Выпуклость (алгебраическая геометрия) - Convexity (algebraic geometry)

В алгебраическая геометрия, выпуклость ограничительное техническое условие для алгебраические многообразия первоначально введен для анализа Концевича пространства модулей ${\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}(X,\beta )}$ в квантовые когомологии.^{[1]:§1[2][3]}Эти пространства модулей гладкие орбифолды всякий раз, когда целевое пространство выпукло. Разнообразие ${\displaystyle X}$ называется выпуклым, если откат касательного расслоения к устойчивому рациональная кривая ${\displaystyle f:C\to X}$ имеет глобально созданные разделы.^[2] Геометрически это означает, что кривая может свободно перемещаться. ${\displaystyle X}$ бесконечно без каких-либо препятствий. Выпуклость обычно называют техническим состоянием.

${\displaystyle H^{1}(C,f^{*}T_{X})=0}$

поскольку Теорема об исчезновении Серра гарантирует, что эта связка имеет глобально сгенерированные разделы. Интуитивно это означает, что в окрестности точки с векторным полем в этой окрестности локальный параллельный транспорт может быть расширен глобально. Это обобщает идею выпуклость в Евклидова геометрия, где даны две точки ${\displaystyle p,q}$ в выпуклом множестве ${\displaystyle C\subset \mathbb {R} ^{n}}$, все точки ${\displaystyle tp+(1-t)q}$ содержатся в этом наборе. Есть векторное поле ${\displaystyle {\mathcal {X}}_{U_{p}}}$ в районе ${\displaystyle U_{p}}$ из ${\displaystyle p}$ транспортировка ${\displaystyle p}$ к каждой точке ${\displaystyle p'\in \{tp+(1-t)q:t\in [0,1]\}\cap U_{p}}$. Поскольку векторное расслоение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ тривиально, следовательно, глобально порождено, существует векторное поле ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ такое, что равенство ${\displaystyle {\mathcal {X}}|_{U_{p}}={\mathcal {X}}_{U_{p}}}$ держится на ограничении.

Примеры

Есть много примеров выпуклых пространств, включая следующие.

Пространства с тривиальными рациональными кривыми

Если только отображение рациональной кривой на ${\displaystyle X}$ - отображения констант, то обратным движением касательного пучка является свободный пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C}^{\oplus n}}$ где ${\displaystyle n=\dim(X)}$. Эти пучки имеют тривиальные ненулевые когомологии, а значит, они всегда выпуклые. Особенно, Абелевы разновидности иметь это свойство, так как Сорт Альбанезе рациональной кривой ${\displaystyle C}$ тривиально, и каждое отображение из многообразия в абелево многообразие пропускается через Альбанезе.^[4]

Проективные пространства

Проективные пространства являются примерами однородных пространств, но их выпуклость также может быть доказана с помощью вычисления когомологий пучка. Напомним Последовательность Эйлера связывает касательное пространство через короткую точную последовательность

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$

Если нам нужно только рассмотреть степень ${\displaystyle d}$ вложений, есть короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{C}\to {\mathcal {O}}_{C}(d)^{\oplus (n+1)}\to f^{*}{\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$

давая длинную точную последовательность

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H^{0}(C,{\mathcal {O}})\to H^{0}(C,{\mathcal {O}}(d)^{\oplus (n+1)})\to H^{0}(C,f^{*}{\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}})\\&\to H^{1}(C,{\mathcal {O}})\to H^{1}(C,{\mathcal {O}}(d)^{\oplus (n+1)})\to H^{1}(C,f^{*}{\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}})\to 0\end{aligned}}}$

с первых двух ${\displaystyle H^{1}}$-члены равны нулю, что следует из ${\displaystyle C}$ принадлежность к роду ${\displaystyle 0}$, а второй расчет следует из Теорема Римана – Роха, имеем выпуклость ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$. Тогда любое узловое отображение можно свести к этому случаю, рассматривая одну из составляющих ${\displaystyle C_{i}}$ из ${\displaystyle C}$.

Однородные пространства

Другой большой класс примеров - однородные пространства. ${\displaystyle G/P}$ где ${\displaystyle P}$ параболическая подгруппа в ${\displaystyle G}$. У них есть глобально созданные разделы с ${\displaystyle G}$ действует транзитивно на ${\displaystyle X}$, что означает, что он может принимать базы в ${\displaystyle T_{x}X}$ к основе в любой другой точке ${\displaystyle T_{y}X}$, следовательно, он имеет глобально сгенерированные разделы.^[3] Тогда откат всегда генерируется глобально. Этот класс примеров включает Грассманианы, проективные пространства и разновидности флага.

Пространства продуктов

Кроме того, произведения выпуклых пространств остаются выпуклыми. Это следует из Теорема Куннета в когерентных когомологиях пучков.

Приложения

Рассмотрение пространств модулей стабильных кривых на выпуклых пространствах дает много полезных технических преимуществ. То есть пробелы ${\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}(X,\beta )}$ обладают хорошими геометрическими и теоретико-деформационными свойствами.

Теория деформации

Деформации ${\displaystyle f:C\to X}$ в схеме Гильберта графов ${\displaystyle \operatorname {Hom} (C,X)\subset \operatorname {Hilb} _{C\times X/\operatorname {Spec} (\mathbb {C} )}}$ имеет касательное пространство

${\displaystyle T_{\operatorname {Hom} (C,X)}([f])\cong H^{0}(C,f^{*}T_{X})}$  ^[1]

где ${\displaystyle [f]\in \operatorname {Hom} (C,X)}$ это точка на схеме, представляющая карту. Выпуклость ${\displaystyle X}$ дает формулу размера ниже. Кроме того, выпуклость означает, что все бесконечно малые деформации ничем не препятствуют.^[5]

Структура

Эти пространства являются нормальными проективными многообразиями чистой размерности.

${\displaystyle \dim({\overline {M}}_{0,n}(X,\beta ))=\dim(X)+\int _{\beta }c_{1}(T_{X})+n-3}$  ^[3]

которые локально являются факторами гладкого многообразия по конечной группе. Также открытое подмногообразие ${\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}^{*}(X,\beta )}$ параметризация неособых отображений представляет собой гладкое тонкое пространство модулей. В частности, это стеки ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{0,n}(X,\beta )}$ находятся орбифолды.

Граничные делители

Пространства ${\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}(X,\beta )}$ имеют хорошие граничные делители, задаваемые

${\displaystyle D(A,B;\beta _{1},\beta _{2})={\overline {M}}_{0,A\cup \{\bullet \}}(X,\beta _{1})\times _{X}{\overline {M}}_{0,B\cup \{\bullet \}}(X,\beta _{2})}$  ^[3]

для перегородки ${\displaystyle A\cup B}$ из ${\displaystyle [n]}$ и ${\displaystyle \{\bullet \}}$ точка, лежащая вдоль пересечение двух рациональных кривых ${\displaystyle C=C_{1}\cup C_{2}}$.

Смотрите также

• Стабильная кривая
• Модульное пространство
• Инвариант Громова – Виттена.
• Квантовая когомология
• Модули кривых

использованная литература

1. Концевич Максим (1995). «Перечисление рациональных кривых с помощью действий тора». В Дейкграаф, Робберт Х.; Faber, Carel F .; ван дер Гир, Джерард Б. М. (ред.). Пространство модулей кривых. Birkhäuser Boston. С. 335–368. arXiv:hep-th / 9405035. Дои:10.1007/978-1-4612-4264-2_12. ISBN  978-1-4612-8714-8.
2. Концевич Максим; Манин Юрий. "Классы Громова-Виттена, квантовые когомологии и перечислительная геометрия" (PDF). п. 9.
3. Fulton, W .; Пандхарипанде, Р. (17 мая 1997 г.). «Заметки о стабильных отображениях и квантовых когомологиях». С. 6, 12, 29, 31. arXiv:alg-geom / 9608011.
4. "ag.алгебраическая геометрия - есть ли рациональная кривая на абелевом многообразии?". MathOverflow. Получено 2020-02-28.
5. Маулик, Давеш. «Лекции по теории Дональдсона-Томаса» (PDF). п. 2.

внешние ссылки

• Классы Громова-Виттена, квантовые когомологии и перечислительная геометрия
• Заметки о стабильных отображениях и квантовых когомологиях arXiv:alg-geom / 9608011
• https://mathoverflow.net/q/39390