Алгебра плитка - Algebra tile - Wikipedia

Алгебра плитки находятся математические манипуляторы которые позволяют студентам лучше понять способы алгебраического мышления и концепции алгебра. Эти плитки зарекомендовали себя как конкретные модели для Начальная школа, Средняя школа, Средняя школа и вводный алгебра студенты. Они также использовались для приготовления тюрьма сокамерники за их Общеобразовательное развитие (GED) тесты.^[1] Алгебра плитки позволяют как алгебраический, так и геометрический подход к алгебраическим понятиям. Они дают студенты еще один способ решения алгебраических задач, отличный от абстрактного манипулирования.^[1] В Национальный совет учителей математики (NCTM ) рекомендует уменьшить акцент на запоминании правил алгебра и манипулирование символами алгебра в их Учебная программа и стандарты оценки по математике. Согласно NCTM Стандарты 1989 г. «[r] одобрение моделей друг другу способствует лучшему пониманию каждой из них».^[2]

Физические атрибуты

Примеры плиток алгебры

Плитки алгебры состоят из маленьких квадраты, прямоугольники, и большие квадраты. Маленький квадрат, единичный тайл, представляет 1; прямоугольник представляет Переменная ${ displaystyle x}$ ; а большой квадрат представляет ${ displaystyle x ^ {2}}$ . Сторона ${ displaystyle x ^ {2}}$ плитка равна длине ${ displaystyle x}$ плитка. Ширина ${ displaystyle x}$ плитка такая же, как и сторона плитки юнита. Кроме того, длина ${ displaystyle x}$ плитка часто не целое кратное стороны плитки блока.

Плитки состоят из двух цветов: один для демонстрации положительный ценности и другое, чтобы показать отрицательный значения. А нулевая пара отрицательный и положительный элемент плитки (или отрицательный и положительный ${ displaystyle x}$ плитка, или отрицательный и положительный ${ displaystyle x ^ {2}}$ tile), которые вместе составляют нулевую сумму.^[1]

Использует

Добавление целых чисел

Добавление целых чисел - лучшее место для начала, когда кто-то хочет привыкнуть к идее представления чисел с помощью количества плиток. Любое целое число может быть представлено одинаковым количеством плиток правильного цвета. Например, для 6 можно выбрать шесть желтых плиток. Для -3 нужно выбрать три красных плитки. Плитка обычно двухсторонняя: желтая с одной стороны и красная с другой. Это позволяет учащемуся усвоить мощную концепцию «принятия противоположного» отрицательного, просто означающего противоположное. Итак, одна желтая плитка - положительная, а противоположная (переверните) - отрицательная. Эта идея пригодится при работе с - (-2). Чтобы работать со сложной ситуацией, подобной этой, начните с двух -1 (красная сторона), а дополнительный отрицательный результат означает противоположное или переверните их. - (-2) = 2.

При добавлении плитки следует подумать об объединении количества вместе. Если складывается 2 + 3, они должны объединить две желтые плитки с тремя желтыми, чтобы получить 5 желтых плиток. Та же идея работает для объединения отрицательных чисел. Если нужно добавить -3 + -1, они должны объединить три отрицательных красных плитки с одной отрицательной красной плиткой, чтобы получить четыре отрицательных красных плитки. -3 + -1 = -4.

Когда кто-то добавляет положительные числа к отрицательным числам с помощью плиток алгебры, им необходимо привносить идею «исключения» или «нулевых пар» каждый раз, когда они добавляют положительное число к отрицательному. Это верно для любого количества плиток, пока одно и то же количество и противоположный знак устраняют друг друга (или создают нулевую пару). Например, если добавить -5 + 7, они объединят пять красных плиток с семью желтыми плитками. Можно сопоставить красные и желтые плитки по одной, чтобы удалить пять желтых плиток, чтобы получить две желтые плитки и ноль красных плиток. -5 + 7 = 2.

Если начать с большего количества желтых плиток, чем красных, ответ будет положительным. Если начать с большего количества красных плиток, чем желтых, ответ будет отрицательным.

Еще один пример: -5 + 2. Пять красных плиток объединяются с двумя желтыми плитками. Две желтые плитки уничтожают друг друга (или образуют нулевую пару), а две красные плитки оставляют три красных плитки позади. -5 + 2 = -3.

Вычитание целых чисел

Плитки алгебры также можно использовать для вычитания целые числа. Человек может взять на себя такую задачу, как ${ displaystyle 6-3 =?}$ и начните с группы из шести плиток, а затем уберите три, чтобы оставить ученика с тремя оставшимися, так что затем ${ displaystyle 6-3 = 3}$ . Плитки алгебры также можно использовать для решения таких задач, как ${ Displaystyle -4 - (- 2) =?}$ , что эквивалентно задаче ${ displaystyle -4 + 2}$ . Важно уметь связать эти две проблемы и то, почему они приводят к одному и тому же ответу, потому что это показывает, что ${ Displaystyle - (- 2) = 2}$ . Другой способ использования плиток алгебры для целое число вычитание можно увидеть, посмотрев на проблемы, где нужно вычесть положительный целое число от меньшего положительного целое число, подобно ${ displaystyle 5-8}$ . Здесь можно начать с пяти положительных единичных плиток, а затем добавить нулевые пары к пяти положительным единичным плиткам, пока не будет восемь положительных единичных плиток. Добавление нулевых пар не изменит значения исходных пяти положительных плиток единиц. Затем ученик удалял восемь положительных плиток единиц и подсчитывал количество оставшихся отрицательных плиток единиц. Это количество отрицательных плиток единиц будет тогда ответом, который будет равен -3.^[3]

Умножение целых чисел

Умножение из целые числа с плитками алгебры выполняется путем формирования прямоугольника с плитками. В длина и ширина прямоугольника будет два факторы и тогда общее количество плиток в прямоугольнике будет ответом на умножение проблема. Например, чтобы определить 3 × 4, нужно взять три положительных единичных плитки для представления трех строк в прямоугольнике, а затем будет четыре положительных единичных плитки для представления столбцов в прямоугольнике. Это привело бы к получению прямоугольника с четырьмя столбцами из трех положительных единичных плиток, что представляет собой 3 × 4. Теперь ученик может подсчитать количество плиток в прямоугольнике, которое будет равно 12.

Моделирование и упрощение алгебраических выражений

Моделирование алгебраических выражений с помощью плиток алгебры очень похоже на моделирование. добавление и вычитание целых чисел с использованием плиток алгебры. В таком выражении, как ${ displaystyle 5x-3}$ можно сгруппировать пять положительных x плиток вместе, а затем три отрицательных единичных плитки вместе, чтобы представить это алгебраическое выражение. Наряду с моделированием этих выражений, плитки алгебры также могут использоваться для упрощения алгебраических выражений. Например, если есть ${ displaystyle 4x + 5-2x-3}$ они могут комбинировать положительные и отрицательные плитки x и единичные плитки, чтобы сформировать нулевые пары, чтобы оставить студенту выражение ${ displaystyle 2x + 2}$ . Поскольку плитки выкладываются прямо перед учеником, легко комбинировать одинаковые термины или термины, представляющие один и тот же тип плитки.^[3]

В распределительное свойство моделируется через плитки алгебры, демонстрируя, что a (b + c) = (a × b) + (a × c). Можно было бы смоделировать то, что представлено на обеих сторонах уравнения по отдельности, и определить, что они оба равны друг другу. Если кто-то хочет показать это ${ Displaystyle 3 (х + 1) = 3x + 3}$ затем они сделают три набора из одной плитки единицы и одной плитки x, а затем объединят их вместе, чтобы увидеть, приведет ли это к ${ displaystyle 3x + 3}$ , что он и делает.^[4]

Решение линейных уравнений с использованием сложения

В линейное уравнение ${ displaystyle x-8 = 6}$ можно смоделировать с одним положительным ${ displaystyle x}$ плитка и восемь плиток отрицательных единиц на левой стороне листа бумаги и шесть плиток положительных единиц на правой стороне. Для сохранения равноправия сторон каждое действие необходимо выполнять с обеих сторон.^[1] Например, с обеих сторон можно добавить восемь положительных тайлов юнитов.^[1] Нулевые пары плиток юнитов удаляются с левой стороны, остается одна положительная ${ displaystyle x}$ плитка. На правой стороне 14 положительных тайлов юнитов, так что ${ displaystyle x = 14}$ .

Алгебра тайловая модель ${ displaystyle x-6 = 2}$
Алгебра тайловая модель ${ Displaystyle х-6 + 6 = 2 + 6}$
Алгебра тайловая модель ${ displaystyle x = 8}$

Решение линейных уравнений с помощью вычитания

Уравнение ${ displaystyle x + 7 = 10}$ можно смоделировать с одним положительным ${ displaystyle x}$ тайл и семь тайлов положительных единиц с левой стороны и 10 тайлов положительных единиц с правой стороны. Вместо того, чтобы складывать одинаковое количество плиток с обеих сторон, можно вычесть одинаковое количество плиток с обеих сторон. Например, семь положительных тайлов юнитов могут быть удалены с обеих сторон. Это оставляет один положительный момент ${ displaystyle x}$ плитка с левой стороны и три плитки положительных единиц с правой стороны, поэтому ${ displaystyle x = 3}$ .^[1]

Алгебра тайловая модель ${ displaystyle x + 7 = 10}$
Алгебра тайловая модель ${ displaystyle x = 3}$

Решение линейных систем

Линейные системы уравнений можно решить алгебраически, выделив одну из переменных и затем выполнив замену. Выделение переменной можно смоделировать с помощью плиток алгебры аналогично решению линейных уравнений (см. Выше), а подстановку можно смоделировать с помощью плиток алгебры, заменив плитки другими плитками.

Умножение многочленов

При использовании плиток алгебры для умножения одночлен по одночлен, ученик должен сначала создать прямоугольник, в котором длина прямоугольника один одночлен а затем ширина прямоугольника другой одночлен, аналогично умножению целые числа используя плитки алгебры. Как только стороны прямоугольника представлены плитками алгебры, можно попытаться выяснить, какие плитки алгебры заполнят прямоугольник. Например, если бы у кого-то было x × x, единственной плиткой алгебры, которая завершила бы прямоугольник, было бы x², что и есть ответ.

Умножение из биномы похоже на умножение из мономы при использовании плиток алгебры. Умножение биномы также можно рассматривать как создание прямоугольника, в котором факторы являются длина и ширина.^[2] Как и в случае с мономы, можно было бы настроить стороны прямоугольника как факторы а затем заполните прямоугольник плитками алгебры.^[2] Этот метод использования плиток алгебры для умножения многочлены известна как модель площади^[5] и это также может быть применено к умножению мономы и биномы друг с другом. Пример умножения биномы равно (2x + 1) × (x + 2), и первый шаг, который должен сделать ученик, - это установить две положительные плитки x и одну положительную единичную плитку, чтобы представить длина прямоугольника, а затем нужно взять одну положительную плитку x и две положительные единичные плитки, чтобы представить ширина. Эти две линии плиток образуют пространство, которое выглядит как прямоугольник, который можно заполнить определенными плитками. В случае этого примера прямоугольник будет состоять из двух положительных x² плитки, пять положительных плиток x и две положительных единичных плитки. Итак, решение - 2x²+ 5x + 2.

Факторинг

Алгебра тайловая модель

{ displaystyle x ^ {2} + 3x + 2}

Для факторизации с использованием плиток алгебры необходимо начать с набора плиток, которые ученик объединяет в прямоугольник, для этого может потребоваться добавление нулевых пар для создания прямоугольной формы. Примером может служить один положительный x² тайл, три положительных тайла x и два положительных единичных тайла. Студент формирует прямоугольник, имея x² плитка в правом верхнем углу, то у одной есть две плитки x с правой стороны от x² плитка, одна плитка под x² плитка, и две плитки юнитов находятся в правом нижнем углу. Размещая плитки алгебры по сторонам этого прямоугольника, мы можем определить, что нам нужна одна положительная плитка x и одна положительная единичная плитка для длина а затем одну положительную плитку x и две положительные единичные плитки для ширина. Это означает, что два факторы находятся ${ displaystyle x + 1}$ и ${ displaystyle x + 2}$ .^[1] В некотором смысле это обратная процедурам умножения многочлены.

Завершение квадрата

Процесс завершение квадрата может быть выполнено с использованием плиток алгебры, поместив x² плитки и x плиток в квадрат. Невозможно полностью создать квадрат, потому что будет отсутствовать меньший квадрат из большего квадрата, который ученик сделал из плиток, которые ему дали, и который будет заполнен плитками единиц. К завершить квадрат, учащийся определит, сколько плиток единиц потребуется для заполнения недостающего квадрата. К завершить квадрат из х²+ 6x, можно начать с одного положительного x² плитка и шесть положительных плиток x. Затем они поместили бы x² плитки в верхнем левом углу, а затем можно было бы разместить три положительных плитки x справа от x² плитки и три положительных единицы x плитки под x² плитка. Чтобы заполнить квадрат, нам нужно девять положительных плиток единиц. мы создали x²+ 6x + 9, которые можно разложить на ${ Displaystyle (х + 3) (х + 3)}$ .^[6]

Источники

Китт, Нэнси А. и Аннет Рикс Лейтце. «Использование самодельных плиток алгебры для развития концепций алгебры и предалгебры». УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ 2000. 462-520.
Штейн, Мэри Кей и другие., Выполнение стандартных инструкций по математике. Нью-Йорк: издательство Teachers College Press, 2000.
Ларсон, Рональд Э., Алгебра 1. Иллинойс: Макдугал Литтелл, 1998.

внешняя ссылка

Национальная библиотека виртуальных манипуляторов

[Kitt,_N-1] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм Китт 2000.

[Stein,_M-2] а ^б ^c Штейн 2000.

[phschool.com-3] а ^б "Школа Прентис Холл" (PDF). Phschool.com. Архивировано из оригинал (PDF) на 2012-02-12. Получено 2013-07-22.

[4] [1] В архиве 16 мая 2008 г. Wayback Machine

[5] Ларсон Р: «Алгебра 1», стр. 516. Макдугал Литтел, 1998.

[6] Донна Робертс. «Использование плиток алгебры для завершения квадрата». Regentsprep.org. Архивировано из оригинал на 2013-08-18. Получено 2013-07-22.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]