует внешняя версия продукта Заппа – Сепа для неизвестных групп. априори быть подгруппами данной группы. Чтобы мотивировать это, позвольте грамм = HK - внутреннее произведение Заппы – Сепа подгрупп ЧАС и K группы грамм. Для каждого k в K и каждый час в ЧАС, существуют α (k,час) в ЧАС и β (k,час) в K такой, что кх = α (k,час) β (k,час). Это определяет сопоставления α: K × ЧАС → ЧАС и β: K × ЧАС → K которые, как оказалось, обладают следующими свойствами:
- α (е,час) = час и β (k,е) = k для всех час в ЧАС и k в K.
- α (k1 k2, h) = α (k1, α (k2, з))
- β (k, час1 час2) = β (β (k, час1), час2)
- α (k, час1 час2) = α (k, час1) α (β (k,час1),час2)
- β (k1 k2, h) = β (k1, α (k2, з)) β (k2,час)
для всех час1, час2 в ЧАС, k1, k2 в K. Из них следует, что
- Для каждого k в Kотображение час ↦ α (k,час) это биекция из ЧАС.
- Для каждого час в ЧАСотображение k ↦ β (k,час) является биекцией K.
(Действительно, предположим, что α (k,час1) = α (k,час2). потом час1= α (k−1k,час1) = α (k−1, α (k,час1)) = α (k−1, α (k,час2))=час2. Это устанавливает инъективность, а для сюръективности используйте час= α (k, α (k−1,час)).)
Более кратко, первые три свойства выше утверждают отображение α: K × ЧАС → ЧАС это левое действие из K на ЧАС и что β: K × ЧАС → K это правильное действие из ЧАС на K. Если обозначить левое действие через час → kчас и правильное действие k → kчас, то последние два свойства составляют k(час1час2) = kчас1 kчас1час2 и (k1k2)час = k1k2часk2час.
Обернув это, предположим ЧАС и K группы (и пусть е обозначим единичный элемент каждой группы) и предположим, что существуют отображения α: K × ЧАС → ЧАС и β: K × ЧАС → K удовлетворяющие указанным выше свойствам. На декартово произведение ЧАС × K, определим умножение и отображение инверсии соответственно на
- (час1, k1) (ч2, k2) = (h1 α (k1,час2), β (k1,час2) k2)
- (ч, к)− 1 = (α (k− 1,час− 1), β (k− 1,час− 1))
потом ЧАС × K группа называется внешней Заппа – Сеп продукт групп ЧАС и K. В подмножества ЧАС × {е} и {е} × K подгруппы изоморфный к ЧАС и Kсоответственно и ЧАС × K фактически является внутренним произведением Заппы – Сепа ЧАС × {е} и {е} × K.
Отношение к полупрямым и прямым продуктам
Позволять грамм = HK - внутреннее произведение Заппы – Сепа подгрупп ЧАС и K. Если ЧАС является нормальный в грамм, то отображения α и β задаются формулами α (k,час) = k h k− 1 и β (k, час) = k. Это легко увидеть, потому что и поскольку по нормальности , . В этом случае, грамм является внутренним полупрямым продуктом ЧАС и K.
Если, кроме того, K нормально в грамм, то α (k,час) = час. В этом случае, грамм является внутренним прямым продуктом ЧАС и K.
Рекомендации
- ^ Мартин В. Либек; Шерил Э. Прегер; Ян Саксл (2010). Регулярные подгруппы примитивных групп перестановок. American Mathematical Soc. С. 1–2. ISBN 978-0-8218-4654-4.
- Хупперт, Б. (1967), Endliche Gruppen (на немецком языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-03825-2, МИСТЕР 0224703, OCLC 527050, Кап. VI, §4.
- Михор, П. В. (1989), "Связать произведения градуированных алгебр и групп Ли", Материалы Зимней школы по геометрии и физике, Срни, Прил. Rendiconti Circolo Matematico di Palermo, Ser. II, 22: 171–175, arXiv:математика / 9204220, Bibcode:1992математика ...... 4220M.
- Миллер, Г. А. (1935), "Группы, которые являются произведениями двух перестановочных собственных подгрупп", Труды Национальной академии наук, 21 (7): 469–472, Bibcode:1935ПНАС ... 21..469М, Дои:10.1073 / pnas.21.7.469, ЧВК 1076628, PMID 16588002
- Сеп, Дж. (1950), "О структуре групп, которые могут быть представлены как произведение двух подгрупп", Acta Sci. Математика. Сегед, 12: 57–61.
- Такеучи, М. (1981), "Согласованные пары групп и произведения bismash алгебр Хопфа", Comm. Алгебра, 9 (8): 841–882, Дои:10.1080/00927878108822621.
- Заппа, Г. (1940), "Sulla costruzione dei gruppi prodotto di due dati sottogruppi permutabili traloro", Atti Secondo Congresso Un. Мат. Ital., Болонья; Edizioni Cremonense, Рим, (1942) 119–125.
- Agore, A.L .; Чирваситу, А .; Ион, В .; Милитару, Г. (2007), Проблемы факторизации для конечных групп, arXiv:математика / 0703471, Bibcode:2007математика ...... 3471A, Дои:10.1007 / s10468-009-9145-6.
- Брин, М. Г. (2005). «О продукте Zappa-Szép». Коммуникации в алгебре. 33 (2): 393–424. arXiv:математика / 0406044. Дои:10.1081 / AGB-200047404.