Аффинный фокусный набор - Affine focal set

В математике и особенно аффинная дифференциальная геометрия, то аффинное фокальное множество из гладкий; плавный подмногообразие M встроенный в гладком многообразие N это едкий порожденные аффинными нормальными линиями. Его можно реализовать как бифуркационное множество некоторого семейства функции. Множество бифуркаций - это множество значений параметров семейства, которые дают функции с вырожденными особенности. Это не то же самое, что бифуркационная диаграмма в динамические системы.

Предположим, что M является п-размерный гладкий; плавный гиперповерхность в действительности (п+1) -пространство. Предположим, что M не имеет точек, где вторая основная форма является выродиться. Из статьи аффинная дифференциальная геометрия, существует единственный поперечный векторное поле над M. Это аффинное векторное поле нормали, или Нормальное поле Бляшке. Специальный (т.е. det = 1) аффинное преобразование настоящих (п + 1) -пространство будет нести аффинное нормальное векторное поле M на аффинное нормальное векторное поле образа M при трансформации.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим местный параметризация из M. Позволять ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ быть открыто окрестности 0 с координатами ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n})}$, и разреши ${\displaystyle \mathbf {X} :U\to \mathbb {R} ^{n+1}}$ - гладкая параметризация M в окрестности одной из его точек.

Аффинная нормаль векторное поле будем обозначать ${\displaystyle \mathbf {A} }$. В каждой точке M это поперечный к касательное пространство из M, т.е.

${\displaystyle \mathbf {A} :U\to T_{\mathbf {X} (U)}\mathbb {R} ^{n+1}.\,}$

Для фиксированного ${\displaystyle \mathbf {u} _{0}\in U}$ аффинная нормальная линия к M в ${\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {u} _{0})}$ может быть параметризовано т где

${\displaystyle t\mapsto \mathbf {X} (\mathbf {u} _{0})+t\mathbf {A} (\mathbf {u} _{0}).}$

Дано аффинное фокальное множество геометрически как бесконечно малый перекрестки из п-параметрическое семейство аффинных нормальных линий. Для расчета выберите аффинную нормальную линию, скажем, в точке п; затем посмотрите на аффинные нормальные прямые в точках, бесконечно близких к п и посмотрите, пересекаются ли они с п. Если п бесконечно близок к ${\displaystyle \mathbf {u} \in U}$, то его можно выразить как ${\displaystyle \mathbf {u} +d\mathbf {u} }$ где ${\displaystyle d\mathbf {u} }$ представляет собой бесконечно малую разницу. Таким образом ${\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {u} )}$ и ${\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {u} +d\mathbf {u} )}$ будет нашим п и его сосед.

Решить для т и ${\displaystyle d\mathbf {u} }$.

${\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {u} )+t\mathbf {A} (\mathbf {u} )=\mathbf {X} (\mathbf {u} +d\mathbf {u} )+t\mathbf {A} (\mathbf {u} +d\mathbf {u} ).}$

Это можно сделать, используя степенной ряд расширения, и это не так уж и сложно; он длинный и поэтому был опущен.

Ссылаясь на статью аффинная дифференциальная геометрия, оператор аффинной формы S это тип (1,1) -тензорное поле на M, и задается ${\displaystyle Sv=D_{v}\mathbf {A} }$, где D это ковариантная производная на реальном (п +1) -пространство (для начитанных: обычное плоский и кручение свободный связи ).

Решения для ${\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {u} )+t\mathbf {A} (\mathbf {u} )=\mathbf {X} (\mathbf {u} +d\mathbf {u} )+t\mathbf {A} (\mathbf {u} +d\mathbf {u} )}$ когда 1 /т является собственное значение из S и это ${\displaystyle d\mathbf {u} }$ соответствующий собственный вектор. Собственные значения S не всегда различны: могут быть повторяющиеся корни, могут быть сложные корни и S не всегда может быть диагонализуемый. Для ${\displaystyle 0\leq k\leq [n/2]}$, где ${\displaystyle [-]}$ обозначает наибольшая целая функция, как правило, будет (п − 2k) -частицы аффинного фокального множества над каждой точкой п. −2k соответствует комплексным парам собственных значений (например, решение к ${\displaystyle x^{2}+a=0}$ так как а меняется с отрицательный к положительный ).

Необязательно, чтобы аффинное фокальное множество состояло из гладких гиперповерхностей. Фактически, для общий гиперповерхность M, аффинное фокальное множество будет иметь особенности. Сингулярности могут быть найдены расчетным путем, но это может быть трудным, и нет никакого представления о том, как выглядит сингулярность до диффеоморфизм. С помощью теория сингулярности дает гораздо больше информации.

Подход теории сингулярностей

Идея состоит в том, чтобы определить семейство функции над M. В семье будет эмбиент реал (п + 1) -пространство как пространство его параметров, т.е. для каждого выбора окружающей точки существует функция, определенная над M. Это семейство представляет собой семейство функций аффинного расстояния:

${\displaystyle \Delta :\mathbb {R} ^{n+1}\times M\to \mathbb {R} .\,}$

Учитывая окружающую точку ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и точка на поверхности п, можно разложить аккорд присоединение п к ${\displaystyle \mathbf {x} }$ как касательный компонент и поперечный компонент параллельно к ${\displaystyle \mathbf {A} }$. Значение Δ задано неявно в уравнении

${\displaystyle \mathbf {x} -p=Z(\mathbf {x} ,p)+\Delta (\mathbf {x} ,p)\mathbf {A} (p)}$

где Z это касательный вектор. Теперь ищется бифуркационное множество семейства Δ, т.е. объемлющие точки, для которых ограниченная функция

${\displaystyle \Delta :\{\mathbf {x} \}\times M\to \mathbb {R} }$

имеет вырожденную особенность на некоторых п. Функция имеет вырожденную особенность, если Матрица якобиана первого порядка частные производные и Матрица Гессе частных производных второго порядка имеют нулевые детерминант.

Чтобы выяснить, имеет ли матрица Якоби нулевой определитель, дифференцируя уравнение х - р = Z + ΔA необходим. Позволять Икс быть касательным вектором к M, и дифференцировать в этом направлении:

${\displaystyle D_{X}(\mathbf {x} -p)=D_{X}(Z+\Delta \mathbf {A} ),}$

${\displaystyle -X=\nabla _{X}Z+h(X,Z)\mathbf {A} +d_{X}\Delta \mathbf {A} -\Delta SX,}$

${\displaystyle (\nabla _{X}Z+(I-\Delta S)X)+(h(X,Z)+d_{X}\Delta )\mathbf {A} =0,}$

где я это идентичность. Это значит, что ${\displaystyle \nabla _{X}Z=(\Delta S-I)X}$ и ${\displaystyle h(X,Z)=-d_{X}\Delta }$. Последнее равенство говорит о том, что мы имеем следующее уравнение дифференциальные одноформы ${\displaystyle h(-,Z)=d\Delta }$. Матрица Якоби будет иметь нулевой определитель тогда и только тогда, когда ${\displaystyle d\Delta }$ является выродиться как одноразовая, т.е. ${\displaystyle d_{X}\Delta =0}$ для всех касательных векторов Икс. поскольку ${\displaystyle h(-,Z)=d\Delta }$ это следует из того ${\displaystyle d\Delta }$ вырожден тогда и только тогда, когда ${\displaystyle h(-,Z)}$ является вырожденным. поскольку час является невырожденной двумерной формой, то Z = 0. Обратите внимание, что с M имеет невырожденную вторую фундаментальную форму, отсюда следует, что час является невырожденной двумерной формой. поскольку Z = 0 набор окружающих точек Икс для которого ограниченная функция ${\displaystyle \Delta :\{\mathbf {x} \}\times M\to \mathbb {R} }$ имеет особенность в некоторых п аффинная нормальная прямая к M в п.

Чтобы вычислить матрицу Гессе, рассмотрим дифференциальную двухформу ${\displaystyle (X,Y)\mapsto d_{Y}(d_{X}\Delta )}$. Это двойная форма, матричное представление которой является матрицей Гессе. Уже было видно, что ${\displaystyle h(X,Z)=-d_{X}\Delta }$ и это ${\displaystyle d_{Y}(d_{X}\Delta )=-d_{Y}(h(X,Z)).}$ Остается

${\displaystyle (X,Y)\mapsto -d_{Y}(h(X,Z))=-(\nabla _{Y}h)(X,Z)-h(\nabla _{Y}X,Z)-h(X,\nabla _{Y}Z)}$.

Предположим теперь, что Δ имеет особенность в точке п, т. е. Z = 0, то имеем двоякую форму

${\displaystyle (X,Y)\mapsto -h(X,\nabla _{Y}Z)}$.

Также было замечено, что ${\displaystyle \nabla _{X}Z=(\Delta S-I)X}$, и поэтому двойная форма становится

${\displaystyle (X,Y)\mapsto h(X,(I-\Delta S)Y)}$.

Это вырожденная как двойная форма тогда и только тогда, когда существует ненулевое Икс для которых он равен нулю для всех Y. поскольку час невырожден, должно быть, что ${\displaystyle \det(I-\Delta S)=0}$ и ${\displaystyle Y\in \ker(I-\Delta S)}$. Таким образом, особенность вырождена тогда и только тогда, когда окружающая точка Икс лежит на аффинной нормальной прямой к п и величина, обратная его расстоянию от п является собственным значением S, т.е. точки ${\displaystyle \mathbf {x} =p+t\mathbf {A} }$ где 1 /т является собственным значением S. Аффинное фокальное множество!

Особые точки

Аффинное фокальное множество может быть следующим:

${\displaystyle \{p+t\mathbf {A} (p):p\in M,\det(I-tS)=0\}\ .}$

Чтобы найти особые точки, просто продифференцируйте p + tA в каком-то касательном направлении Икс:

${\displaystyle D_{X}(p+t\mathbf {A} )=(I-tS)X+d_{X}t\mathbf {A} .}$

Аффинное фокальное множество сингулярно тогда и только тогда, когда существует ненулевое Икс такой, что ${\displaystyle D_{X}(p+t\mathbf {A} )=0}$, т.е. если и только если, Икс является собственным вектором S и производная от т в этом направлении равно нулю. Это означает, что производная аффинного главная кривизна в собственном родстве главное направление равно нулю.

Местная структура

Стандартные идеи могут быть использованы в теории особенностей для классификации с точностью до локального диффеоморфизма аффинного фокального множества. Если можно показать, что семейство аффинных функций расстояния представляет собой семейство определенного типа, то локальная структура известна. Семейство аффинных дистанционных функций должно быть версальное развертывание возникающих особенностей.

Аффинное фокальное множество плоская кривая будем в целом состоят из гладких кусочков кривой и обычных куспид точки (полукубические параболы).

Аффинное фокальное множество поверхности в трехмерном пространстве в общем случае будет состоять из гладких частей поверхности, точки возврата цилиндра (${\displaystyle A_{3}}$), ласточкин хвост (${\displaystyle A_{4}}$), кошелек (${\displaystyle D_{4}^{+}}$), и точки пирамиды (${\displaystyle D_{4}^{-}}$). В ${\displaystyle A_{k}}$ и ${\displaystyle D_{k}}$ серии как в Арнольда список.

Вопрос о локальной структуре в гораздо более высоком измерении представляет большой интерес. Например, можно построить дискретный список типов особенностей (с точностью до локального диффеоморфизма). В гораздо более высоких измерениях такой дискретный список не может быть построен, так как есть функциональные модули.

использованная литература

• В. И. Арнольд, С. М. Гуссейн-Заде, А. Н. Варченко, "Особенности дифференцируемых отображений", Том 1, Биркхойзер, 1985.
• Дж. У. Брюс и П. Дж. Гиблин, «Кривые и особенности», второе издание, издательство Кембриджского университета, 1992.
• Т. Э. Сесил, "Координаты и вспомогательные функции", Geom. Dedicada 50, No. 3, 291 - 300, 1994.
• Д. Дэвис, "Аффинная дифференциальная геометрия и теория особенностей", докторская диссертация, Ливерпуль, 2008 г.
• К. Номидзу и Сасаки, "Аффинная дифференциальная геометрия", издательство Кембриджского университета, 1994.