Модель абелевой кучи - Abelian sandpile model

Идентификационный элемент песчаной группы прямоугольной сетки. Желтые пиксели соответствуют вершинам, несущим три частицы, сиреневые - двум частицам, зеленые - одной и черные - нулю.

В Модель абелевой кучи, также известный как Модель Бак – Танга – Визенфельда, был первым обнаруженным примером динамическая система отображение самоорганизованная критичность. Он был представлен Per Bak, Чао Тан и Курт Визенфельд в статье 1987 года.^[1]

Модель представляет собой клеточный автомат. В своей первоначальной формулировке каждому участку на конечной сетке соответствует значение, соответствующее уклону сваи. Этот уклон нарастает по мере того, как «песчинки» (или «щепки») случайным образом кладут на сваю, пока уклон не превысит определенное пороговое значение, когда это место обрушится, перенося песок на соседние участки, увеличивая их уклон. Бак, Тан и Визенфельд рассмотрели процесс последовательного случайного размещения песчинок на сетке; каждое такое размещение песка на определенном участке может не иметь никакого эффекта или вызвать каскадную реакцию, которая затронет многие участки.

С тех пор модель изучалась на бесконечной решетке, на других (неквадратных) решетках и на произвольных графах (включая ориентированные мультиграфы).^[2] Это тесно связано с долларовая игра, вариант игра-стрелялка представленный Биггсом.^[3]

Определение (прямоугольные сетки)

Модель песчаной кучи клеточный автомат первоначально определено на ${displaystyle N imes M}$ прямоугольная сетка (шахматная доска) ${displaystyle Gamma subset mathbb {Z} ^{2}}$ из стандартная квадратная решетка ${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$.К каждой вершине (сторона, поле) ${displaystyle (x,y)in Gamma }$ сетки ставим в соответствие значение (песчинки, склон, частицы) ${displaystyle z_{0}(x,y)in {0,1,2,3}}$, с ${displaystyle z_{0}in {0,1,2,3}^{Gamma }}$ называется (исходной) конфигурацией песчаной кучи.

Динамика автомата на итерации ${displaystyle iin mathbb {N} }$ затем определяются следующим образом:

1. Выберите случайную вершину ${displaystyle (x_{i},y_{i})in Gamma }$ по некоторому распределению вероятностей (обычно равномерному).
2. Добавьте одну песчинку в эту вершину, оставляя номера зерен для всех остальных вершин неизменными, т.е. установите
   ${displaystyle z_{i}(x_{i},y_{i})=z_{i-1}(x_{i},y_{i})+1}$ и
   ${displaystyle z_{i}(x,y)=z_{i-1}(x,y)}$ для всех ${displaystyle (x,y)eq (x_{i},y_{i})}$.
3. Если все вершины стабильный, т.е. ${displaystyle z_{i}(x,y)<4}$ для всех ${displaystyle (x,y)in Gamma }$, а также конфигурация ${displaystyle z_{i}}$ считается стабильным. В этом случае перейдите к следующей итерации.
4. Если хотя бы одна вершина неустойчивый, т.е. ${displaystyle z_{i}(x_{u},y_{u})geq 4}$ для некоторых ${displaystyle (x_{u},y_{u})in Gamma }$, вся конфигурация ${displaystyle z_{i}}$ считается нестабильным. В этом случае выберите любую неустойчивую вершину ${displaystyle (x_{u},y_{u})in Gamma }$ наугад. Опрокинуть эту вершину, уменьшив количество зерен на четыре и увеличив количество зерен каждого из (максимум четырех) прямых соседей на единицу, т.е.
   ${displaystyle z_{i}(x_{u},y_{u})ightarrow z_{i}(x_{u},y_{u})-4,}$, и
   ${displaystyle z_{i}(x_{u}pm 1,y_{u}pm 1)ightarrow z_{i}(x_{u}pm 1,y_{u}pm 1)+1}$ если ${displaystyle (x_{u}pm 1,y_{u}pm 1)in Gamma }$.
   Если вершина на границе домена опрокидывается, это приводит к чистой потере зерен (два зерна в углу сетки, одно зерно в противном случае).
5. Из-за перераспределения зерен опрокидывание одной вершины может сделать другие вершины нестабильными. Таким образом, повторяем процедуру опрокидывания до тех пор, пока все вершины ${displaystyle z_{i}}$ в конечном итоге станет стабильным и продолжит выполнение следующей итерации.

Падение нескольких вершин за одну итерацию называется лавина. Гарантируется, что каждая лавина в конечном итоге остановится, т.е. после конечного числа опрокидываний достигается некоторая устойчивая конфигурация, при которой автомат определен правильно. Более того, хотя часто будет много возможных вариантов порядка опрокидывания вершин, окончательная стабильная конфигурация не зависит от выбранного порядка; в этом смысле песочная куча абелевский. Точно так же количество раз, когда каждая вершина опрокидывается во время каждой итерации, также не зависит от выбора порядка опрокидывания.

Определение (неориентированные конечные мультиграфы)

Обобщить модель песочницы с прямоугольной сетки стандартной квадратной решетки на произвольный неориентированный конечный мультиграф ${displaystyle G=(V,E)}$, особая вершина ${displaystyle sin V}$ называется раковина указано, что нельзя опрокидывать. А конфигурация (состояние) модели тогда является функцией ${displaystyle z:Vsetminus {s}ightarrow mathbb {N} _{0}}$ подсчет неотрицательного числа зерен на каждой вершине, не являющейся стоком. Вершина, не являющаяся стоком ${displaystyle vin Vsetminus {s}}$ с

${displaystyle z(v)geq deg(v)}$

нестабильно; он может быть опрокинут, что отправит одну из своих крупинок каждому из своих (не принимающих) соседей:

${displaystyle z(v) o z(v)-deg(v)}$

${displaystyle z(u) o z(u)+1}$ для всех ${displaystyle usim v}$, ${displaystyle ueq s}$.

Затем клеточный автомат работает, как и раньше, то есть путем добавления на каждой итерации одной частицы к случайно выбранной вершине, не являющейся стоком, и опрокидыванию, пока все вершины не станут стабильными.

Определение модели песчаной кучи, данное выше для конечных прямоугольных сеток ${displaystyle Gamma subset mathbb {Z} ^{2}}$ стандартной квадратной решетки ${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$ в таком случае можно рассматривать как частный случай этого определения: рассмотрим граф ${displaystyle G=(V,E)}$ который получается из ${displaystyle Gamma }$ добавляя дополнительную вершину, сток, и рисуя дополнительные ребра от стока к каждой граничной вершине ${displaystyle Gamma }$ так что степень каждой не принимающей вершины ${displaystyle G}$ четыре. Таким образом могут быть определены также модели песчаных куч на непрямоугольных сетках стандартной квадратной решетки (или любой другой решетки): пересечение некоторого ограниченного подмножества ${displaystyle S}$ из ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ с ${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$. Сжимайте каждую грань из ${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$ чьи две конечные точки не находятся в ${displaystyle Scap mathbb {Z} ^{2}}$. Единственная оставшаяся вершина вне ${displaystyle Scap mathbb {Z} ^{2}}$ затем составляет сток результирующего графа песчаной кучи.

Переходные и повторяющиеся конфигурации

В определенной выше динамике песочного автомата некоторые устойчивые конфигурации (${displaystyle 0leq z(v)<4}$ для всех ${displaystyle vin Gsetminus {s}}$) появляются бесконечно часто, в то время как другие могут появляться только конечное число раз (если вообще появляются). Первые упоминаются как повторяющиеся конфигурации, а последние называются переходные конфигурации. Таким образом, повторяющиеся конфигурации состоят из всех стабильных неотрицательных конфигураций, которые могут быть достигнуты из любой другой стабильной конфигурации путем многократного добавления песчинок в вершины и опрокидывания. Нетрудно заметить, что минимально стабильная конфигурация ${displaystyle z_{m}}$, где каждая вершина несет ${displaystyle z_{m}(v)=deg(v)-1}$ песчинки, достижимо из любой другой стабильной конфигурации (добавить ${displaystyle deg(v)-z(v)-1geq 0}$ зерна в каждую вершину). Таким образом, эквивалентным образом повторяющиеся конфигурации - это именно те конфигурации, которые могут быть достигнуты из минимально стабильной конфигурации, только добавляя песчинки и стабилизируя.

Не всякая неотрицательная стабильная конфигурация повторяется. Например, в каждой модели кучи песка на графе, состоящем как минимум из двух связанных вершин, не являющихся раковиной, каждая устойчивая конфигурация, в которой обе вершины несут ноль песчинок, не повторяется. Чтобы доказать это, сначала обратите внимание, что добавление песчинок может только увеличить общее количество песчинок, переносимых двумя вершинами вместе. Таким образом, чтобы достичь конфигурации, в которой обе вершины несут нулевые частицы из конфигурации, где это не так, необходимо выполнить шаги, на которых по крайней мере одна из двух вершин опрокидывается. Рассмотрим последний из этих шагов. На этом этапе одна из двух вершин должна опрокинуться последней. Поскольку при опрокидывании песчинка переносится в каждую соседнюю вершину, это означает, что общее количество песчинок, переносимых обеими вершинами вместе, не может быть меньше единицы, что завершает доказательство.

Песчаная группа

Учитывая конфигурацию ${displaystyle z}$, ${displaystyle z(v)in mathbb {N} _{0}}$ для всех ${displaystyle vin Gsetminus {s}}$, опрокидывание нестабильных вершин, не являющихся стоком, на конечном связном графе до тех пор, пока не останется неустойчивых вершин, не являющихся стоком, приводит к единственному стабильный конфигурация ${displaystyle z^{circ }}$, который называется стабилизация из ${displaystyle z}$. Учитывая две стабильные конфигурации ${displaystyle z}$ и ${displaystyle w}$, мы можем определить операцию ${displaystyle z*w o (z+w)^{circ }}$, что соответствует добавлению зерен по вершинам с последующей стабилизацией полученной кучи песка.

При произвольном, но фиксированном порядке вершин, не являющихся приемником, несколько операций опрокидывания, которые могут, например, возникают во время стабилизации нестабильной конфигурации, могут быть эффективно закодированы с помощью граф лапласиан ${displaystyle Delta =D-A}$, куда ${displaystyle D}$ это матрица степеней и ${displaystyle A}$ это матрица смежности графа. Удаление строки и столбца ${displaystyle Delta }$ соответствующий сток дает редуцированный граф лапласиан ${displaystyle Delta '}$. Затем, начиная с конфигурации ${displaystyle z}$ и опрокидывая каждую вершину ${displaystyle v}$ Всего ${displaystyle mathbf {x} (v)in mathbb {N} _{0}}$ раз дает конфигурацию ${displaystyle z-Delta '{oldsymbol {cdot }}~mathbf {x} }$, куда ${displaystyle {oldsymbol {cdot }}}$ - продукт сокращения. Кроме того, если ${displaystyle mathbf {x} }$ соответствует количеству раз, когда каждая вершина опрокидывается во время стабилизации данной конфигурации ${displaystyle z}$, тогда

${displaystyle z^{circ }=z-Delta '{oldsymbol {cdot }}~mathbf {x} }$

В этом случае, ${displaystyle mathbf {x} }$ называется падение или же функция одометра (стабилизации ${displaystyle z}$).

Под операцией ${displaystyle *}$, набор повторяющихся конфигураций образует абелева группа изоморфна коядру лапласиана редуцированного графа ${displaystyle Delta '}$, т.е. к ${displaystyle mathbf {Z} ^{n-1}/mathbf {Z} ^{n-1}Delta '}$, Посредством чего ${displaystyle n}$ обозначает количество вершин (включая раковину). В более общем смысле, набор стабильных конфигураций (переходных и повторяющихся) образует коммутативный моноид под операцией ${displaystyle *}$. Минимальный идеальный этого моноида тогда изоморфна группе рекуррентных конфигураций.

Группа, образованная повторяющимися конфигурациями, а также группа ${displaystyle mathbf {Z} ^{n-1}/mathbf {Z} ^{n-1}Delta '}$ которому первый изоморфен, чаще всего называют песчаная группа. Другие общие названия той же группы: критическая группа, Группа якобиана или (реже) Группа Пикард. Обратите внимание, однако, что некоторые авторы обозначают только группу, образованную рекуррентными конфигурациями, как группу песочницы, оставляя за собой название якобиева группа или критическая группа для (изоморфной) группы, определенной формулой ${displaystyle mathbf {Z} ^{n-1}/mathbf {Z} ^{n-1}Delta '}$ (или для связанных изоморфных определений). Наконец, некоторые авторы используют название группа Пикара для обозначения прямого продукта группы песчаных куч и ${displaystyle mathbb {Z} }$, который естественным образом проявляется в клеточном автомате, тесно связанном с моделью кучи песка, называемой «запуском чипов» или «долларовой игрой».

Учитывая изоморфизмы, указанные выше, порядок группы песочницы является определителем ${displaystyle Delta '}$, что по теорема о матричном дереве - количество остовных деревьев графа.

Самоорганизованная критичность

Основная статья: Самоорганизованная критичность

Первоначальный интерес к модели вызван тем, что при моделировании на решетках ее привлекают критическое состояние, в этот момент длина корреляции системы и время корреляции системы стремятся к бесконечности без какой-либо точной настройки параметра системы. Это контрастирует с более ранними примерами критических явлений, такими как фазовые переходы между твердым телом и жидкостью или жидкостью и газом, где критическая точка может быть достигнута только путем точной настройки (например, температуры). Следовательно, в модели песчаной кучи можно сказать, что критичность самоорганизованный.

Когда модель песчаной кучи достигает своего критического состояния, корреляция между реакцией системы на возмущение и детали возмущения. Обычно это означает, что падение еще одной песчинки на сваю может ничего не вызвать или может привести к обрушению всей сваи в результате массивного оползня. Модель также отображает 1/ƒ шум, характерная для многих сложных систем в природе.

Эта модель отображает критическое поведение только в двух или более измерениях. Модель песчаной кучи может быть выражена в 1D; однако, вместо того, чтобы развиваться до своего критического состояния, одномерная модель песчаной кучи достигает минимально устойчивого состояния, когда каждый узел решетки приближается к критическому уклону.

Для двух измерений была выдвинута гипотеза, что связанные конформная теория поля состоит из симплектические фермионы с центральный заряд c = −2.^[4]

Характеристики

Принцип наименьшего действия

Стабилизация конфигураций микросхем подчиняется форме принцип наименьшего действия: каждая вершина опрокидывается не больше, чем необходимо в процессе стабилизации.^[5] Это можно формализовать следующим образом. Назовите последовательность падений законный если он только опрокидывает неустойчивые вершины, и стабилизирующий если это приведет к стабильной конфигурации. Стандартный способ стабилизации песчаной кучи - найти максимальную законную последовательность; то есть, опрокидывая до тех пор, пока это возможно. Такая последовательность, очевидно, является стабилизирующей, и абелевым свойством песочной кучи является то, что все такие последовательности эквивалентны с точностью до перестановки порядка опрокидывания; то есть для любой вершины ${displaystyle v}$, количество раз ${displaystyle v}$ topples одинаково во всех законных стабилизирующих последовательностях. Согласно принципу наименьшего действия минимальная стабилизация Последовательность также эквивалентна перестановке порядка отмены в допустимую (и все еще стабилизирующую) последовательность. В частности, конфигурация, полученная в результате минимальной стабилизирующей последовательности, такая же, как и в результате максимальной правовой последовательности.

Более формально, если ${displaystyle mathbf {u} }$ вектор такой, что ${displaystyle mathbf {u} (v)}$ - количество раз, когда вершина ${displaystyle v}$ опрокидывается при стабилизации (за счет опрокидывания нестабильных вершин) конфигурации микросхемы ${displaystyle z}$, и ${displaystyle mathbf {n} }$ является целым вектором (не обязательно неотрицательным) такой, что ${displaystyle z-mathbf {n} Delta '}$ стабильно, то ${displaystyle mathbf {u} (v)leq mathbf {n} (v)}$ для всех вершин ${displaystyle v}$.

Пределы масштабирования

Анимация идентичности песчаной кучи на квадратных сетках увеличивающегося размера. Черным цветом обозначены вершины с 0 зернами, зеленым - 1, фиолетовым - 2, а золотым - 3.

Анимация показывает повторяющуюся конфигурацию, соответствующую идентичности группы кучи на разных ${displaystyle N imes N}$ квадратные сетки увеличивающихся размеров ${displaystyle Ngeq 1}$, в результате чего конфигурации масштабируются, чтобы всегда иметь один и тот же физический размер. Визуально идентичности на более крупных сетках, кажется, становятся все более детализированными и «сходятся в непрерывное изображение». Математически это предполагает существование масштабных пределов идентичности песчаной кучи на квадратных сетках, основанных на понятии слабой * сходимости (или некотором другом обобщенном понятии сходимости). Действительно, существование пределов масштабирования повторяющихся конфигураций песчаных куч было доказано Уэсли Пегденом и Чарльзом Смартом.^[6].^[7] В дальнейшей совместной работе с Лайонелом Левином они использовали предел масштабирования для объяснения фрактальной структуры кучи песка на квадратных сетках.^[8]

Обобщения и родственные модели

Модели песчаных куч на бесконечных сетках

30 миллионов зерен упали на участок бесконечной квадратной сетки, а затем опрокинулись в соответствии с правилами модели кучи песка. Белым цветом обозначены участки с 0 зернами, зеленым - 1, фиолетовым - 2, золотым - 3. Ограничивающая рамка - 3967 × 3967.

Существует несколько обобщений модели кучи песка на бесконечные сетки. Проблема в таких обобщениях состоит в том, что, как правило, больше не гарантируется, что каждая лавина в конечном итоге остановится. Таким образом, некоторые обобщения рассматривают только стабилизацию конфигураций, для которых это может быть гарантировано.

Достаточно популярная модель на (бесконечной) квадратной решетке с узлами ${displaystyle (x,y)in mathbb {Z} ^{2}}$ определяется следующим образом:

Начнем с некоторой неотрицательной конфигурации значений ${displaystyle z(x,y)in mathbf {Z} }$ что конечно, то есть

${displaystyle sum _{x,y}z(x,y)<infty .}$

Любой сайт ${displaystyle (x,y)}$ с

${displaystyle z(x,y)geq 4}$

является неустойчивый и может опрокидывать (или же Огонь), отправив по одной из своих фишек каждому из четырех своих соседей:

${displaystyle z(x,y)ightarrow z(x,y)-4,}$

${displaystyle z(xpm 1,y)ightarrow z(xpm 1,y)+1,}$

${displaystyle z(x,ypm 1)ightarrow z(x,ypm 1)+1.}$

Поскольку исходная конфигурация конечна, процесс гарантированно прекратится, и зерна разлетятся наружу.

Популярный частный случай этой модели дается, когда начальная конфигурация равна нулю для всех вершин, кроме начала координат. Если исходная точка несет огромное количество песчинок, конфигурация после релаксации образует фрактальные узоры (см. Рисунок). Когда исходное количество зерен в начале координат стремится к бесконечности, было показано, что масштабированные стабилизированные конфигурации сходятся к уникальному пределу.^[7][8]

Модели песочницы на ориентированных графах

Модель песчаной кучи может быть обобщена на мультиграфы произвольной направленности. Правила таковы, что любая вершина ${displaystyle v}$ с

${displaystyle z(v)geq deg ^{+}(v)}$

нестабильно; опрокидывание снова отправляет фишки каждому из своих соседей, по одной на каждом исходящем ребре:

${displaystyle z(v)ightarrow z(v)-deg ^{+}(v)+deg(v,v)}$

и для каждого ${displaystyle ueq v}$:

${displaystyle z(u)ightarrow z(u)+deg(v,u)}$

куда ${displaystyle deg(v,u)}$ количество ребер из ${displaystyle v}$ к ${displaystyle u}$.

В этом случае матрица лапласиана не симметрична. Если указать раковину ${displaystyle s}$ такой, что есть путь от любой другой вершины до ${displaystyle s}$, то операция стабилизации на конечных графах корректно определена и группу песочницы можно записать

${displaystyle mathbf {Z} ^{n-1}/mathbf {Z} ^{n-1}Delta '}$

как прежде.

Порядок группы кучи снова является определяющим фактором ${displaystyle Delta '}$, что по общей версии теорема о матричном дереве количество ориентированных остовные деревья укоренился в раковине.

Расширенная модель песчаной кучи

Динамика песчаной насыпи, индуцированная гармонической функцией H = x * y на квадратной сетке 255x255.

Чтобы лучше понять структуру группы песчаных куч для различных конечных выпуклых сеток ${displaystyle Gamma subset mathbb {Z} ^{2}}$ стандартной квадратной решетки ${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$, Ланг и Школьников представили расширенная модель песчаной кучи в 2019 году.^[9] Расширенная модель песчаной кучи определяется почти так же, как и модель обычная модель песчаника (т.е. исходная модель Бака – Танга – Визенфельда ^[1]), за исключением того, что вершины на границе ${displaystyle partial Gamma }$ сетки теперь разрешено нести неотрицательное действительное количество зерен. В отличие от этого, вершины внутри сетки по-прежнему могут нести только целое число зерен. Правила опрокидывания остаются неизменными, т.е. предполагается, что как внутренние, так и граничные вершины становятся нестабильными и опрокидываются, если число зерен достигает или превышает четыре.

Также повторяющиеся конфигурации расширенной модели песчаной кучи образуют абелеву группу, называемую расширенная песчаная группа, из которых обычная группа песчаных дискретная подгруппа. В отличие от обычной песчаной группы, расширенная песчаная группа, однако, является непрерывной. Группа Ли. Поскольку он создается только добавлением песчинок к границе ${displaystyle partial Gamma }$ сетки расширенная группа песчаных куч, кроме того, имеет топология из тор измерения ${displaystyle |partial Gamma |}$ и объем дан по порядку обычной песчаной группы.^[9]

Особый интерес представляет вопрос, как рекуррентные конфигурации динамически изменяются вдоль непрерывного геодезические этого тора, проходящего через единицу. Этот вопрос приводит к определению динамики песчаной насыпи.

${displaystyle D_{H}(t)=(I-tDelta H)^{circ }}$ (расширенная модель песчаной кучи)

соответственно

${displaystyle { ilde {D}}_{H}(t)=(I+lfloor -tDelta Hfloor )^{circ }}$ (обычная песочная модель)

индуцированный целочисленным гармоническая функция ${displaystyle H}$ вовремя ${displaystyle tin mathbb {R} setminus mathbb {Z} }$, с ${displaystyle I}$ идентичность песчаной группы и ${displaystyle lfloor .floor }$ функция пола.^[9] Для полиномиальных гармонических функций низкого порядка динамика песчаной кучи характеризуется плавным преобразованием и очевидным сохранением пятен, составляющих идентичность песчаной кучи. Например, гармоническая динамика, индуцированная ${displaystyle H=xy}$ напоминают «плавное растяжение» идентичности по основным диагоналям, визуализированное в анимации. Конфигурации, возникающие в динамике, индуцированной одной и той же гармонической функцией на квадратных сетках разного размера, кроме того, предположительно имеют слабую * сходимость, что означает, что для них предположительно существуют пределы масштабирования.^[9] Это предлагает естественный перенормировка для расширенных и обычных групп песочницы, что означает отображение повторяющихся конфигураций на заданной сетке на повторяющиеся конфигурации на подсетке. Неформально, эта перенормировка просто отображает конфигурации, появляющиеся в данный момент времени. ${displaystyle t}$ в динамике песчаной насыпи, индуцированной некоторой гармонической функцией ${displaystyle H}$ на большей сетке к соответствующим конфигурациям, которые одновременно проявляются в динамике песчаной насыпи, вызванной ограничением ${displaystyle H}$ в соответствующую подсетку.^[9]

Делимая куча песка

Сильно связанная модель - это так называемая делимая модель песчаной кучи, представленный Левином и Пересом в 2008 году,^[10] в котором вместо дискретного количества частиц в каждом узле ${displaystyle x}$, есть реальное число ${displaystyle s(x)}$ представляющий количество массы на сайте. Если такая масса отрицательна, то это можно понимать как дыру. Падение происходит всякий раз, когда сайт имеет массу больше 1; он распределяет излишки равномерно между своими соседями, что приводит к тому, что, если сайт заполнен ${displaystyle t}$, он будет полон на все более поздние времена.

Культурные ссылки

Песчаная куча Бак – Тан – Визенфельд упоминается на Numb3rs Эпизод «Буйство», как математик Чарли Эппес объясняет своим коллегам решение уголовного расследования.

В компьютерная игра Hexplode основан на абелевой модели песчаной кучи на конечной гексагональной сетке, где вместо случайного размещения зерен игроки размещают зерна.

Рекомендации

1. Бак, П.; Тан, К.; Визенфельд, К. (1987). «Самоорганизованная критичность: объяснение 1 /ƒ шум". Письма с физическими проверками. 59 (4): 381–384. Bibcode:1987ПхРвЛ..59..381Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.59.381. PMID  10035754.
2. Holroyd, A .; Levine, L .; Mészáros, K .; Перес, Ю .; Propp, J .; Уилсон, Б. (2008). Chip-Firing и Rotor-Routing на ориентированных графах. В равновесии и вне его 2. 60. С. 331–364. arXiv:0801.3306. Bibcode:1987ПхРвЛ..59..381Б. Дои:10.1007/978-3-7643-8786-0_17. ISBN  978-3-7643-8785-3. S2CID  7313023.
3. Биггс, Норман Л. (25 июня 1997 г.). "Запуск микросхем и критическая группа графа" (PDF). Журнал алгебраической комбинаторики: 25–45. Получено 10 мая 2014.
4. С. Могими-Араги; М. А. Раджабпур; С. Рухани (2004). "Абелева модель песчаной кучи: точка зрения теории конформного поля". Ядерная физика B. 718 (3): 362–370. arXiv:cond-mat / 0410434. Bibcode:2005НуФБ.718..362М. Дои:10.1016 / j.nuclphysb.2005.04.002. S2CID  16233977.
5. Fey, A .; Levine, L .; Перес Ю. (2010). «Темпы роста и взрывы в отвалах». Журнал статистической физики. 138 (1–3): 143–159. arXiv:0901.3805. Bibcode:2010JSP ... 138..143F. Дои:10.1007 / s10955-009-9899-6. ISSN  0022-4715. S2CID  7180488.
6. Пегден, Уэсли; Смарт, Чарльз (2017). «Устойчивость узоров в абелевой куче». arXiv:1708.09432 [math.AP ].
7. Пегден, Уэсли; Смарт, Чарльз (2013). «Схождение абелевой кучи». Математический журнал герцога. 162 (4): 627–642. arXiv:1105.0111. Дои:10.1215/00127094-2079677. S2CID  13027232.
8. Левин, Лайонел; Пегден, Уэсли (2016). «Аполлоническая структура в абелевой куче песка». Геометрический и функциональный анализ. 26 (1): 306–336. Дои:10.1007 / s00039-016-0358-7. HDL:1721.1/106972. S2CID  119626417.
9. Ланг, Мориц; Школьников, Михаил (19.02.2019). «Гармоническая динамика абелевой кучи». Труды Национальной академии наук. 116 (8): 2821–2830. Дои:10.1073 / pnas.1812015116. ISSN  0027-8424. ЧВК  6386721. PMID  30728300.
10. Левин, Лайонел; Перес, Юваль (2008-10-29). "Сильная сферическая асимптотика для агрегации ротор-маршрутизатор и делимая куча песка". Возможный анализ. 30 (1): 1–27. arXiv:0704.0688. Дои:10.1007 / s11118-008-9104-6. ISSN  0926-2601. S2CID  2227479.

дальнейшее чтение

• Пер Бак (1996). Как работает природа: наука самоорганизованной критичности. Нью-Йорк: Коперник. ISBN  978-0-387-94791-4.
• Пер Бак; Чао Тан; Курт Визенфельд (1987). «Самоорганизованная критичность: объяснение 1 /ƒ шум". Письма с физическими проверками. 59 (4): 381–384. Bibcode:1987ПхРвЛ..59..381Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.59.381. PMID  10035754.
• Пер Бак; Чао Тан; Курт Визенфельд (1988). «Самоорганизованная критичность». Физический обзор A. 38 (1): 364–374. Bibcode:1988ПхРвА..38..364Б. Дои:10.1103 / PhysRevA.38.364. PMID  9900174.
• Кори, Роберт; Россин, Доминик; Салви, Бруно (2002). «Полиномиальные идеалы для песчаных куч и их оснований Грёбнера» (PDF). Теор. Comput. Наука. 276 (1–2): 1–15. Дои:10.1016 / S0304-3975 (00) 00397-2. Zbl  1002.68105.
• Кливанс, Кэролайн (2018). Математика запуска микросхем. CRC Press.
• Перкинсон, Дэвид; Перлман, Джейкоб; Уилмс, Джон (2013). «Алгебраическая геометрия кучи». В Амини, Омид; Бейкер, Мэтью; Фабер, Ксандер (ред.). Тропическая и неархимедова геометрия. Семинар Беллэрса по теории чисел, тропической и неархимедовой геометрии, Исследовательский институт Беллэрса, Холтаун, Барбадос, США, 6–13 мая 2011 г.. Современная математика. 605. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 211–256. CiteSeerX  10.1.1.760.283. Дои:10.1090 / conm / 605/12117. ISBN  978-1-4704-1021-6. S2CID  7851577. Zbl  1281.14002.

внешняя ссылка

• Гарсия-Пуэнте, Луис Давид. «Песчаные сваи» (YouTube видео). YouTube. Брэди Харан. Получено 15 января 2017.