Системы координат гиперболической плоскости - Coordinate systems for the hyperbolic plane

в гиперболическая плоскость, как в Евклидова плоскость, каждая точка может быть однозначно идентифицирована двумя действительные числа. Используются несколько качественно различных способов согласования плоскости в гиперболической геометрии.

В этой статье делается попытка дать обзор нескольких систем координат, используемых для двумерной гиперболической плоскости.

В описаниях ниже постоянная Гауссова кривизна плоскости равно −1. Sinh, шиш и танх находятся гиперболические функции.

Полярная система координат

Точки в полярной системе координат с полюсом О и полярная ось L. Зеленым цветом обозначена точка с радиальной координатой 3 и угловой координатой 60 градусов или (3, 60°). Синим цветом обозначена точка (4, 210°).

В полярная система координат это двумерный система координат в котором каждый точка на самолет определяется расстояние от ориентира и угол от опорного направления.

Контрольная точка (аналогична началу координат Декартова система ) называется столб, а луч от полюса в опорном направлении является полярная ось. Расстояние от полюса называется радиальная координата или же радиус, а угол называется угловая координата, или же полярный угол.

От гиперболический закон косинусов, получаем, что расстояние между двумя точками в полярных координатах равно

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle r_{1},\theta _{1}\rangle ,\langle r_{2},\theta _{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \,\left(\cosh r_{1}\cosh r_{2}-\sinh r_{1}\sinh r_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})\right)\,.}$

Соответствующий метрический тензор: ${\displaystyle (\mathrm {d} s)^{2}=(\mathrm {d} r)^{2}+\sinh ^{2}r\,(\mathrm {d} \theta )^{2}\,.}$

Прямые описываются уравнениями вида

${\displaystyle \theta =\theta _{0}\pm {\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ or }}\quad \tanh r=\tanh r_{0}\sec(\theta -\theta _{0})}$

куда р₀ и θ₀ - координаты ближайшей точки на линии к полюсу.

Система квадрантной модели

В Модель полуплоскости Пуанкаре тесно связана с моделью гиперболической плоскости в квадранте Q = {(х, у): Икс > 0, y > 0}. Для такой точки среднее геометрическое ${\displaystyle v={\sqrt {xy}}}$ и гиперболический угол ${\displaystyle u=\ln {\sqrt {x/y}}}$ произвести точку (u, v) в верхней полуплоскости. Гиперболическая метрика в квадранте зависит от метрики полуплоскости Пуанкаре. В движения переноса модели Пуанкаре на квадрант; в частности, сдвиги действительной оси влево или вправо соответствуют гиперболические вращения квадранта. Из-за изучения соотношений в физике и экономике, где квадрант - вселенная дискурса, считается, что его точки расположены по гиперболические координаты.

Системы координат в декартовом стиле

В гиперболической геометрии прямоугольники не существует. Сумма углов четырехугольника в гиперболической геометрии всегда меньше 4 прямые углы (видеть Четырехугольник Ламберта ). Также в гиперболической геометрии нет эквидистантных линий (см. гиперциклы ). Все это влияет на системы координат.

Однако существуют разные системы координат для геометрии гиперболической плоскости. Все основаны на выборе реального (не идеальный ) точка ( Источник ) на выбранной направленной прямой ( Икс-axis), и после этого существует множество вариантов.

Осевые координаты

Осевые координаты Икс_а и y_а находятся путем построения y-ось перпендикулярна оси Икс-ось через начало координат.^[1]

Как в Декартова система координат, координаты находятся путем опускания перпендикуляров из точки на Икс и y-акси. Икс_а это расстояние от основания перпендикуляра на Икс- ось к началу координат (считается положительной с одной стороны и отрицательной с другой); y_а это расстояние от основания перпендикуляра на y- ось к началу координат.

Круги вокруг начала координат в гиперболических осевых координатах.

Каждая точка и большинство идеальные точки имеют осевые координаты, но не каждая пара действительных чисел соответствует точке.

Если ${\displaystyle \tanh ^{2}(x_{a})+\tanh ^{2}(y_{a})=1}$ тогда ${\displaystyle P(x_{a},y_{a})}$ это идеальная точка.

Если ${\displaystyle \tanh ^{2}(x_{a})+\tanh ^{2}(y_{a})>1}$ тогда ${\displaystyle P(x_{a},y_{a})}$ это вообще не суть.

Расстояние до точки ${\displaystyle P(x_{a},y_{a})}$ к Иксось ${\displaystyle \operatorname {artanh} \left(\tanh(y_{a})\cosh(x_{a})\right)}$. К y-ось это ${\displaystyle \operatorname {artanh} \left(\tanh(x_{a})\cosh(y_{a})\right)}$.

Связь осевых координат с полярными координатами (если исходной точкой является полюс, а положительный Икс-ось - полярная ось)

${\displaystyle x=\operatorname {artanh} \,(\tanh r\cos \theta )}$

${\displaystyle y=\operatorname {artanh} \,(\tanh r\sin \theta )}$

${\displaystyle r=\operatorname {artanh} \,({\sqrt {\tanh ^{2}x+\tanh ^{2}y}}\,)}$

${\displaystyle \theta =2\operatorname {arctan} \,\left({\frac {\tanh y}{\tanh x+{\sqrt {\tanh ^{2}x+\tanh ^{2}y}}}}\right)\,.}$

Координаты Лобачевского

Координаты Лобачевского Икс_ℓ и y_ℓ находятся путем падения перпендикуляра на Икс-ось. Икс_ℓ это расстояние от основания перпендикуляра до Икс- ось к началу координат (положительная с одной стороны и отрицательная с другой, такая же, как в осевые координаты ).^[1]

y_ℓ расстояние по перпендикуляру данной точки до ее основания (положительное с одной стороны и отрицательное с другой).

${\displaystyle x_{l}=x_{a}\ ,\ \tanh(y_{l})=\tanh(y_{a})\cosh(x_{a})\ ,\ \tanh(y_{a})={\frac {\tanh(y_{l})}{\cosh(x_{l})}}}$.

Координаты Лобачевского полезны для интегрирования длины кривых.^[2] и область между линиями и кривыми.^{[пример необходим ]}

Координаты Лобачевского названы в честь Николай Лобачевский один из первооткрывателей гиперболическая геометрия.

Окружности около начала радиуса 1, 5 и 10 в гиперболических координатах Лобачевского.

Кружки вокруг точек (0,0), (0,1), (0,2) и (0,3) радиуса 3.5 в гиперболических координатах Лобачевского.

Постройте декартову систему координат следующим образом. Выберите строку ( Икс-ось) в гиперболической плоскости (со стандартизированной кривизной -1) и пометьте точки на ней по их расстоянию от начала координат (Икс= 0) точки на Икс-ось (положительная с одной стороны и отрицательная с другой). Для любой точки на плоскости можно определить координаты Икс и y сбросив перпендикуляр на Икс-ось. Икс будет меткой основания перпендикуляра. y будет расстояние по перпендикуляру данной точки от ее основания (положительное с одной стороны и отрицательное с другой). Тогда расстояние между двумя такими точками будет

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \left(\cosh y_{1}\cosh(x_{2}-x_{1})\cosh y_{2}-\sinh y_{1}\sinh y_{2}\right)\,.}$

Эта формула может быть получена из формул о гиперболические треугольники.

Соответствующий метрический тензор: ${\displaystyle (\mathrm {d} s)^{2}=\cosh ^{2}y\,(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}}$.

В этой системе координат прямые линии либо перпендикулярны Икс-ось (с уравнением Икс = константа) или описывается уравнениями вида

${\displaystyle \tanh y=A\cosh x+B\sinh x\quad {\text{ when }}\quad A^{2}<1+B^{2}}$

куда А и B - реальные параметры, характеризующие прямую.

Связь координат Лобачевского с полярными координатами (при условии, что начало координат - полюс, а положительное значение Икс-ось - полярная ось)

${\displaystyle x=\operatorname {artanh} \,(\tanh r\cos \theta )}$

${\displaystyle y=\operatorname {arsinh} \,(\sinh r\sin \theta )}$

${\displaystyle r=\operatorname {arcosh} \,(\cosh x\cosh y)}$

${\displaystyle \theta =2\operatorname {arctan} \,\left({\frac {\sinh y}{\sinh x\cosh y+{\sqrt {\cosh ^{2}x\cosh ^{2}y-1}}}}\right)\,.}$

Система координат на основе орициклов

Система координат на основе орициклов

Другая система координат использует расстояние от точки до орицикл через происхождение, сосредоточенное вокруг ${\displaystyle \Omega =(0,+\infty )}$ и длина дуги вдоль этого орицикла.^[3]

Нарисуйте орицикл час_О через начало координат с центром в идеальная точка ${\displaystyle \Omega }$ в конце Икс-ось.

От точки P проведите линию п асимптотика Икс- ось вправо идеальная точка ${\displaystyle \Omega }$. п_час это пересечение прямой п и орицикл час_О.

Координата Икс_час расстояние от P до п_час - положительный, если P находится между п_час и ${\displaystyle \Omega }$, отрицательное, если п_час находится между P и ${\displaystyle \Omega }$.

Координата y_час длина дуги вдоль орицикла час_О от происхождения до п_час.

Расстояние между двумя точками, указанное в этих координатах, равно

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} (\cosh(x_{2}-x_{1})+{\tfrac {1}{2}}(y_{2}-y_{1})^{2}\exp(-x_{1}-x_{2}))\,.}$

Соответствующий метрический тензор: ${\displaystyle (\mathrm {d} s)^{2}=(\mathrm {d} x)^{2}+\exp(-2x)\,(\mathrm {d} y)^{2}\,.}$

Прямые описываются уравнениями вида y = константа или

${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}\ln(\exp(2x_{0})-(y-y_{0})^{2})}$

куда Икс₀ и y₀ - координаты точки на прямой, ближайшей к идеальной точке ${\displaystyle \Omega }$ (т.е. имеющий наибольшее значение Икс на линии).

Системы координат на основе моделей

В модельных системах координат используется одна из модели гиперболической геометрии и возьмем евклидовы координаты внутри модели в качестве гиперболических координат.

Координаты Бельтрами

Координаты Бельтрами точки - это евклидовы координаты точки, когда точка отображается в Модель Бельтрами – Клейна гиперболической плоскости Икс-ось сопоставлена ​​с сегментом (−1,0) − (1,0) и начало координат сопоставляется с центром граничной окружности.^[1]

Имеют место следующие уравнения:

${\displaystyle x_{b}=\tanh(x_{a}),\ y_{b}=\tanh(y_{a})}$

Координаты Пуанкаре

Координаты Пуанкаре точки - это евклидовы координаты точки, когда точка отображается в Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости,^[1] то Икс-ось сопоставлена ​​с сегментом (−1,0) − (1,0) и начало координат сопоставляется с центром граничной окружности.

Координаты Пуанкаре, выраженные в координатах Бельтрами, следующие:

${\displaystyle x_{p}={\frac {x_{b}}{1+{\sqrt {1-x_{b}^{2}-y_{b}^{2}}}}},\ \ y_{p}={\frac {y_{b}}{1+{\sqrt {1-x_{b}^{2}-y_{b}^{2}}}}}}$

Координаты Вейерштрасса

Координаты Вейерштрасса точки - это евклидовы координаты точки, когда точка отображается в модель гиперболоида гиперболической плоскости Икс-ось отображается на (половину) гипербола ${\displaystyle (t\ ,\ 0\ ,\ {\sqrt {t^{2}+1}})}$ и начало координат отображается в точку (0,0,1).^[1]

Точка P с осевыми координатами (Икс_а, y_а) отображается на

${\displaystyle \left({\frac {\tanh x_{a}}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x_{a}-\tanh ^{2}y_{a}}}}\ ,\ {\frac {\tanh y_{a}}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x_{a}-\tanh ^{2}y_{a}}}}\ ,\ {\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x_{a}-\tanh ^{2}y_{a}}}}\right)}$

Другие

Координаты гировектора

Основная статья: автожир

Гировекторное пространство

Гиперболические барицентрические координаты

Из Пространство гировектора # центр треугольника

Изучение центры треугольников традиционно занимается евклидовой геометрией, но центры треугольников также можно изучать в гиперболической геометрии. Используя гиротригонометрию, можно вычислить выражения для тригонометрических барицентрических координат, которые имеют одинаковую форму как для евклидовой, так и для гиперболической геометрии. Чтобы выражения совпадали, выражения должны нет инкапсулируют спецификацию угловой суммы, равной 180 градусам.^[4][5][6]

Рекомендации

1. Мартин, Джордж Э. (1998). Основы геометрии и неевклидова плоскость (Исправлено 4. печ. Изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. стр.447–450. ISBN  0387906940.
2. Сморгоржевский, А. (1982). Геометрия Лобачевского. Москва: Мир. С. 64–68.
3. Рамзи, Арлан; Рихтмайер, Роберт Д. (1995). Введение в гиперболическую геометрию. Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр.97–103. ISBN  0387943390.
4. Гиперболические барицентрические координаты, Абрахам А. Унгар, Австралийский журнал математического анализа и приложений, AJMAA, том 6, выпуск 1, статья 18, стр. 1–35, 2009 г.
5. Центры гиперболического треугольника: специальный релятивистский подход, Авраам Ангар, Springer, 2010 г.
6. Барицентрическое исчисление в евклидовой и гиперболической геометрии: сравнительное введение В архиве 2012-05-19 в Wayback Machine, Абрахам Ангар, World Scientific, 2010 г.