(2,1) -Треугольник Паскаля - (2,1)-Pascal triangle

Строки с нуля по пять в (2,1) -треугольнике Паскаля

В математика, то (2,1) -Треугольник Паскаля (зеркальный Треугольник Лукаса^[1])это треугольная решетка.

Строки (2,1) -треугольника Паскаля (последовательность A029653 в OEIS )^[2] условно нумеруются, начиная со строки п = 0 вверху (0-я строка). Записи в каждой строке нумеруются слева, начиная с k = 0 и обычно располагаются в шахматном порядке относительно чисел в соседних строках.

Треугольник основан на Треугольник Паскаля со второй строкой (2,1), а для первой ячейки каждой строки установлено значение 2.

Эта конструкция связана с биномиальными коэффициентами соотношением Правило Паскаля, с одним из условий ${\displaystyle 2x+y}$.

${\displaystyle (2x+y)(x+y)^{n-1}}$

Паттерны и свойства

(2,1) -Треугольник Паскаля имеет множество свойств и содержит множество шаблонов чисел. Его можно рассматривать как сестру Треугольник Паскаля, так же, как Последовательность Лукаса является сестринской последовательностью Последовательность Фибоначчи.^{[нужна цитата ]}

Рядов

• Кроме строки п = 0, 1, сумма элементов одной строки в два раза больше суммы предшествующей ей строки. Например, строка 1 имеет значение 3, строка 2 имеет значение 6, строка 3 имеет значение 12 и так далее. Это потому, что каждый элемент в строке создает два элемента в следующей строке: один слева и один справа. Сумма элементов строкип равно ${\displaystyle 3\times 2^{n-1}}$.(последовательность A003945 в OEIS ) (последовательность A007283 в OEIS )
• Значение строки, если каждая запись считается десятичным разрядом (и числа, превышающие 9, переносятся соответственно), это степень 11, умноженная на 21 (${\displaystyle 21\times 11^{n-1}}$, для строкип). Таким образом, во 2 строке ⟨2, 3, 1⟩ становится ${\displaystyle 21\times 11}$, пока ⟨2, 9, 16, 14, 6, 1⟩ в пятом ряду становится (после переноса) 307461, что ${\displaystyle 21\times 11^{4}}$. Это свойство объясняется установкой Икс = 10 в биномиальном разложении (2Икс + 1)(Икс + 1)^п−1, и перевод значений в десятичную систему. Но Икс можно выбрать, чтобы строки могли представлять значения в любой основание.
  • В база 3: ${\displaystyle 231_{3}=7\times 4(28)}$
  • ${\displaystyle (2,5,4,1)\rightarrow 11011_{3}=7\times 4^{2}(112)}$
  • В база 9: ${\displaystyle 231_{9}=19\times 10(190)}$
  •              ${\displaystyle 2541_{9}=19\times 10^{2}(1900)}$
  • ${\displaystyle (2,9,16,14,6,1)\rightarrow 318561_{9}=19\times 10^{4}(190000)}$
• Полярность: еще один интересный паттерн, когда строки треугольника Паскаля последовательно складываются и вычитаются вместе, каждая строка со средним числом, то есть строки с нечетным числом целых чисел, всегда равны 0. Пример, строка 4 - это 2 7 9 5 1, поэтому формула будет 9 − (7 + 5) + (2 + 1) = 0, строка 6 - 2 11 25 30 20 7 1, поэтому формула будет 30 − (25 + 20) + (11 + 7) − (2 + 1) = 0. Таким образом, каждая четная строка треугольника Паскаля равна 0, когда вы берете среднее число, затем вычитаете целые числа непосредственно рядом с центром, затем складываете следующие целые числа, затем вычитаете и так далее, и так далее, пока не дойдете до конца строки.
  • Или мы можем сказать, что когда мы берем первый член строки, затем вычитаем второй член, затем добавляем третий член, затем вычитаем и т. Д. И т. Д., Пока не дойдем до конца строки, результат всегда будет равен 0.
  • ряд 3: 2-3 + 1 = 0
  • ряд 4: 2 - 5 + 4 - 1 = 0
  • ряд 5: 2-7 + 9-5 + 1 = 0
  • 6 ряд: 2 - 9 + 16 - 14 + 6 - 1 = 0
  • 7 ряд: 2-11 + 25-30 + 20-7 + 1 = 0
  • 8 ряд: 2 - 13 + 36 - 55 + 50 - 27 + 8 - 1 = 0

Диагонали

Диагонали треугольника Паскаля содержат фигуральные числа симплексов:

• Диагонали, идущие по правым краям, содержат только единицы, в то время как диагонали, идущие по правым краям, содержат только 2, кроме первой ячейки.
• Диагонали рядом с диагональю левого края содержат нечетные числа чтобы.
• Диагонали рядом с диагональю правого края содержат натуральные числа чтобы.
• Двигаясь внутрь, следующая пара диагоналей содержит квадратные числа и треугольные числа минус 1 чтобы.
• Следующая пара диагоналей содержит Квадратное пирамидальное число по порядку, а следующая пара дает 4-хмерные пирамидальные числа (последовательность A002415 в OEIS ).

Общие закономерности и свойства

Треугольник Серпинского

(2,1) -Треугольник Паскаля, наложенный на сетку, дает количество различных путей к каждому квадрату, предполагая, что учитываются только движения вправо и вниз.

• Образец, полученный раскрашиванием только нечетных чисел в треугольнике Паскаля, очень похож на фрактал называется Треугольник Серпинского. Это сходство становится все более точным по мере того, как рассматривается больше строк; в пределе, когда количество строк приближается к бесконечности, результирующий шаблон является треугольник Серпинского, предполагающий фиксированный периметр.^[3] В более общем смысле числа могут быть окрашены по-разному в зависимости от того, кратны ли они 3, 4 и т.д .; это приводит к другим подобным образцам.
• Представьте, что каждое число в треугольнике - это узел в сетке, который связан с соседними числами выше и ниже него. Теперь для любого узла в сетке подсчитайте количество путей в сетке (без возврата), которые соединяют этот узел с верхним узлом (1) треугольника. Ответ - это номер Паскаля, связанный с этим узлом.
• Одно свойство треугольника раскрывается, если строки выровнены по левому краю. В треугольнике ниже диагональные цветные полосы суммируются с последовательными Числа Фибоначчи и Числа Лукаса.^[4]

1
2	1
2	3	1
2	5	4	1
2	7	9	5	1
2	9	16	14	6	1
2	11	25	30	20	7	1
2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1

								1
							2	1
						2	3	1
					2	5	4	1
				2	7	9	5	1
			2	9	16	14	6	1
		2	11	25	30	20	7	1
	2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1

• Эта конструкция также связана с расширением ${\displaystyle x^{n}+{\frac {1}{x^{n}}}}$ , с помощью ${\displaystyle y=x+{\frac {1}{x}}}$.
• тогда

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{0}+{\frac {1}{x^{0}}}&=2\\[5pt]x^{1}+{\frac {1}{x^{1}}}&=y\\[5pt]x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}&=y^{2}-2\\[5pt]x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}&=y^{3}-3y\\[5pt]x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}}&=y^{4}-4y^{2}+2\\[5pt]x^{5}+{\frac {1}{x^{5}}}&=y^{5}-5y^{3}+5y\end{aligned}}}$

Рекомендации

1. "(1,2) -Треугольник Паскаля - OeisWiki". oeis.org. Получено 2016-02-23.
2. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A029653 (Числа в (2,1) -треугольнике Паскаля (по строкам))». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS. Получено 2015-12-24.
3. Вольфрам, С. (1984). «Теория вычислений клеточных автоматов». Comm. Математика. Phys. 96: 15–57. Bibcode:1984CMaPh..96 ... 15Вт. Дои:10.1007 / BF01217347.
4. «Точное значение постоянной тонкой структуры. - Страница 7 - Физика и математика». Научные форумы. Получено 2016-02-01.