Тест Boschloos - Boschloos test - Wikipedia

Тест Босхлоо это проверка статистической гипотезы для анализа 2x2 таблицы непредвиденных обстоятельств. Он исследует ассоциацию двух Бернулли распределил случайные переменные и равномерно более мощный Альтернативой Точный тест Фишера. Он был предложен в 1970 году Р. Д. Бошлоо.^[1]

Параметр

Таблица непредвиденных обстоятельств 2x2 визуализирует ${\displaystyle n}$ независимые наблюдения двух бинарных переменных ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc|c}&B=1&B=0&{\mbox{Total}}\\\hline A=1&x_{11}&x_{10}&n_{1}\\A=0&x_{01}&x_{00}&n_{0}\\\hline {\mbox{Total}}&s_{1}&s_{0}&n\\\end{array}}}$

Распределение вероятностей таких таблиц можно разделить на три различных случая.^[2]

1. Суммы строк ${\displaystyle n_{1},n_{0}}$ и суммы столбцов ${\displaystyle s_{1},s_{0}}$ фиксируются заранее и не случайны.
   Тогда все ${\displaystyle x_{ij}}$ определяются ${\displaystyle x_{11}}$. Если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ независимы, ${\displaystyle x_{11}}$ следует за гипергеометрическое распределение с параметрами ${\displaystyle n,n_{1},s_{1}}$:
   ${\displaystyle x_{11}\sim {\mbox{Hypergeometric}}(n,n_{1},s_{1})}$.
2. Суммы строк ${\displaystyle n_{1},n_{0}}$ фиксируются заранее, но сумма столбца ${\displaystyle s_{1},s_{0}}$ не.
   Тогда все случайные параметры определяются как ${\displaystyle x_{11}}$ и ${\displaystyle x_{01}}$ и ${\displaystyle x_{11},x_{01}}$ следовать биномиальное распределение с вероятностями ${\displaystyle p_{1},p_{0}}$:
   ${\displaystyle x_{11}\sim B(n_{1},p_{1})}$
   ${\displaystyle x_{01}\sim B(n_{0},p_{0})}$
3. Только общее количество ${\displaystyle n}$ фиксировано, но сумма строк ${\displaystyle n_{1},n_{0}}$ и суммы столбца ${\displaystyle s_{1},s_{0}}$ не.
   Тогда случайный вектор ${\displaystyle (x_{11},x_{10},x_{01},x_{00})}$ следует за полиномиальное распределение с вектором вероятности ${\displaystyle (p_{11},p_{10},p_{01},p_{00})}$.

Точный тест Фишера предназначен для первого случая и поэтому точный условный тест (поскольку он определяет суммы столбца). Типичным примером такого случая является Леди дегустация чая: Женщина пробует 8 чашек чая с молоком. В 4 из этих чашек молоко наливают перед чаем. В остальные 4 чашки в первую очередь наливается чай. Дама пытается разделить чашки на две категории. Следуя нашим обозначениям, случайная величина ${\displaystyle A}$ представляет используемый метод (1 = молоко сначала, 0 = молоко в последнюю очередь) и ${\displaystyle B}$ представляет собой предположения женщины (1 = молоко первое предположение, 0 = молоко последнее предположение). Тогда суммы строк - это фиксированное количество чашек, приготовленных каждым методом: ${\displaystyle n_{1}=4,n_{0}=4}$. Женщина знает, что в каждой категории 4 чашки, поэтому назначит по 4 чашки каждому методу. Таким образом, суммы столбцов также фиксируются заранее: ${\displaystyle s_{1}=4,s_{0}=4}$. Если она не может отличить, ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ независимы, а число ${\displaystyle x_{11}}$ правильно классифицированных чашек с молоком сначала следует гипергеометрическому распределению ${\displaystyle {\mbox{Hypergeometric}}(8,4,4)}$.

Тест Boschloo разработан для второго случая и, следовательно, является точным безусловным тестом. Примеры такого случая часто встречаются в медицинских исследованиях, где двоичный конечная точка сравнивается между двумя группами пациентов. Следуя нашим обозначениям, ${\displaystyle A=1}$ представляет первую группу, которая получает какое-либо интересующее лекарство. ${\displaystyle A=0}$ представляет вторую группу, которая получает плацебо. ${\displaystyle B}$ указывает на излечение пациента (1 = излечение, 0 = нет лечения). Тогда суммы строк равны размерам групп и обычно фиксируются заранее. Суммы столбцов - это общее количество вылеченных или продолжений болезни, а не фиксированные заранее.

Пример для третьего случая можно построить следующим образом: одновременно подбросьте две различимые монеты ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ и сделай это ${\displaystyle n}$ раз. Если мы посчитаем количество результатов в нашей таблице 2x2 (1 = голова, 0 = хвост), мы не знаем заранее, как часто ${\displaystyle A}$ показывает голову или хвост (суммы строк случайны), и мы не знаем, как часто монеты ${\displaystyle B}$ показывает голову или хвост (случайные суммы столбцов).

Проверить гипотезу

В нулевая гипотеза Босхлоо односторонний тест (высокие значения ${\displaystyle x_{1}}$ в пользу альтернативной гипотезы):

${\displaystyle H_{0}:p_{1}\leq p_{0}}$

Нулевая гипотеза одностороннего теста может быть сформулирована и в другом направлении (небольшие значения ${\displaystyle x_{1}}$ поддерживают альтернативную гипотезу):

${\displaystyle H_{0}:p_{1}\geq p_{0}}$

Нулевая гипотеза двустороннего теста:

${\displaystyle H_{0}:p_{1}=p_{0}}$

Универсального определения двусторонней версии точного критерия Фишера не существует.^[3] Поскольку тест Босхлоо основан на точном тесте Фишера, универсальной двусторонней версии теста Босхлоо также не существует. Далее мы имеем дело с односторонним тестом и ${\displaystyle H_{0}:p_{1}\leq p_{0}}$.

Идея Босхлоо

Обозначим желаемое уровень значимости к ${\displaystyle \alpha }$. Точный тест Фишера - это условный тест, подходящий для первого из вышеупомянутых случаев. Но если мы рассмотрим наблюдаемую сумму столбца ${\displaystyle s_{1}}$ как было установлено заранее, точный критерий Фишера также может быть применен ко второму случаю. Верно размер теста тогда зависит от мешающие параметры ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{0}}$. Можно показать, что максимальный размер ${\displaystyle \max \limits _{p_{1}\leq p_{0}}{\big (}{\mbox{size}}(p_{1},p_{0}){\big )}}$ принимается в равных пропорциях ${\displaystyle p=p_{1}=p_{0}}$^[4] и все еще контролируется ${\displaystyle \alpha }$.^[1] Однако Бошлоо заявил, что для небольших размеров выборки максимальный размер часто значительно меньше, чем ${\displaystyle \alpha }$. Это приводит к нежелательной потере мощность.

Boschloo предложила использовать точный тест Фишера с более высоким номинальным уровнем ${\displaystyle \alpha ^{*}>\alpha }$. Здесь, ${\displaystyle \alpha ^{*}}$ следует выбирать как можно больше, чтобы максимальный размер по-прежнему контролировался ${\displaystyle \alpha }$: ${\displaystyle \max \limits _{p\in [0,1]}{\big (}{\mbox{size}}(p){\big )}\leq \alpha }$. Этот метод был особенно выгоден во время публикации Boschloo, потому что ${\displaystyle \alpha ^{*}}$ можно найти общие ценности ${\displaystyle \alpha ,n_{1}}$ и ${\displaystyle n_{0}}$. Это упростило выполнение теста Boschloo в вычислительном отношении.

Статистика теста

В правило принятия решения подхода Бошлоо основывается на точном тесте Фишера. Эквивалентный способ формулировки теста - использовать p-значение точного критерия Фишера как статистика теста. Значение p Фишера вычисляется из гипергеометрического распределения (для простоты обозначений мы пишем ${\displaystyle x_{1},x_{0}}$ вместо ${\displaystyle x_{11},x_{01}}$):

${\displaystyle p_{F}=1-F_{{\mbox{Hypergeometric}}(n,n_{1},x_{1}+x_{0})}(x_{1}-1)}$

Распределение ${\displaystyle p_{F}}$ определяется биномиальным распределением ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{0}}$ и зависит от неизвестного мешающего параметра ${\displaystyle p}$. Для заданного уровня значимости ${\displaystyle \alpha ,}$ то критическое значение из ${\displaystyle p_{F}}$ это максимальное значение ${\displaystyle \alpha ^{*}}$ это удовлетворяет ${\displaystyle \max \limits _{p\in [0,1]}P(p_{F}\leq \alpha ^{*})\leq \alpha }$. Критическое значение ${\displaystyle \alpha ^{*}}$ соответствует номинальному уровню оригинального подхода Boschloo.

Модификация

Тест Boschloo имеет дело с неизвестным мешающим параметром ${\displaystyle p}$ взяв максимум по всему пространству параметров ${\displaystyle [0,1]}$. Процедура Бергера и Бооса использует другой подход, максимизируя ${\displaystyle P(p_{F}\leq \alpha ^{*})}$ через ${\displaystyle (1-\gamma )}$ доверительный интервал из ${\displaystyle p=p_{1}=p_{0}}$ и добавление ${\displaystyle \gamma }$.^[5]${\displaystyle \gamma }$ обычно представляет собой небольшое значение, например 0,001 или 0,0001. В результате получается модифицированный тест Бошлоо, который также является точным.^[6]

Сравнение с другими точными тестами

Все точные тесты имеют указанный уровень значимости, но могут иметь разную силу в разных ситуациях. Mehrotra et al. сравнил мощность некоторых точных тестов в разных ситуациях.^[6] Результаты теста Boschloo резюмируются ниже.

Модифицированный тест Босхлоо

Тест Boschloo и модифицированный тест Boschloo имеют одинаковую мощность во всех рассмотренных сценариях. В некоторых случаях тест Boschloo имеет немного большую мощность, а в некоторых - наоборот.

Точный тест Фишера

Тест Boschloo по своей конструкции намного мощнее точного теста Фишера. Для небольших размеров выборки (например, 10 на группу) разница в мощности велика и составляет от 16 до 20 процентных пунктов в рассматриваемых случаях. Разница в мощности меньше для больших размеров выборки.

Точный ${\displaystyle Z}$-Пул тест

Этот тест основан на статистике теста

${\displaystyle Z_{P}(x_{1},x_{0})={\frac {{\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{0}}{\sqrt {{\tilde {p}}(1-{\tilde {p}})({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{0}}})}}},}$

куда ${\displaystyle {\hat {p}}_{i}={\frac {x_{i}}{n_{i}}}}$ - частота групповых событий и ${\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {x_{1}+x_{0}}{n_{1}+n_{0}}}}$ - объединенная частота событий.

По мощности этот тест аналогичен тесту Boschloo в большинстве сценариев. В некоторых случаях ${\displaystyle Z}$- Объединенный тест имеет большую мощность, с различиями в основном от 1 до 5 процентных пунктов. В очень редких случаях разница достигает 9 процентных пунктов.

Этот тест также можно изменить с помощью процедуры Berger & Boos. Однако результирующий тест во всех сценариях имеет очень ту же мощность, что и неизмененный тест.

Точный ${\displaystyle Z}$-Не объединенный тест

Этот тест основан на статистике теста

${\displaystyle Z_{U}(x_{1},x_{0})={\frac {{\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{0}}{\sqrt {{\frac {{\hat {p}}_{1}(1-{\hat {p}}_{1})}{n_{1}}}+{\frac {{\hat {p}}_{0}(1-{\hat {p}}_{0})}{n_{0}}}}}},}$

куда ${\displaystyle {\hat {p}}_{i}={\frac {x_{i}}{n_{i}}}}$ - ставки групповых событий.

Мощность этого теста аналогична тесту Boschloo во многих сценариях. В некоторых случаях ${\displaystyle Z}$-Не объединенный тест имеет большую мощность, с разницей от 1 до 5 процентных пунктов. Однако в некоторых других случаях тест Boschloo имеет заметно большую мощность с разницей до 68 процентных пунктов.

Этот тест также можно изменить с помощью процедуры Berger & Boos. Результирующий тест имеет такую ​​же мощность, что и немодифицированный тест в большинстве сценариев. В некоторых случаях модификация значительно улучшает мощность, но общее сравнение мощности с тестом Boschloo остается неизменным.

Программного обеспечения

Расчет теста Boschloo можно выполнить в следующем программном обеспечении:

• Пакеты Точный и точное2x2 языка программирования р
• StatXact

Смотрите также

• Точный тест Фишера
• Тест Барнарда

Рекомендации

1. Босхлоо Р.Д. (1970). "Повышенный условный уровень значимости для 2Икс2-таблица при проверке равенства двух вероятностей ». Statistica Neerlandica. 24: 1–35. Дои:10.1111 / j.1467-9574.1970.tb00104.x.
2. Лидерсен, С., Фагерланд, М.В. и Лааке, П. (2009). «Рекомендуемые тесты для объединения в таблицы 2 × 2». Статист. Med. 28 (7): 1159–1175. Дои:10.1002 / sim.3531. PMID  19170020.
3. Мартин Андрес, А. и И. Эрранц Техедор (1995). «Точный тест Фишера очень консервативен?». Вычислительная статистика и анализ данных. 19 (5): 579–591. Дои:10.1016/0167-9473(94)00013-9.
4. Финнер, Х., Страсбургер, К. (2002). «Структурные свойства УМПУ-тестов для таблиц 2х2 и некоторых приложений». Журнал статистического планирования и вывода. 104: 103–120. Дои:10.1016 / S0378-3758 (01) 00122-7.
5. Бергер, Р.Л., и Боос, Д.Д. (1994). «Значения P, максимизированные по набору достоверности для мешающего параметра». Журнал Американской статистической ассоциации. 89 (427): 1012–1016. Дои:10.2307/2290928. JSTOR  2290928.
6. Мехротра, Д. В., Чан, И. С. Ф., и Бергер, Р. Л. (2003). «Предупредительное примечание о точном безусловном выводе разницы между двумя независимыми биномиальными пропорциями». Биометрия. 59 (2): 441–450. Дои:10.1111/1541-0420.00051. PMID  12926729.