Корневой локус - Root locus

Спирула

В теория управления и теория устойчивости, анализ корневого локуса представляет собой графический метод изучения того, как корни системы меняются при изменении определенного параметра системы, обычно усиление в пределах Обратная связь система. Этот метод используется как критерий устойчивости в области классическая теория управления разработан Уолтер Р. Эванс который может определить стабильность системы. Корневой локус строит полюса из передаточная функция с обратной связью в комплексе s-самолет как функция параметра усиления (см. полюс – ноль ).

Графический метод, в котором используется специальный транспортир, называемый Spirule, когда-то использовался для определения углов и рисования корневых локусов.^[1]

Использует

Влияние расположения полюса на собственную частоту и коэффициент демпфирования системы второго порядка. Этот полюс комплексно сопряженный (который обязательно существует, поскольку этот полюс имеет ненулевую мнимую составляющую) не показан.

Помимо определения стабильности системы, корневой годограф может использоваться для проектирования коэффициент демпфирования (ζ) и собственная частота (ω_п) системы обратной связи. Линии постоянного коэффициента демпфирования могут быть проведены радиально от начала координат, а линии постоянной собственной частоты могут быть нарисованы в виде арккосинуса, центральные точки которого совпадают с началом координат. Путем выбора точки вдоль корневого годографа, которая совпадает с желаемым коэффициентом демпфирования и собственной частотой, коэффициент усиления K могут быть рассчитаны и реализованы в контроллере. Более сложные методы проектирования контроллеров с использованием корневого локуса доступны в большинстве учебников по управлению: например, отставание, опережение, PI, PD и PID Контроллеры могут быть сконструированы приблизительно с помощью этой техники.

Определение коэффициент демпфирования и собственная частота предполагает, что вся система обратной связи хорошо аппроксимируется системой второго порядка; т.е. система имеет доминирующую пару полюсов. Часто это не так, поэтому рекомендуется смоделировать окончательный проект, чтобы проверить, удовлетворены ли цели проекта.

Определение

Корневой геометрический объект системы обратной связи - это графическое представление в комплексе s-самолет возможных мест его полюса замкнутого контура для варьирования значений определенного параметра системы. Точки, которые являются частью корневого годографа, удовлетворяют угловое условие. Значение параметра для определенной точки корневого годографа можно получить с помощью условие величины.

Допустим, есть система обратной связи с входным сигналом ${\displaystyle X(s)}$ и выходной сигнал ${\displaystyle Y(s)}$. Прямой путь функция передачи является ${\displaystyle G(s)}$; передаточная функция тракта обратной связи ${\displaystyle H(s)}$.

Для этой системы передаточная функция с обратной связью дан кем-то^[2]

${\displaystyle T(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}}$

Таким образом, полюса замкнутой передаточной функции являются корнями характеристического уравнения ${\displaystyle 1+G(s)H(s)=0}$. Корни этого уравнения можно найти везде, где ${\displaystyle G(s)H(s)=-1}$.

В системах без чистой задержки продукт ${\displaystyle G(s)H(s)}$ является рациональной полиномиальной функцией и может быть выражена как^[3]

${\displaystyle G(s)H(s)=K{\frac {(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n})}}}$

где ${\displaystyle -z_{i}}$ являются ${\displaystyle m}$ нули, ${\displaystyle -p_{i}}$ являются ${\displaystyle n}$ полюса и ${\displaystyle K}$ - скалярное усиление. Как правило, диаграмма корневого годографа указывает положения полюсов передаточной функции для различных значений параметра. ${\displaystyle K}$. На графике корневого годографа будут все точки в s-самолет, где ${\displaystyle G(s)H(s)=-1}$ для любого значения ${\displaystyle K}$.

Факторинг ${\displaystyle K}$ а использование простых одночленов означает, что оценка рационального многочлена может быть выполнена с помощью векторных методов, которые складывают или вычитают углы и умножают или делят величины. Векторная формулировка возникает из-за того, что каждый мономиальный член ${\displaystyle (s-a)}$ в факторинге ${\displaystyle G(s)H(s)}$ представляет вектор из ${\displaystyle a}$ к ${\displaystyle s}$ в s-плоскости. Полином можно оценить, рассматривая величины и углы каждого из этих векторов.

Согласно векторной математике, угол результата рационального полинома - это сумма всех углов в числителе минус сумма всех углов в знаменателе. Итак, чтобы проверить, есть ли точка в s-плоскость находится в корневом геометрическом пространстве, необходимо учитывать только углы ко всем полюсам разомкнутого контура и нули. Это известно как угловое условие.

Точно так же величина результата рационального полинома - это произведение всех величин в числителе, деленное на произведение всех величин в знаменателе. Оказывается, вычисление величины не требуется, чтобы определить, является ли точка на s-плоскости частью корневого годографа, потому что ${\displaystyle K}$ варьируется и может принимать произвольное действительное значение. Для каждой точки корневого годографа значение ${\displaystyle K}$ можно рассчитать. Это известно как условие величины.

Корневой годограф дает только расположение полюсов замкнутого контура как коэффициент усиления. ${\displaystyle K}$ разнообразен. Значение ${\displaystyle K}$ не влияет на расположение нулей. Нули разомкнутого контура такие же, как нули замкнутого контура.

Условие угла

Основная статья: Условие угла

Точка ${\displaystyle s}$ комплекса s-плоскость удовлетворяет условию угла, если

${\displaystyle \angle (G(s)H(s))=\pi }$

что то же самое, что сказать, что

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\angle (s+z_{i})-\sum _{i=1}^{n}\angle (s+p_{i})=\pi }$

то есть сумма углов от нулей разомкнутого контура до точки ${\displaystyle s}$ (измеряется на ноль относительно горизонтали, проходящей через этот ноль) за вычетом углов от полюсов разомкнутого контура до точки ${\displaystyle s}$ (измеряется на полюс относительно горизонтального прохода через этот полюс) должен быть равен ${\displaystyle \pi }$, или 180 градусы. Обратите внимание, что эти интерпретации не следует принимать за разницу углов между точками ${\displaystyle s}$ и нули / полюсы.

Условие величины

Основная статья: Условие величины

Ценность ${\displaystyle K}$ удовлетворяет условию величины для данного ${\displaystyle s}$ точка корневого годографа, если

${\displaystyle |G(s)H(s)|=1}$

что то же самое, что сказать, что

${\displaystyle K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1}$.

Набросок корневого локуса

RL = корневой локус; ZARL = корневой годограф с нулевым углом

Используя несколько основных правил, метод корневого годографа может построить общую форму пути (локуса), пройденного корнями, как значение ${\displaystyle K}$ меняется. Затем график корневого годографа дает представление об устойчивости и динамике этой системы обратной связи для различных значений ${\displaystyle K}$.^[4][5] Правила следующие:

• Отметьте полюса и нули разомкнутого контура
• Отметьте действительную часть оси слева от нечетного числа полюсов и нулей.
• найти асимптоты

Позволять п быть количеством полюсов и Z быть количеством нулей:

${\displaystyle P-Z={\text{number of asymptotes}}\,}$

Асимптоты пересекают вещественную ось в точках ${\displaystyle \alpha }$ (который называется центроидом) и отходят под углом ${\displaystyle \phi }$ предоставлено:

${\displaystyle \phi _{l}={\frac {180^{\circ }+(l-1)360^{\circ }}{P-Z}},l=1,2,\ldots ,P-Z}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {\operatorname {Re} \left(\sum _{P}-\sum _{Z}\right)}{P-Z}}}$

где ${\displaystyle \sum _{P}}$ это сумма всех положений полюсов, ${\displaystyle \sum _{Z}}$ представляет собой сумму всех положений явных нулей и ${\displaystyle \operatorname {Re} ()}$ означает, что нас интересует только реальная часть.

• Состояние фазы в контрольной точке для определения угла отклонения
• Вычислить точки отрыва / взлома

Точки отрыва находятся в корнях следующего уравнения:

${\displaystyle {\frac {dG(s)H(s)}{ds}}=0{\text{ or }}{\frac {d{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0}$

Как только вы решите z, настоящие корни дают вам точки отрыва / возврата. Сложные корни соответствуют отсутствию отрыва / повторного входа.

Построение корневого локуса

Учитывая общий рациональный полином с замкнутым знаменателем

${\displaystyle 1+G(s)H(s)=1+K{\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}},}$

характеристическое уравнение можно упростить до

${\displaystyle s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +(a_{m}+Kb_{m})s^{m}+\ldots +(a_{1}+Kb_{1})s+(a_{0}+Kb_{0})=0.}$

Решения ${\displaystyle s}$ к этому уравнению являются корневыми локусами передаточной функции с обратной связью.

пример

Данный

${\displaystyle 1+G(s)H(s)=1+K{\frac {s+3}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}},}$

у нас будет характеристическое уравнение

${\displaystyle s^{3}+3s^{2}+(5+K)s+(1+3K)=0.}$

Следующий код MATLAB построит корневой геометрический рисунок передаточной функции с обратной связью как ${\displaystyle K}$ варьируется с использованием описанного ручного метода, а также rlocus встроенная функция:

% Ручной методK_array = (0:0.1:220).';NK = длина(K_array);x_array = нули(NK, 3);y_array = нули(NK, 3);для nK = 1: NK   K = K_array(нК);   C = [1, 3, (5 + K), (1 + 3*K)];   р = корни(C).';   x_array(нК,:) = настоящий(р);   y_array(нК,:) = воображать(р);конецрисунок ();сюжет(x_array, y_array);сетка на;% Встроенный методsys = tf([1, 3], [1, 3, 5, 1]);фигура();rlocus(sys);

z-самолет против s-самолет

Метод корневого локуса также может быть использован для анализа системы выборочных данных путем вычисления корневого локуса в z-самолет, дискретный аналог s-самолет. Уравнение z = е^СТ карты непрерывные s-плоскости (не нули) в z-домен, где Т - период выборки. Конюшня, левая половина s-плоскость отображает внутреннюю часть единичной окружности z-самолет, с sпроисхождение самолета приравнивается к | z | = 1 (потому чтое⁰ = 1). Диагональная линия постоянного демпфирования в s-плоскость отображает спираль из (1,0) в z плоскости, когда она изгибается к началу координат. Найквист сглаживание критерии выражаются графически в z-самолет Икс-ось, где ωnT = π. Линия постоянного демпфирования, только что описанная, вращается по спирали до бесконечности, но в системах с дискретизированными данными частотная составляющая снижается до более низких частот на целые кратные Частота Найквиста. То есть дискретизированный отклик выглядит как более низкочастотный и лучше затухающий, так как корень в z-плоскость одинаково хорошо соответствует первому витку другой спиральной кривой постоянного демпфирования с лучшим демпфированием. Можно описать многие другие интересные и важные свойства отображения, не в последнюю очередь то, что zконтроллеры плоскости, обладающие тем свойством, что они могут быть реализованы непосредственно из z-плоскостной передаточной функцией (отношение нулевого / полюсного многочленов), можно представить графически на z-плоскостной график передаточной функции разомкнутого контура, который немедленно анализируется с использованием корневого годографа.

Поскольку корневой годограф - это техника графического угла, правила корневого годографа работают одинаково в z и s самолеты.

Идея корневого локуса может быть применена ко многим системам, где один параметр K разнообразен. Например, полезно сканировать любой системный параметр, точное значение которого не определено, чтобы определить его поведение.

Смотрите также

• Запас по фазе
• Критерий устойчивости Рауса – Гурвица.
• Критерий устойчивости Найквиста
• Запас по усилению и фазе
• Сюжет Боде

использованная литература

1. Эванс, Уолтер Р. (1965), Инструкции по спируле, Уиттиер, Калифорния: Компания Spirule
2. Куо 1967, п. 331.
3. Куо 1967, п. 332.
4. Эванс, У. (Январь 1948 г.), "Графический анализ систем управления", Пер. AIEE, 67 (1): 547–551, Дои:10.1109 / T-AIEE.1948.5059708, ISSN  0096-3860, S2CID  51634121
5. Эванс, У. (Январь 1950 г.), "Синтез систем управления методом корневого годографа", Пер. AIEE, 69 (1): 66–69, Дои:10.1109 / T-AIEE.1950.5060121, ISSN  0096-3860, S2CID  51633514

• Куо, Бенджамин С. (1967). «Техника корневого локуса». Системы автоматического управления (второе изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. С. 329–388. КАК В  B000KPT04C. LCCN  67016388. OCLC  3805225.

дальнейшее чтение

• Ash, R.H .; Эш, Г. Х. (октябрь 1968 г.), "Численное вычисление корневых локусов с использованием техники Ньютона-Рафсона", IEEE Transactions по автоматическому контролю, 13 (5): 576–582, Дои:10.1109 / TAC.1968.1098980
• Уильямсон, С. Э. (май 1968 г.), "Расчетные данные для помощи в построении корневых локусов (Часть I)", Контрольный журнал, 12 (119): 404–407
• Уильямсон, С. Э. (июнь 1968 г.), «Расчетные данные для помощи в построении корневых локусов (часть II)», Контрольный журнал, 12 (120): 556–559
• Уильямсон, С. Э. (июль 1968 г.), "Расчетные данные для помощи в построении корневых локусов (Часть III)", Контрольный журнал, 12 (121): 645–647
• Уильямсон, С. Э. (15 мая 1969 г.), "Компьютерная программа для получения временной характеристики систем выборочных данных", Письма об электронике, 5 (10): 209–210, Дои:10.1049 / el: 19690159
• Уильямсон, С. Э. (июль 1969 г.), «Точное построение корневого годографа, включая эффекты чистой временной задержки. Описание компьютерной программы», Труды института инженеров-электриков, 116 (7): 1269–1271, Дои:10.1049 / piee.1969.0235

внешние ссылки

• Викиучебники: Системы управления / Корневой локус
• Карнеги-Меллон / Учебное пособие Мичиганского университета
• Отличные примеры. Начните с примера 5 и переходите от 4 к 1 назад. Также посетите главную страницу
• Метод корневого локуса: рисование вручную.
• "RootLocs": бесплатный многофункциональный плоттер корневого локуса для платформ Mac и Windows.
• "Root Locus": бесплатный плоттер / анализатор корневого локуса для Windows.
• Корневой локус на ControlTheoryPro.com
• Анализ корневого годографа систем управления
• Функция MATLAB для вычисления корневого локуса модели разомкнутого цикла SISO
• Векслер, Э. Р. (январь – март 1983 г.), "Алгоритмы корневого годографа для программируемых карманных калькуляторов" (PDF), Отчет о ходе работ по телекоммуникациям и сбору данных, НАСА, 73: 60–64, Bibcode:1983TDAPR..73 ... 60Вт
• Функция Mathematica для построения корневого годографа
• Šekara, Tomislav B .; Рапаич, Милан Р. (1 октября 2015 г.). «Доработка метода корневого локуса с приложениями». Журнал управления процессами. 34: 26–34. Дои:10.1016 / j.jprocont.2015.07.007.