Классическая теория управления - Classical control theory

Классическая теория управления это филиал теория управления что касается поведения динамические системы с входами, и как их поведение изменяется Обратная связь, с использованием Преобразование Лапласа как основной инструмент для моделирования таких систем.

Обычная цель теории управления - управлять системой, которую часто называют завод, поэтому его выход следует за желаемым управляющим сигналом, называемым Справка, которое может быть фиксированным или изменяющимся значением. Для этого контролер разработан, который контролирует вывод и сравнивает его с эталоном. Разница между фактическим и желаемым результатом, называемая ошибка сигнал, применяется как Обратная связь ко входу системы, чтобы приблизить фактический выход к эталонному.

Классическая теория управления занимается линейный инвариантный во времени один вход один выход системы.^[1] Можно вычислить преобразование Лапласа входного и выходного сигнала таких систем. В функция передачи связывает преобразование Лапласа входа и выхода.

Обратная связь

Чтобы преодолеть ограничения контроллер без обратной связи, классическая теория управления вводит Обратная связь. А регулятор с обратной связью использует обратную связь для управления состояния или выходы из динамическая система. Его название происходит от информационного пути в системе: входы процесса (например, Напряжение применяется к электрический двигатель ) влияют на выходные параметры процесса (например, скорость или крутящий момент двигателя), которые измеряются с помощью датчики и обрабатывается контролером; результат (управляющий сигнал) «возвращается» как вход в процесс, замыкая цикл.

Контроллеры с обратной связью имеют следующие преимущества перед контроллеры без обратной связи:

подавление помех (например, холмы в круиз-контроль )
гарантированная производительность даже с модель неопределенности, когда структура модели не полностью соответствует реальному процессу, а параметры модели неточны
неустойчивый процессы могут быть стабилизированы
пониженная чувствительность к изменениям параметров
улучшенная производительность отслеживания ссылок

В некоторых системах управление с обратной связью и без обратной связи используется одновременно. В таких системах управление без обратной связи называется прямая связь и служит для дальнейшего повышения эффективности отслеживания ссылок.

Распространенной архитектурой контроллера с обратной связью является ПИД-регулятор.

Классика против модерна

Физическая система может быть смоделирована во «временной области», где реакция данной системы является функцией различных входных данных, предыдущих значений системы и времени. Со временем состояние системы и ее реакция меняются. Однако модели систем во временной области часто моделируются с помощью дифференциальных уравнений высокого порядка, которые могут стать невероятно сложными для решения людьми, а некоторые из которых могут даже стать невозможными для современных компьютерных систем для эффективного решения.

Чтобы противодействовать этой проблеме, классическая теория управления использует Преобразование Лапласа для преобразования обыкновенного дифференциального уравнения (ODE) во временной области в регулярный алгебраический полином в частотной области. Как только данная система была преобразована в частотную область, ею можно было более легко управлять.

Современная теория управления вместо изменения областей, чтобы избежать сложностей математики ОДУ во временной области, преобразовывает дифференциальные уравнения в систему уравнений более низкого порядка, называемую уравнения состояния, которым затем можно управлять, используя методы линейной алгебры.^[2]

Преобразование Лапласа

Классическая теория управления использует преобразование Лапласа для моделирования систем и сигналов. Преобразование Лапласа - это подход в частотной области для сигналов с непрерывным временем, независимо от того, является ли система стабильной или нестабильной. Преобразование Лапласа функция $ж (т)$ , определенная для всех действительные числа $т \geq 0$ , - функция $F (s)$ , который является односторонним преобразованием, определяемым

{ Displaystyle F (s) = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- st} f (t) , dt}

где s это комплексное число частотный параметр

{ displaystyle s = sigma + я omega}

, с действительными числами

σ

и

ω

.

Передаточная функция с обратной связью

Распространенной архитектурой управления с обратной связью является сервоконтур, в котором выход системы у (т) измеряется с помощью датчика F и вычитается из эталонного значения г (т) для формирования ошибки сервопривода е. Контроллер C затем использует ошибку сервопривода е настроить вход ты к заводу (управляемой системе) п для того, чтобы довести производительность установки до эталона. Это показано в блок-схема ниже. Этот тип контроллера представляет собой контроллер с обратной связью или контроллер с обратной связью.

Это называется режимом с одним входом и одним выходом (SISO) система контроля; MIMO (т. е. системы с несколькими входами и выходами) с более чем одним входом / выходом являются обычными. В таких случаях переменные представлены через векторов вместо простого скаляр ценности. Для некоторых системы с распределенными параметрами векторы могут быть бесконечными -размерный (обычно функции).

Если предположить, что контроллер C, завод п, а датчик F находятся линейный и неизменный во времени (т.е. элементы их функция передачи C (s), P (s), и F (s) не зависят от времени), указанные выше системы можно проанализировать с помощью Преобразование Лапласа от переменных. Это дает следующие отношения:

{ Displaystyle Y (s) = P (s) U (s) , !}

{ Displaystyle U (s) = C (s) E (s) , !}

{ Displaystyle E (s) = R (s) -F (s) Y (s). , !}

Решение для Y(s) с точки зрения р(s) дает

{ Displaystyle Y (s) = влево ({ гидроразрыва {P (s) C (s)} {1 + F (s) P (s) C (s)}} справа) R (s) = H) (s) R (s).}

Выражение ${ Displaystyle H (s) = { гидроразрыва {P (s) C (s)} {1 + F (s) P (s) C (s)}}}$ называется передаточная функция с обратной связью системы. В числителе указано прямое усиление (без обратной связи) от р к y, а знаменатель равен единице плюс усиление при обходе контура обратной связи, так называемое усиление контура. Если ${ Displaystyle | P (s) C (s) | gg 1}$ , т. е. имеет большой норма с каждым значением s, и если ${ Displaystyle | F (s) | приблизительно 1}$ , тогда Д (с) примерно равно R (s) а выход точно соответствует эталонному входу.

ПИД-регулятор

В ПИД-регулятор вероятно, наиболее часто используемый (наряду с гораздо более грубыми Bang-Bang контроль ) дизайн управления с обратной связью. PID это инициализм для Пропорционально-интегрально-производная, ссылаясь на три члена, воздействующие на сигнал ошибки, чтобы произвести сигнал управления. Если u (t) это управляющий сигнал, отправленный в систему, у (т) - измеренный выход и г (т) желаемый результат, а ошибка отслеживания ${ Displaystyle е (т) = г (т) -у (т)}$ , ПИД-регулятор имеет общий вид

{ displaystyle u (t) = K_ {P} e (t) + K_ {I} int e (t) { text {d}} t + K_ {D} { frac { text {d}} {{ text {d}} t}} e (t).}

Желаемая динамика замкнутого контура достигается путем настройки трех параметров ${ displaystyle K_ {P}}$ , ${ displaystyle K_ {I}}$ и ${ displaystyle K_ {D}}$ , часто итеративно путем «настройки» и без специальных знаний модели объекта. Стабильность часто можно обеспечить, используя только пропорциональный член. Интегральный член позволяет исключить ступенчатое возмущение (часто яркое уточнение в контроль процесса ). Термин производная используется для демпфирования или формирования отклика. ПИД-регуляторы являются наиболее хорошо зарекомендовавшим себя классом систем управления: однако они не могут использоваться в нескольких более сложных случаях, особенно если рассматриваются системы с множеством входов и множеством выходов (MIMO).

Применение преобразования Лапласа приводит к преобразованному уравнению ПИД-регулятора

{ displaystyle u (s) = K_ {P} e (s) + K_ {I} { frac {1} {s}} e (s) + K_ {D} se (s)}

{ displaystyle u (s) = left (K_ {P} + K_ {I} { frac {1} {s}} + K_ {D} s right) e (s)}

с передаточной функцией ПИД-регулятора

{ displaystyle C (s) = left (K_ {P} + K_ {I} { frac {1} {s}} + K_ {D} s right).}

Существует хороший пример замкнутой системы, о которой говорилось выше. Если мы возьмем

Передаточная функция ПИД-регулятора в последовательной форме

{ Displaystyle C (s) = К влево (1 + { frac {1} {sT_ {i}}} right) (1 + sT_ {d})}

Фильтр 1-го порядка в контуре обратной связи

{ Displaystyle F (s) = { frac {1} {1 + sT_ {f}}}}

линейный привод с фильтрованным входом

{ displaystyle P (s) = { frac {A} {1 + sT_ {p}}}}

, A = const

и вставьте все это в выражение для передаточной функции с обратной связью H (s), тогда настройка очень проста: просто поместите

{ displaystyle K = { frac {1} {A}}, T_ {i} = T_ {f}, T_ {d} = T_ {p}}

и тождественно получаем H (s) = 1.

Для практических ПИД-регуляторов чистый дифференциатор физически невозможен и нежелателен.^[3] за счет усиления шумовых и резонансных мод в системе. Следовательно, вместо этого используется подход типа компенсатора фазового вывода или дифференциатор с спадом в нижних частотах.

инструменты

Классическая теория управления использует набор инструментов для анализа систем и проектирования контроллеров для таких систем. Инструменты включают корневой локус, то Критерий устойчивости Найквиста, то Сюжет Боде, то маржа прироста и запас по фазе. Более продвинутые инструменты включают Интегралы Боде для оценки ограничений производительности и компромиссов, а также описания функций для анализа нелинейностей в частотной области.^[4]

Смотрите также

Незначительная обратная связь петли классический метод проектирования систем управления с обратной связью.
Государственное пространство (контроль)

использованная литература

^ Чжун, Ван-Се (2004). Система двойственности в прикладной механике и оптимальное управление. Kluwer. п.283. ISBN 978-1-4020-7880-4. Классическая методология проектирования контроллеров является итеративной и эффективна для анализа и проектирования линейных неизменяемых во времени систем с одним входом и одним выходом.
^ Огата, Кацухико (2010). Современные системы управления (Пятое изд.). Прентис Холл. п. 2. ISBN 978-0-13-615673-4. современная теория управления, основанная на анализе и синтезе во временной области с использованием переменных состояния
^ Анг, К.Х., Чонг, Г.С.Й., и Ли, Ю. (2005). Анализ, дизайн и технология систем ПИД-регулирования, IEEE Trans Control Systems Tech, 13 (4), стр. 559-576.
^ Борис Дж. Лурье; Пол Дж. Энрайт (2019). Классическое управление с обратной связью с нелинейными многоконтурными системами (3-е изд.). CRC Press. ISBN 978-1-1385-4114-6.

[1] Чжун, Ван-Се (2004). Система двойственности в прикладной механике и оптимальное управление. Kluwer. п.283. ISBN 978-1-4020-7880-4. Классическая методология проектирования контроллеров является итеративной и эффективна для анализа и проектирования линейных неизменяемых во времени систем с одним входом и одним выходом.

[2] Огата, Кацухико (2010). Современные системы управления (Пятое изд.). Прентис Холл. п. 2. ISBN 978-0-13-615673-4. современная теория управления, основанная на анализе и синтезе во временной области с использованием переменных состояния

[3] Анг, К.Х., Чонг, Г.С.Й., и Ли, Ю. (2005). Анализ, дизайн и технология систем ПИД-регулирования, IEEE Trans Control Systems Tech, 13 (4), стр. 559-576.

[4] Борис Дж. Лурье; Пол Дж. Энрайт (2019). Классическое управление с обратной связью с нелинейными многоконтурными системами (3-е изд.). CRC Press. ISBN 978-1-1385-4114-6.

[1]

[2]

[3]

[4]