Набор Danzer - Danzer set

Нерешенная проблема в математике:

Существует ли множество Данцера с ограниченной плотностью или ограниченным разделением?

Построение двумерного набора Данцера со скоростью роста

{ Displaystyle О (п ^ {2} журнал п)}

из наложенных прямоугольных сеток с соотношением сторон 1: 1, 1: 9, 1:81 и т. д.

В геометрия, а Набор Danzer это набор точек, который касается каждого выпуклое тело единицы объема. Людвиг Данцер спросил, возможно ли, чтобы такое множество было ограниченным плотность.^[1]^[2] Несколько вариантов этой проблемы остаются нерешенными.

Плотность

Один из способов сформулировать проблему более формально - рассмотреть скорость роста множества ${ displaystyle S}$ в ${ displaystyle d}$ -мерное евклидово пространство, определяемое как функция, отображающая действительное число ${ displaystyle r}$ к количеству точек ${ displaystyle S}$ которые находятся на расстоянии ${ displaystyle r}$ из происхождение. Вопрос Данцера в том, может ли набор Данцера иметь скорость роста? ${ Displaystyle О (г ^ {d})}$ , скорость роста хорошо разнесенных точечных множеств, таких как целочисленная решетка (что не является набором Данцера).^[1]

Можно построить набор Данцера скорости роста, который находится в пределах полилогарифмического фактора ${ Displaystyle О (г ^ {d})}$ . Например, наложение прямоугольных сеток, ячейки которых имеют постоянный объем, но различаются соотношение сторон может достичь темпа роста ${ Displaystyle О (п ^ {d} журнал ^ {d-1} п)}$ .^[3]Конструкции для наборов Данцера известны несколько более быстрыми темпами роста, ${ Displaystyle О (г ^ {d} лог г)}$ , но ответ на вопрос Данцера остается неизвестным.^[4]

Ограниченное покрытие

Еще один вариант проблемы, поставленный Тимоти Гауэрс, спрашивает, существует ли набор Данцера ${ displaystyle S}$ для которого существует конечная оценка ${ displaystyle C}$ по количеству точек пересечения между ${ displaystyle S}$ и любое выпуклое тело единичного объема.^[5] Эта версия решена: невозможно, чтобы набор Danzer с этим свойством существовал.^[6]

Разделение

Третий вариант проблемы, до сих пор не решенный, - Проблема мертвой мухи Конвея. Джон Хортон Конвей вспомнил, что в детстве он спал в комнате с обоями, цветочный узор которых напоминал множество мертвых мух, и что он пытался найти выпуклые области, в которых не было мертвой мухи.^[7]В формулировке Конвея вопрос состоит в том, существует ли множество Данцера, в котором точки множества (мертвые мухи) разделены на ограниченное расстояние друг от друга. Такой набор обязательно также будет иметь верхнюю границу расстояния от каждой точки самолета до мертвой мухи (чтобы коснуться всех кругов единичной площади), так что он будет образовывать Набор Delone, набор с нижней и верхней границами расстояния между точками. Также обязательно будет скорость роста ${ Displaystyle О (г ^ {d})}$ , поэтому, если он существует, он также решит исходную версию проблемы Данцера. Конвей предложил приз в размере 1000 долларов за решение своей проблемы,^[7]^[8] как часть набора задач, включая 99-графовая проблема Конвея, анализ серебряная чеканка, а догадка.^[8]

Дополнительные свойства

Также возможно ограничить классы наборов точек, которые могут быть наборами Данцера, другими способами, кроме их плотности. В частности, они не могут быть объединением конечного числа решетки,^[3] они не могут быть созданы путем выбора точки в каждой плитке мозаика замещения (в одинаковом положении для каждой плитки одного типа), и они не могут быть сгенерированы проектный метод для строительства апериодические мозаики. Следовательно, вершины вертушка черепица и Плитка Пенроуза не являются наборами Danzer.^[4]

Смотрите также

Проблема треугольника Хейльбронна, на множествах точек, не образующих треугольников малой площади
Теорема Минковского, что каждое замкнутое выпуклое тело единичного объема, центрально симметричное относительно начала координат, содержит ненулевую точку полуцелой решетки

использованная литература

^ ^а ^б Croft, Hallard T .; Фалконер, Кеннет Дж.; Гай, Ричард К. (1991), "E14: Размещение выпуклых множеств относительно дискретных множеств", Нерешенные задачи геометрии, Проблемные книги по математике, Springer-Verlag, New York, p.148, Дои:10.1007/978-1-4612-0963-8, ISBN 0-387-97506-3, Г-Н 1107516
^ Фенчель, Вернер (1967), «Проблемы», Материалы коллоквиума по выпуклости, Копенгаген, 1965 г., Копенгаген: Kobenhavns Universitets Matematiske Institut, стр. 308–325, Г-Н 0214420, Проблема 6 (Данзер), цитируется Крофт, сокольничий и парень (1991)
^ ^а ^б Bambah, R.P .; Вудс, А. С. (1971), «К проблеме Данцера», Тихоокеанский математический журнал, 37: 295–301, Г-Н 0303419
^ ^а ^б Соломон, Яар; Вайс, Барак (2016), «Густые леса и Данцеровские множества», Научные Анналы Высшей Нормальной Школы (Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure), 49 (5): 1053–1074, arXiv:1406.3807, Дои:10.24033 / asens.2303, Г-Н 3581810
^ Гауэрс, В. Т. (2000), «Грубая структура и классификация», Геометрический и функциональный анализ (Специальный том, часть I): 79–117, Дои:10.1007/978-3-0346-0422-2_4, Г-Н 1826250
^ Солан, Омри; Соломон, Яар; Вайс, Барак (2017), «О проблемах Данцера и Гауэрса и динамики на пространстве замкнутых подмножеств ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ ", Уведомления о международных математических исследованиях (21): 6584–6598, arXiv:1510.07179, Дои:10.1093 / imrn / rnw204, Г-Н 3719473
^ ^а ^б Робертс, Шивон (2015), Гений в игре: Загадочный разум Джона Хортона Конвея, Нью-Йорк: Bloomsbury Press, стр. 382, г. ISBN 978-1-62040-593-2, Г-Н 3329687
^ ^а ^б Конвей, Джон Х., Пять проблем по 1000 долларов (обновление 2017 г.) (PDF), Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей, получено 2019-02-12. Смотрите также OEIS последовательность A248380.

[cfg-1] а ^б Croft, Hallard T .; Фалконер, Кеннет Дж.; Гай, Ричард К. (1991), "E14: Размещение выпуклых множеств относительно дискретных множеств", Нерешенные задачи геометрии, Проблемные книги по математике, Springer-Verlag, New York, p.148, Дои:10.1007/978-1-4612-0963-8, ISBN 0-387-97506-3, Г-Н 1107516

[dan-2] Фенчель, Вернер (1967), «Проблемы», Материалы коллоквиума по выпуклости, Копенгаген, 1965 г., Копенгаген: Kobenhavns Universitets Matematiske Institut, стр. 308–325, Г-Н 0214420, Проблема 6 (Данзер), цитируется Крофт, сокольничий и парень (1991)

[bw-3] а ^б Bambah, R.P .; Вудс, А. С. (1971), «К проблеме Данцера», Тихоокеанский математический журнал, 37: 295–301, Г-Н 0303419

[sw-4] а ^б Соломон, Яар; Вайс, Барак (2016), «Густые леса и Данцеровские множества», Научные Анналы Высшей Нормальной Школы (Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure), 49 (5): 1053–1074, arXiv:1406.3807, Дои:10.24033 / asens.2303, Г-Н 3581810

[g-5] Гауэрс, В. Т. (2000), «Грубая структура и классификация», Геометрический и функциональный анализ (Специальный том, часть I): 79–117, Дои:10.1007/978-3-0346-0422-2_4, Г-Н 1826250

[ssw-6] Солан, Омри; Соломон, Яар; Вайс, Барак (2017), «О проблемах Данцера и Гауэрса и динамики на пространстве замкнутых подмножеств ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ ", Уведомления о международных математических исследованиях (21): 6584–6598, arXiv:1510.07179, Дои:10.1093 / imrn / rnw204, Г-Н 3719473

[r-7] а ^б Робертс, Шивон (2015), Гений в игре: Загадочный разум Джона Хортона Конвея, Нью-Йорк: Bloomsbury Press, стр. 382, г. ISBN 978-1-62040-593-2, Г-Н 3329687

[c-8] а ^б Конвей, Джон Х., Пять проблем по 1000 долларов (обновление 2017 г.) (PDF), Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей, получено 2019-02-12. Смотрите также OEIS последовательность A248380.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]