Категориальная теория - Categorical theory

«Тест Воота» перенаправляется сюда. Не следует путать с Тест Тарского – Воота.
Не путать с Теория категорий.

В математическая логика, а теория является категоричный если у него ровно один модель (с точностью до изоморфизма ).[1] Такую теорию можно рассматривать как определение его модель, однозначно характеризующая его структуру.

В логика первого порядка, только теории с конечный модель может быть категоричной. Логика высшего порядка содержит категориальные теории с бесконечный модель. Например, второй порядок Аксиомы Пеано категоричны, имея уникальную модель, предметной областью которой является набор натуральных чисел ℕ.

В теория моделей, понятие категориальной теории уточняется относительно мощность. Теория κ-категоричный (или же категоричный в κ), если у него ровно одна модель мощности κ с точностью до изоморфизма. Теорема Морли о категоричности это теорема Майкл Д. Морли  (1965 ) утверждая, что если теория первого порядка в счетном языке категоричен в некоторых бесчисленный мощность, то он категоричен во всех бесчисленных мощностях.

Сахарон Шелах  (1974 ) распространил теорему Морли на несчетные языки: если язык имеет мощность κ и теория категорична в некотором несчетном кардинале, большем или равном κ то он категоричен во всех мощностях больше, чемκ.

История и мотивация

Освальд Веблен в 1904 году определил теорию как категоричный если все его модели изоморфны. Это следует из определения выше и Теорема Левенгейма – Сколема что любой теория первого порядка с моделью бесконечного мощность не может быть категоричным. Тогда сразу же переходим к более тонкому понятию κ-категория, которая спрашивает: для каких кардиналов κ есть ли ровно одна модель мощности κ данной теории Т до изоморфизма? Это глубокий вопрос, и значительный прогресс был достигнут только в 1954 г., когда Ежи Лось заметил это, по крайней мере, для полные теории Т сверх счетный языки имея хотя бы одну бесконечную модель, он смог найти только три способа Т быть κ-категория в некоторыхκ:

  • Т является абсолютно категоричный, т.е. Т является κ-категория для всех бесконечных кардиналы  κ.
  • Т является бесчисленно категоричный, т.е. Т является κ-категорично тогда и только тогда, когда κ является бесчисленный кардинал.
  • Т является счетно категоричный, т.е. Т является κ-категорично тогда и только тогда, когда κ - счетный кардинал.

Другими словами, он заметил, что во всех случаях, которые он мог придумать, κ-категоричность по любому неисчислимому кардиналу подразумевается κ- категоричность у всех остальных бесчисленных кардиналов. Это наблюдение стимулировало большое количество исследований в 1960-х годах, в конечном итоге завершившихся Майкл Морли Известный результат, что это фактически единственные возможности. Впоследствии теория была расширена и уточнена Сахарон Шелах в 1970-х годах и позже, что привело к теория устойчивости и более общая программа Шелы теория классификации.

Примеры

Существует не так много естественных примеров теорий, категоричных в каком-то бесчисленном количестве. Известные примеры включают:

  • Теория чистой идентичности (без функций, констант, предикатов, кроме «=» или аксиом).
  • Классический пример - теория алгебраически замкнутый поля данного характеристика. Категоричность делает нет говорят, что все алгебраически замкнутые поля характеристики 0 размером с сложные числа C такие же, как C; он только утверждает, что они изоморфны как поля к C. Отсюда следует, что хотя завершенный p-адический закрытие Cп все изоморфны как поля C, они могут (и действительно имеют) совершенно разные топологические и аналитические свойства. Теория алгебраически замкнутых полей заданной характеристики есть нет категоричный в ω (счетный бесконечный кардинал); есть модели степени трансцендентности 0, 1, 2, ..., ω.
  • Векторные пространства над заданным счетным полем. Это включает в себя абелевы группы из данного основной показатель степени (по сути то же самое, что и векторные пространства над конечным полем) и делимый абелевы группы без кручения (по сути то же самое, что и векторные пространства над рациональные ).
  • Теория множества натуральные числа с функцией преемника.

Есть также примеры категоричных в ω но не категоричен в бесчисленных кардиналах. Самый простой пример - теория отношение эквивалентности ровно с двумя классы эквивалентности, оба из которых бесконечны. Другой пример - теория плотный линейные порядки без конечных точек; Кантор доказал, что любой такой счетный линейный порядок изоморфен рациональным числам.

Характеристики

Каждая категориальная теория полный. Однако обратное неверно.[2]

Любая теория Т категоричный в каком-то бесконечном кардинальном κ очень близок к завершению. Точнее, Тест Лось – Воота утверждает, что если выполнимая теория не имеет конечных моделей и категорична в некотором бесконечном кардинальном κ по крайней мере равной мощности его языка, тогда теория завершена. Причина в том, что все бесконечные модели эквивалентны некоторой модели кардинального κ посредством Теорема Левенгейма – Сколема, и поэтому все эквивалентны, поскольку теория категорична в κ. Таким образом, теория завершена, поскольку все модели эквивалентны. Предположение об отсутствии в теории конечных моделей необходимо.[3]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Некоторые авторы определяют теорию категоричной, если все ее модели изоморфны. Это определение делает непоследовательную теорию категоричной, так как она не имеет моделей и, следовательно, бессмысленно удовлетворяет критерию.
  2. ^ Маммерт, Карл (16 сентября 2014 г.). «Разница между полнотой и категоричностью».
  3. ^ Маркер (2002) стр. 42

Рекомендации