Кольцо Baer - Baer ring

В абстрактная алгебра и функциональный анализ, Кольца Baer, Кольца Baer *, Кольца Rickart, Rickart * -кольца, и AW * -алгебры различные попытки дать алгебраический аналог алгебры фон Неймана, используя аксиомы о аннигиляторы различных наборов.

Любая алгебра фон Неймана - это кольцо Бэра, и большая часть теории прогнозы в алгебрах фон Неймана могут быть расширены на все * -кольца Бэра. Например, * -кольца Бэра можно разделить на типы I, II и III так же, как алгебры фон Неймана.

В литературе левые кольца Рикарта также называются левыми. ПП-кольца. («Принципал подразумевает проективный»: см. Определения ниже.)

Определения

  • An идемпотентный элемент кольца это элемент е который обладает свойством е2 = е.
  • В оставили аннигилятор набора является
  • А (слева) кольцо Rickart кольцо, удовлетворяющее любому из следующих условий:
  1. левый аннигилятор любого отдельного элемента р порождается (как левый идеал) идемпотентным элементом.
  2. (Для колец с единицей) левый аннулятор любого элемента является прямым слагаемым р.
  3. Все главные левые идеалы (идеалы вида Rx) находятся проективный р модули.[1]
  • А Кольцо Baer имеет следующие определения:
  1. Левый аннигилятор любого подмножества р порождается (как левый идеал) идемпотентным элементом.
  2. (Для колец с единицей) Левый аннулятор любого подмножества р является прямым слагаемым р.[2] Для колец с единицей замена всех вхождений «left» на «right» дает эквивалентное определение, то есть определение симметрично слева и справа.[3]

В теории операторов определения немного усиливаются, требуя, чтобы кольцо р иметь инволюция . Поскольку это делает р изоморфен своему противоположное кольцо рop, определение * -кольца Рикарта симметрично слева и справа.

  • А проекция в *-звенеть идемпотент п то есть самосопряженный (п* = п).
  • А Rickart * -кольцо является * -кольцом такое, что левый аннулятор любого элемента порождается (как левый идеал) проекцией.
  • А Baer * -ринг является * -кольцом такое, что левый аннулятор любого подмножества порождается (как левый идеал) проекцией.
  • An AW * -алгебра, представлен Капланского (1951), это C * -алгебра это тоже кольцо Бэра.

Примеры

Характеристики

Проекции в * -кольце Рикарта образуют решетка, который полный если кольцо - Бэровское * -кольцо.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Кольца Rickart названы в честь Рикарт (1946) изучавший подобное свойство в операторных алгебрах. Это условие «из принципа проективности» является причиной того, что кольца Рикарта иногда называют PP-кольцами. (Лам 1999 )
  2. ^ Это условие было изучено Райнхольд Баер  (1952 ).
  3. ^ T.Y. Лам (1999), "Лекции по модулям и кольцам" ISBN  0-387-98428-3 стр.260

Рекомендации