Булевозначная модель - Boolean-valued model

В математическая логика, а Булевозначная модель является обобщением обычных Тарский понятие структура от теория моделей. В булевозначной модели ценности истины из предложения не ограничиваются значениями «истина» и «ложь», а вместо этого принимают значения в некоторых фиксированных полная булева алгебра.

Булевозначные модели были введены Дана Скотт, Роберт М. Соловей, и Петр Вопенка в 1960-х, чтобы помочь понять Пол Коэн метод принуждение. Они также связаны с Алгебра Гейтинга семантика в интуиционистская логика.

Определение

Исправьте полную булеву алгебру B^[1] и язык первого порядка L; то подпись из L будет состоять из набора постоянных символов, функциональных символов и символов отношения.

Булевозначная модель языка L состоит из вселенная M, который представляет собой набор элементов (или имена) вместе с интерпретациями символов. В частности, модель должна присвоить каждому постоянному символу L элемент M, и каждому псимвол функции ж из L и каждый п-tuple 0, ..., а_п-1> элементов M, модель должна назначить элемент M к сроку ж(а₀, ..., а_п-1).

Толкование атомарные формулы из L сложнее. Каждой паре а и б элементов M, модель должна присвоить значение истинности ||а = б|| к выражению а = б; это значение истинности взято из булевой алгебры B. Аналогично для каждого псимвол -арное отношение р из L и каждый п-набор <а₀, ..., а_п-1> элементов M, модель должна назначить элемент B быть истинным значением ||р(а₀, ..., а_п-1)||.

Толкование других формул и предложений

Значения истинности атомарных формул можно использовать для восстановления значений истинности более сложных формул, используя структуру булевой алгебры. Для пропозициональных связок это легко; один просто применяет соответствующие логические операторы к значениям истинности подформул. Например, если φ (Икс) и ψ (у,z) - формулы с одним и двумя свободные переменные соответственно, а если а, б, c элементы вселенной модели, которые нужно заменить Икс, у, и z, то значение истинности

${\displaystyle \phi (a)\land \psi (b,c)}$

просто

${\displaystyle \|\phi (a)\land \psi (b,c)\|=\|\phi (a)\|\ \land \ \|\psi (b,c)\|}$

Полнота булевой алгебры требуется для определения значений истинности количественных формул. Если φ (Икс) - формула со свободной переменной Икс (и, возможно, другие подавляемые свободные переменные), тогда

${\displaystyle \|\exists x\phi (x)\|=\bigvee _{a\in M}\|\phi (a)\|,}$

где правую часть следует понимать как супремум в B множества всех истинностных значений || φ (а) || так как а колеблется над M.

Значение истинности формулы иногда называют ее вероятность. Однако это не вероятности в обычном смысле, потому что они не действительные числа, а элементы полной булевой алгебры B.

Булевозначные модели теории множеств

Для полной булевой алгебры B^[1] существует булевозначная модель, обозначаемая V^B, который является булевозначным аналогом Вселенная фон Неймана V. (Строго говоря, V^B это правильный класс, поэтому нам нужно переосмыслить, что значит быть модель соответственно.) Неформально элементы V^B являются «булевозначными множествами». Учитывая обычный набор А, каждый набор либо является, либо не является членом; но при наличии булевозначного набора каждый набор имеет определенную фиксированную «вероятность» быть членом А. Опять же, «вероятность» - это элемент B, а не реальное число. Концепция булевозначных множеств напоминает, но не то же самое, что понятие нечеткое множество.

(«Вероятностные») элементы булевозначного множества, в свою очередь, также являются булевозначными множествами, элементы которых также являются булевозначными множествами, и так далее. Чтобы получить некруглое определение булевозначного множества, они определяются индуктивно в иерархии, аналогичной совокупная иерархия. Для каждого ординала α числа V, набор V^B_α определяется следующим образом.

• V^B₀ это пустое множество.
• V^B_{α + 1} это набор всех функций из V^B_α к B. (Такая функция представляет собой «вероятностный» подмножество из V^B_α; если ж такая функция, то для любого Икс ∈ V^B_α, Значение ж(Икс) - вероятность того, что Икс есть в комплекте.)
• Если α - предельный ординал, V^B_α это союз V^B_β при β <α.

Класс V^B определяется как объединение всех множеств V^B_α.

Также возможно преобразовать всю эту конструкцию в некоторую транзитивную модель M из ZF (а иногда и его фрагмент). Булевозначная модель M^B получается применением указанной выше конструкции внутри M. Ограничение переходными моделями несерьезно, так как Теорема Мостовского о коллапсе подразумевает, что всякая «разумная» (хорошо обоснованная, экстенсиональная) модель изоморфна транзитивной. (Если модель M не переходные вещи становятся более беспорядочными, поскольку M 'интерпретация того, что значит быть "функцией" или "порядковым номером", может отличаться от "внешней" интерпретации.)

Когда-то элементы V^B определены, как указано выше, необходимо определить B-ценные отношения равенства и членства на V^B. Здесь B-значное отношение на V^B это функция от V^B × V^B к B. Чтобы избежать путаницы с обычным равенством и членством, они обозначаются ||Икс = у|| и ||Икс ∈ у|| для Икс и у в V^B. Они определены следующим образом:

||Икс ∈ у|| определяется как ∑_{т∈Dom (у)} ||Икс = т|| ∧ у(т)   ("Икс в у если он равен чему-то в у").

||Икс = у|| определяется как ||Икс ⊆ у|| ∧ || й⊆Икс||   ("Икс равно у если Икс и у являются подмножествами друг друга "), где

||Икс ⊆ у|| определяется как ∏_{т∈Dom (Икс)} Икс(т) ⇒ ||т ∈ у||   ("Икс это подмножество у если все элементы Икс находятся в у")

Символы ∑ и ∏ обозначают операции точной верхней и точной нижней границ соответственно в полной булевой алгебре B. На первый взгляд приведенные выше определения кажутся круглыми: || ∈ || зависит от || = ||, который зависит от || ⊆ ||, который зависит от || ∈ ||. Однако внимательное изучение показывает, что определение || ∈ || зависит только от || ∈ || для элементов меньшего ранга, поэтому || ∈ || и || = || хорошо определенные функции из V^B×V^B к B.

Можно показать, что B-значные отношения || ∈ || и || = || на V^B сделать V^B в булевозначную модель теории множеств. Каждое предложение теории множеств первого порядка без свободных переменных имеет значение истинности в B; необходимо показать, что аксиомы равенства и все аксиомы теории множеств ZF (написанные без свободных переменных) имеют значение истинности 1 (самый большой элемент B). Это простое доказательство, но оно длинное, потому что существует множество различных аксиом, которые необходимо проверить.

Отношение к принуждению

Теоретики множеств используют технику, называемую принуждение чтобы получить результаты независимости и для построения моделей теории множеств для других целей. Первоначально метод был разработан Пол Коэн но с тех пор был значительно расширен. В одной из форм принуждение "добавляет вселенной" общий подмножество посеть, poset предназначен для наложения интересных свойств на новый добавленный объект. Морщинка в том, что (для интересных посец) можно доказать, что там просто является такого общего подмножества в ч.у. нет. Есть три обычных способа справиться с этим:

• синтаксическое принуждение А принудительное отношение ${\displaystyle p\Vdash \phi }$ определяется между элементами п чугуна и формулы φ принуждение к языку. Это отношение определяется синтаксически и не имеет семантики; то есть ни одной модели никогда не производили. Скорее, начиная с предположения, что ZFC (или какая-то другая аксиоматизация теории множеств) доказывает независимое утверждение, можно показать, что ZFC также должен быть в состоянии доказать противоречие. Однако форсирование "окончено". V"; то есть необязательно начинать со счетной транзитивной модели. См. Kunen (1980) для описания этого метода.
• счетные транзитивные модели Каждый начинается с счетный переходный модель M столько теории множеств, сколько необходимо для желаемой цели, и это содержит poset. То есть делать существуют фильтры на poset, которые являются общими над M; то есть, которые удовлетворяют все плотные открытые подмножества чугуна, которые также являются элементами M.
• вымышленные родовые объекты Обычно теоретики множеств просто притворяться что ЧУМ имеет подмножество, общее для всех V. Этот универсальный объект в нетривиальных случаях не может быть элементом V, а значит, «на самом деле не существует». (Конечно, это предмет философского спора о том, Любые наборы «действительно существуют», но это выходит за рамки текущего обсуждения.) Возможно, удивительно, но после небольшой практики этот метод полезен и надежен, но он может быть философски неудовлетворительным.

Булевозначные модели и синтаксическое форсирование

Булевозначные модели могут использоваться для придания семантики синтаксическому форсированию; заплаченная цена состоит в том, что семантика не является двузначной («истина или ложь»), а присваивает значения истинности из некоторой полной булевой алгебры. Учитывая форсирующий позет п, существует соответствующая полная булева алгебра B, часто получаемый как собрание регулярные открытые подмножества из п, где топология на п определяется объявлением всех нижние наборы открытый (и все верхние наборы закрыто). (Другие подходы к построению B обсуждаются ниже.)

Теперь порядок на B (после удаления нулевого элемента) можно заменить п для целей принуждения, и отношение принуждения можно интерпретировать семантически, сказав, что для п элемент B а φ - формула языка принуждения,

${\displaystyle p\Vdash \phi \iff p\leq ||\phi ||}$

где || φ || - истинностное значение φ в V^B.

Этот подход позволяет присвоить семантику принудительному V без обращения к вымышленным родовым объектам. Недостатки в том, что семантика не двузначна и комбинаторика B часто более сложны, чем те, которые лежат в основе poset п.

Булевозначные модели и универсальные объекты над счетными транзитивными моделями

Одна интерпретация принуждения начинается со счетной транзитивной модели M теории множеств ZF, частично упорядоченное множество п, и "общее" подмножество г из п, и строит новую модель теории множеств ZF из этих объектов. (Условия счетности и транзитивности модели упрощают некоторые технические проблемы, но не являются существенными.) Конструкция Коэна может быть выполнена с использованием булевозначных моделей следующим образом.

• Построить полную булеву алгебру B как полная булева алгебра, "порожденная" ч.у. п.
• Постройте ультрафильтр U на B (или, что то же самое, гомоморфизм из B в булеву алгебру {true, false}) из общего подмножества г из п.
• Используйте гомоморфизм из B на {true, false}, чтобы включить булевозначную модель M^B раздела выше в обычную модель ZF.

Теперь мы объясним эти шаги более подробно.

Для любого посета п есть полная булева алгебра B и карта е от п к B⁺ (ненулевые элементы B) такой, что изображение плотное, е(п)≤е(q) всякий раз, когда п≤q, и е(п)е(q) = 0 всякий раз, когда п и q несовместимы. Эта булева алгебра единственна с точностью до изоморфизма. Ее можно построить как алгебру регулярных открытых множеств в топологическом пространстве п (с базовым набором п, а базу - множества U_п элементов q с участием q≤п).

Карта из посета п к полной булевой алгебре B не является инъективным в целом. Карта инъективна тогда и только тогда, когда п обладает следующим свойством: если каждый р≤п совместим с q, тогда п≤q.

Ультрафильтр U на B определяется как набор элементов б из B которые больше, чем какой-либо элемент (изображения) г. Учитывая ультрафильтр U на булевой алгебре мы получаем гомоморфизм к {true, false}, отображая U значение true и его дополнение до false. Наоборот, при таком гомоморфизме прообраз истины является ультрафильтром, поэтому ультрафильтры по сути такие же, как гомоморфизмы к {истина, ложь}. (Алгебраисты могут предпочесть использовать максимальные идеалы вместо ультрафильтров: дополнение к ультрафильтру - это максимальный идеал, и, наоборот, дополнение к максимальному идеалу - это ультрафильтр.)

Если г является гомоморфизмом булевой алгебры B к булевой алгебре C и M^B есть ли B-значная модель ZF (или любой другой теории, если на то пошло), мы можем превратить M^B в C -значная модель путем применения гомоморфизма г к значению всех формул. В частности, если C is {true, false} мы получаем модель со значением {true, false}. Это почти то же самое, что и обычная модель: фактически мы получаем обычную модель на множестве классов эквивалентности при || = || модели с {истинным, ложным} значением. Итак, мы получаем обычную модель теории множеств ZF, начиная с M, булева алгебра B, и ультрафильтр U на B. (Модель ZF, построенная таким образом, не является транзитивной. На практике применяется Теорема Мостовского о коллапсе чтобы превратить это в переходную модель.)

Мы видели, что форсирование может быть выполнено с использованием булевозначных моделей путем построения булевой алгебры с ультрафильтром из чугуна с общим подмножеством. Также можно вернуться назад: по булевой алгебре B, мы можем сформировать поз п всех ненулевых элементов B, и универсальный ультрафильтр на B ограничивается общим набором на п. Таким образом, методы принуждения и булевозначные модели по сути эквивалентны.

Заметки

1. B здесь предполагается невырожденный; то есть 0 и 1 должны быть разными элементами B. Авторы, пишущие о булевозначных моделях, обычно считают это требование частью определения «булевой алгебры», но авторы, пишущие о булевых алгебрах в целом, часто этого не делают.

использованная литература

• Белл, Дж. Л. (1985) Булевозначные модели и доказательства независимости в теории множеств, Оксфорд. ISBN  0-19-853241-5
• Гришин, В. (2001) [1994], «Булевозначная модель», Энциклопедия математики, EMS Press
• Jech, Thomas (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное). Springer. ISBN  3-540-44085-2. OCLC  174929965.
• Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости. Северная Голландия. ISBN  0-444-85401-0. OCLC  12808956.
• Кусраев А.Г. и Кутателадзе С.С. (1999). Булевозначный анализ. Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-5921-6. OCLC  41967176. Содержит описание булевозначных моделей и приложений к пространствам Рисса, банаховым пространствам и алгебрам.
• Манин, Ю. I. (1977). Курс математической логики. Springer. ISBN  0-387-90243-0. OCLC  2797938. Содержит описание принуждения и булевозначных моделей, написанных для математиков, которые не являются теоретиками множеств.
• Россер, Дж. Баркли (1969). Упрощенные доказательства независимости, булевозначные модели теории множеств. Академическая пресса.