Теорема Кэмпбелла (вероятность) - Campbells theorem (probability) - Wikipedia

Эта статья о случайных точечных процессах. Для использования в других целях см. Теорема Кэмпбелла (геометрия).

В теория вероятности и статистика, Теорема Кэмпбелла или Теорема Кэмпбелла – Харди. либо конкретный уравнение или набор результатов, относящихся к ожидание из функция подытожил точечный процесс для интеграл с участием средняя мера точечного процесса, который позволяет рассчитать ожидаемое значение и отклонение из случайный сумма. Одна версия теоремы,^[1] также известный как Формула Кэмпбелла,^[2]:28 влечет за собой интегральное уравнение для вышеупомянутой суммы по общему точечному процессу, и не обязательно точечному процессу Пуассона.^[2] Также существуют уравнения с участием момент меры и факторные меры момента которые считаются версиями формулы Кэмпбелла. Все эти результаты используются в теории вероятностей и статистике, имеющей особое значение в теории точечные процессы^[3] и теория массового обслуживания^[4] а также связанные поля стохастическая геометрия,^[1] теория перколяции континуума,^[5] и пространственная статистика.^[2][6]

Еще один результат по названию теоремы Кэмпбелла^[7] специально для Точечный процесс Пуассона и дает метод расчета моменты так же хорошо как Функционал Лапласа точечного процесса Пуассона.

Название обеих теорем происходит от работы^[8][9] к Норман Р. Кэмпбелл на термоэлектронный шум, также известный как дробовой шум, в вакуумные трубки,^[3][10] который частично был вдохновлен работами Эрнест Резерфорд и Ганс Гейгер на альфа-частица обнаружение, где Точечный процесс Пуассона возник как решение семейства дифференциальных уравнений Гарри Бейтман.^[10] В работах Кэмпбелла он представляет моменты и производящие функции случайной суммы процесса Пуассона на действительной прямой, но отмечает, что главный математический аргумент был вызван Г. Х. Харди, благодаря чему результат иногда называют Теорема Кэмпбелла – Харди..^[10][11]

Фон

Для точечного процесса ${\displaystyle N}$ определено на d-размерный Евклидово пространство ${\displaystyle {\textbf {R}}^{d}}$,^[а] Теорема Кэмпбелла предлагает способ вычисления ожиданий от вещественной функции. ${\displaystyle f}$ определено также на ${\displaystyle {\textbf {R}}^{d}}$ и подытожил ${\displaystyle N}$, а именно:

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right],}$

куда ${\displaystyle E}$ обозначает математическое ожидание, а обозначение набора используется таким образом, что ${\displaystyle N}$ рассматривается как случайный набор (см. Обозначение точечного процесса ). Для точечного процесса ${\displaystyle N}$Теорема Кэмпбелла связывает полученное математическое ожидание с мерой интенсивности Λ. Что касается Набор Бореля B мера интенсивности ${\displaystyle N}$ определяется как:

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)],}$

где мера обозначения используются так, что ${\displaystyle N}$ считается случайным счетная мера. Количество ${\displaystyle \Lambda (B)}$ можно интерпретировать как среднее количество точек точечного процесса ${\displaystyle N}$ находится в комплекте B.

Первое определение: общий точечный процесс

Одна из версий теоремы Кэмпбелла предназначена для общего (не обязательно простого) точечного процесса ${\displaystyle N}$ с мерой интенсивности:

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)],}$

известен как Формула Кэмпбелла^[2] или же Теорема Кэмпбелла,^[1][12][13] что дает метод расчета математических ожиданий сумм измеримые функции ${\displaystyle f}$ с диапазоны на реальная линия. В частности, для точечного процесса ${\displaystyle N}$ и измеримая функция ${\displaystyle f:{\textbf {R}}^{d}\rightarrow {\textbf {R}}}$, сумма ${\displaystyle f}$ над точечным процессом задается уравнением:

${\displaystyle E\left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\Lambda (dx),}$

где если одна часть уравнения конечна, то конечна и другая сторона.^[14] Это уравнение по сути является приложением Теорема Фубини^[1] и это справедливо для широкого класса точечных процессов, простых или нет.^[2] В зависимости от интегральных обозначений^[b] этот интеграл можно также записать как:^[14]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f\,d\Lambda ,}$

Если мера интенсивности ${\displaystyle \Lambda }$ точечного процесса ${\displaystyle N}$ имеет плотность ${\displaystyle \lambda (x)}$, то формула Кэмпбелла принимает следующий вид:

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\lambda (x)\,dx}$

Стационарный точечный процесс

Для стационарного точечного процесса ${\displaystyle N}$ с постоянной плотностью ${\displaystyle \lambda >0}$, Теорема Кэмпбелла или же формула сводится к интегралу объема:

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\lambda \int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\,dx}$

Это уравнение естественно выполняется для однородных точечных процессов Пуассона, что является примером стационарный случайный процесс.^[1]

Приложения: случайные суммы

Теорема Кэмпбелла для общих точечных процессов дает метод вычисления математического ожидания функции точки (точечного процесса), суммированной по всем точкам в точечном процессе. Эти случайные суммы по точечным процессам находят применения во многих областях, где они используются в качестве математических моделей.

Дробовой шум

Кэмпбелл первоначально изучал проблему случайных сумм, мотивированную пониманием термоэмиссионного шума в клапанах, который также известен как дробовой шум. Следовательно, изучение случайных сумм функций над точечными процессами известно как дробовой шум в вероятности и, в частности, теория точечных процессов.

Помехи в беспроводных сетях

В беспроводной сетевой связи, когда передатчик пытается отправить сигнал приемнику, все другие передатчики в сети могут рассматриваться как помехи, что создает ту же проблему, что и шум в традиционных проводных телекоммуникационных сетях, с точки зрения способности отправлять данные на основе теории информации. Если предполагается, что расположение мешающих передатчиков формирует некоторый точечный процесс, то дробовой шум может использоваться для моделирования суммы их мешающих сигналов, что привело к стохастическим геометрическим моделям беспроводных сетей.^[15]

Обобщения

Для общих точечных процессов существуют другие более общие версии теоремы Кэмпбелла в зависимости от природы случайной суммы и, в частности, от функции, суммируемой по точечному процессу.

Функции нескольких точек

Если функция является функцией более чем одной точки точечного процесса, момент меры или же факторные меры момента точечного процесса, которые можно сравнить с моментами и факториалами случайных величин. Тип необходимой меры зависит от того, должны ли точки точечного процесса в случайной сумме быть различными или могут повторяться.

Повторяющиеся точки

Моментальные меры используются, когда точки могут повторяться.

Отличительные точки

Факторные измерения момента используются, когда точки не могут повторяться, поэтому точки различны.

Функции точек и точечный процесс

Для общих точечных процессов теорема Кэмпбелла предназначена только для сумм функций одной точки точечного процесса. Чтобы вычислить сумму функции отдельной точки, а также всего точечного процесса, необходимы обобщенные теоремы Кэмпбелла с использованием распределения Пальма точечного процесса, которое основано на ветви вероятности, известной как теория Пальма или Исчисление ладони.

Второе определение: точечный процесс Пуассона

Другая версия теоремы Кэмпбелла^[7] говорит, что для точечного процесса Пуассона ${\displaystyle N}$ с мерой интенсивности ${\displaystyle \Lambda }$ и измеримая функция ${\displaystyle f:{\textbf {R}}^{d}\rightarrow {\textbf {R}}}$, случайная сумма

${\displaystyle S=\sum _{x\in N}f(x)}$

является абсолютно сходящийся с вероятность один если и только если интеграл

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{d}}\min(|f(x)|,1)\Lambda (dx)<\infty .}$

При условии, что этот интеграл конечен, далее теорема утверждает, что для любого сложный ценить ${\displaystyle \theta }$ уравнение

${\displaystyle E(e^{\theta S})=\exp \left(\int _{{\textbf {R}}^{d}}[e^{\theta f(x)}-1]\Lambda (dx)\right),}$

выполняется, если интеграл в правой части сходится, что имеет место для чисто воображаемый ${\displaystyle \theta }$. Более того,

${\displaystyle E(S)=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\Lambda (dx),}$

и если этот интеграл сходится, то

${\displaystyle \operatorname {Var} (S)=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)^{2}\Lambda (dx),}$

куда ${\displaystyle {\text{Var}}(S)}$ обозначает отклонение случайной суммы ${\displaystyle S}$.

Из этой теоремы некоторые результаты математического ожидания для Точечный процесс Пуассона следовать, в том числе Функционал Лапласа.^{[7] [c]}

Применение: функционал Лапласа

Для точечного процесса Пуассона ${\displaystyle N}$ с мерой интенсивности ${\displaystyle \Lambda }$, то Функционал Лапласа является следствием приведенной выше версии теоремы Кэмпбелла^[7] и определяется:^[15]

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{N}(sf):=E{\bigl [}e^{-s\sum _{x\in N}f(x)}{\bigr ]}=\exp {\Bigl [}-\int _{{\textbf {R}}^{d}}(1-e^{-sf(x)})\Lambda (dx){\Bigr ]},}$

что для однородного случая:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{N}(sf)=\exp {\Bigl [}-\lambda \int _{{\textbf {R}}^{d}}(1-e^{-sf(x)})\,dx{\Bigr ]}.}$

Примечания

1. Его можно определить в более общем математическом пространстве, чем евклидово пространство, но часто это пространство используется для моделей.^[3]
2. Как обсуждалось в главе 1 Стояна, Кендалла и Меке,^[1] который применяется ко всем другим интегралам, представленным здесь и в других местах, из-за различных интегральных обозначений.
3. Kingman^[7] называет это «характерным функционалом», но Дейли и Вер-Джонс^[3] а другие называют это «функционалом Лапласа»,^[1][15] оставляя термин «характеристический функционал» для случая, когда ${\displaystyle \theta }$ мнимо.

Рекомендации

1. Д. Стоян, В. С. Кендалл, Дж. Меке. Стохастическая геометрия и ее приложения, том 2. Уайли Чичестер, 1995.
2. Baddeley, A .; Барани, I .; Schneider, R .; Вейл, В. (2007). «Пространственные точечные процессы и их приложения». Стохастическая геометрия. Конспект лекций по математике. 1892. п. 1. Дои:10.1007/978-3-540-38175-4_1. ISBN  978-3-540-38174-7.
3. Дейли, Д. Дж .; Вер-Джонс, Д. (2003). Введение в теорию точечных процессов. Вероятность и ее приложения. Дои:10.1007 / b97277. ISBN  978-0-387-95541-4.
4. Бремо, Пьер; Баччелли, Франсуа (2002). Элементы теории массового обслуживания: исчисление пальмового мартингейла и стохастические повторения. Springer Science & Business Media. п. 18 195. ISBN  978-3-642-08537-6.
5. Р. Мистер и Р. Рой. Континуум перколяции, том 119 Кембриджских трактатов по математике, 1996.
6. Moller, J .; Пленге Ваагепетерсен, Р. (2003). Статистический вывод и моделирование процессов пространственных точек. Монографии C & H / CRC по статистике и прикладной вероятности. 100. CiteSeerX  10.1.1.124.1275. Дои:10.1201/9780203496930. ISBN  978-1-58488-265-7.
7. Кингман, Джон (1993). Пуассоновские процессы. Оксфордские научные публикации. п. 28. ISBN  978-0-19-853693-2.
8. Кэмпбелл, Н. (1909). «Изучение прерывных явлений». Proc. Camb. Фил. Soc. 15: 117–136.
9. Кэмпбелл, Н. (1910). «Разрывы в световом излучении». Proc. Camb. Фил. Soc. 15: 310–328.
10. Стирзакер, Дэвид (2000). «Советы ежикам, или, константы могут меняться». Математический вестник. 84 (500): 197–210. Дои:10.2307/3621649. JSTOR  3621649.
11. Гримметт Г. и Стирзакер Д. (2001). Вероятность и случайные процессы. Издательство Оксфордского университета. п. 290.
12. Дейли, Д. Дж .; Вер-Джонс, Д. (2008). Введение в теорию точечных процессов. Вероятность и ее приложения. Дои:10.1007/978-0-387-49835-5. ISBN  978-0-387-21337-8.
13. П. Бремо. Фурье-анализ случайных процессов. Спрингер, 2014.
14. А. Баддели. Ускоренный курс стохастической геометрии. Стохастическая геометрия: правдоподобие и вычисления Ред. OE Barndorff-Nielsen, WS Kendall, HNN van Lieshout (Лондон: Chapman and Hall), с., страницы 1–35, 1999.
15. Баччелли, Ф. О. (2009). "Стохастическая геометрия и беспроводные сети: теория тома I" (PDF). Основы и тенденции в сети. 3 (3–4): 249–449. Дои:10.1561/1300000006.