Функция Дена - Dehn function

Не путать с Инвариант Дена.

В математическом предмете геометрическая теория групп, а Функция Дена, названный в честь Макс Ден, - оптимальная функция, ассоциированная с представление конечной группы что ограничивает площадь из связь в этой группе (это свободно сокращенное слово в образующих, представляющих элемент идентичности группы) с точки зрения длины этого отношения (см. стр. 79–80 в ^[1]). Тип роста функции Дена - это квазиизометрия инвариант из конечно представленная группа. Функция Дена конечно определенной группы также тесно связана с недетерминированный алгоритмическая сложность проблема со словом в группах. В частности, конечно представленная группа имеет решаемый проблема со словом тогда и только тогда, когда функция Дена для конечное представление этой группы рекурсивный (см. теорему 2.1 в ^[1]). Идея функции Дена мотивирована изопериметрическими проблемами геометрии, такими как классическая изопериметрическое неравенство для евклидовой плоскости и, в более общем смысле, понятие функции площади заполнения, которая оценивает площадь минимальная поверхность в Риманово многообразие с точки зрения длины граничной кривой этой поверхности.

История

Идея изопериметрической функции для конечно представленная группа возвращается к работе Макс Ден в 1910-е гг. Ден доказал, что проблема со словом для стандартного представления фундаментальная группа замкнутой ориентированной поверхности рода не менее двух разрешимо тем, что теперь называется Алгоритм Дена. Прямым следствием этого факта является то, что для этого представления функция Дена удовлетворяет Ден (п) ≤ п. Этот результат был распространен в 1960-х Мартином Гриндлингером на конечно определенные группы, удовлетворяющие C '(1/6) небольшое условие отмены.^[2] Формальное понятие изопериметрической функции и функции Дена в том виде, в котором оно используется сегодня, появилось в конце 1980-х - начале 1990-х годов вместе с введением и развитием теории словесно-гиперболические группы. В своей монографии 1987 г. «Гиперболические группы»^[3] Громов доказал, что конечно определенная группа словесно-гиперболический тогда и только тогда, когда она удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству, то есть тогда и только тогда, когда функция Дена этой группы эквивалентна функции ж(п) = п. Доказательство Громова во многом основано на аналогии с область заполнения функции для компактных Римановы многообразия где площадь минимальная поверхность ограничивая нуль-гомотопный замкнутая кривая ограничена длиной этой кривой.

Изучение изопериметрических функций и функций Дена быстро превратилось в отдельную важную тему в геометрическая теория групп, тем более что типы роста этих функций естественны квазиизометрия инварианты конечно определенных групп. Один из основных результатов в этой области был получен Сепиром, Биргетом и Разрывы кто показал^[4] что наиболее "разумные" функции временной сложности Машины Тьюринга могут быть реализованы с точностью до естественной эквивалентности как функции Дена конечно определенных групп.

Формальное определение

Позволять

${displaystyle G=langle X|Rangle qquad (*)}$

быть представление конечной группы где Икс конечный алфавит и где р ⊆ F(Икс) - конечный набор циклически сокращенных слов.

Сфера отношения

Позволять ш ∈ F(Икс) быть связь в грамм, т. е. свободно сокращаемое слово такое, что ш = 1 дюйм грамм. Обратите внимание, что это эквивалентно тому, что ш принадлежит к нормальное закрытие из р в F(Икс), т.е. существует представление ш в качестве

${displaystyle w=u_{1}r_{1}u_{1}^{-1}cdots u_{m}r_{m}u_{m}^{-1}{ ext{ in }}F(X),}$   (♠)

куда м ≥ 0 и где р_я ∈ р^{± 1} за я = 1, ..., м.

За ш ∈ F(Икс) удовлетворение ш = 1 дюйм грамм, то площадь из ш относительно (∗), обозначим Area (ш), является самым маленьким м ≥ 0 такое, что существует представление (♠) для ш как продукт в F(Икс) из м конъюгаты элементов р^{± 1}.

Свободно сокращенное слово ш ∈ F(Икс) удовлетворяет ш = 1 дюйм грамм тогда и только тогда, когда цикл, помеченный ш в презентационный комплекс за грамм соответствующему (∗) нуль-гомотопный. Этот факт можно использовать, чтобы показать, что Area (ш) - наименьшее количество 2-клеток в диаграмма Ван Кампена над (∗) с граничным циклом, обозначенным ш.

Изопериметрическая функция

An изопериметрическая функция для конечного представления (∗) - монотонная неубывающая функция

${displaystyle f:mathbb {N} o [0,infty )}$

так что всякий раз, когда ш ∈ F(Икс) - свободно сокращаемое слово, удовлетворяющее ш = 1 дюйм грамм, тогда

Площадь(ш) ≤ ж(|ш|),

где |ш| это длина слова ш.

Функция Дена

Тогда Функция Дена конечного представления (∗) определяется как

${displaystyle {m {Dehn}}(n)=max{{m {Area}}(w):w=1{ ext{ in }}G,|w|leq n,w{ ext{ freely reduced}}.}}$

Эквивалентно Ден (п) - наименьшая изопериметрическая функция для (∗), то есть Dehn (п) является изопериметрической функцией для (∗) и для любой другой изопериметрической функции ж(п) у нас есть

Ден (п) ≤ ж(п)

для каждого п ≥ 0.

Типы роста функций

Поскольку функции Дена обычно трудно вычислить точно, обычно изучаются их асимптотические типы роста как п стремится к бесконечности.

Для двух монотонно неубывающих функций

${displaystyle f,g:mathbb {N} o [0,infty )}$

один говорит, что ж является преобладают к грамм если существует C ≥1 такое, что

${displaystyle f(n)leq Cg(Cn+C)+Cn+C}$

для каждого целого числа п ≥ 0. Скажите, что ж ≈ грамм если ж преобладают грамм и грамм преобладают ж. Тогда ≈ является отношение эквивалентности и функции Дена и изопериметрические функции обычно изучаются с точностью до этого отношения эквивалентности. Таким образом, для любого а, Ь> 1 у нас есть а^п ≈ б^п. Аналогично, если ж(п) - многочлен степени d (куда d ≥ 1 - действительное число) с неотрицательными коэффициентами, то ж(п) ≈ п^d. Также 1 ≈п.

Если представление конечной группы допускает изопериметрическую функцию ж(п), которая эквивалентна линейной (соответственно квадратичной, кубической, полиномиальной, экспоненциальной и т. д.) функции в пговорят, что представление удовлетворяет линейному (соответственно квадратичному, кубическому, полиномиальному, экспоненциальному и т. д.) изопериметрическое неравенство.

Основные свойства

• Если грамм и ЧАС находятся квазиизометрический конечно представленные группы и некоторое конечное представление грамм имеет изопериметрическую функцию ж(п) то для любого конечного представления ЧАС существует изопериметрическая функция, эквивалентная ж(п). В частности, это верно для грамм = ЧАС, где одна и та же группа задается двумя разными конечными представлениями.
• Следовательно, для конечно представленная группа тип роста ее функции Дена в смысле приведенного выше определения не зависит от выбора конечного представления этой группы. В более общем смысле, если две конечно определенные группы квазиизометрический то их функции Дена эквивалентны.
• Для конечно представленной группы грамм заданные конечным представлением (∗), следующие условия эквивалентны:
  • грамм имеет рекурсивный Функция Дена относительно (∗).
  • Существует рекурсивная изопериметрическая функция ж(п) для (∗).
  • Группа грамм имеет решаемый проблема со словом.

В частности, отсюда следует, что разрешимость проблемы слов является инвариантом квазиизометрии для конечно представленные группы.

• Зная площадь Площадь (ш) отношения ш позволяет связать, с точки зрения |ш|, не только количество сопряженных определяющих соотношений в (♠), но и длины сопрягающих элементов ты_я также. Как следствие, известно^[1][5] что если конечно определенная группа грамм заданное конечным представлением (∗), имеет вычислимую функцию Дена Dehn (п), тогда слово проблема для грамм разрешимо с недетерминированная временная сложность Ден (п) и детерминированная временная сложность Опыт (Ден (п)). Однако в целом не существует разумной границы для функции Дена конечно представленной группы с точки зрения детерминированной временной сложности задачи о словах, и разрыв между двумя функциями может быть довольно большим.

Примеры

• Для любого конечного представления конечной группы грамм у нас есть Ден (п) ≈ п.^[6]
• Для замкнутой ориентированной поверхности рода 2 стандартное представление ее фундаментальная группа

${displaystyle G=langle a_{1},a_{2},b_{1},b_{n}|[a_{1},b_{1}][a_{2},b_{2}]=1angle }$

удовлетворяет Ден (п) ≤ п и Ден (п) ≈ п.

• Для каждого целого числа k ≥ 2 свободная абелева группа ${displaystyle mathbb {Z} ^{k}}$ есть Ден (п) ≈ п².^[6]
• В Группа Баумслаг-Солитар

${displaystyle B(1,2)=langle a,b|b^{-1}ab=a^{2}angle }$

есть Ден (п) ≈ 2^п (видеть ^[7]).

• Трехмерный дискретный Группа Гейзенберга

${displaystyle H_{3}=langle a,b,t|[a,t]=[b,t]=1,[a,b]=t^{2}angle }$

удовлетворяет кубическому, но не квадратичному изопериметрическому неравенству.^[8]

• Многомерные группы Гейзенберга

${displaystyle H_{2k+1}=langle a_{1},b_{1},dots ,a_{k},b_{k},t|[a_{i},b_{i}]=t,[a_{i},t]=[b_{i},t]=1,i=1,dots ,k,[a_{i},b_{j}]=1,ieq jangle }$,

куда k ≥ 2, удовлетворяют квадратичным изопериметрическим неравенствам.^[9]

• Если грамм является «группой Новикова-Буна», т. е. конечно определенной группой с неразрешимой проблема со словом, то функция Дена грамм растет быстрее, чем любой рекурсивная функция.
• Для Группа Томпсона F функция Дена квадратична, т. е. эквивалентна п² (видеть ^[10]).
• Так называемая группа Баумслага-Герстена

${displaystyle G=langle a,t|(t^{-1}a^{-1}t)a(t^{-1}at)=a^{2}angle }$

имеет функцию Дена, растущую быстрее, чем любая фиксированная повторяющаяся башня экспонент. Конкретно для этой группы

Ден (п) ≈ ехр (ехр (ехр (... (ехр (1)) ...)))

где количество экспонент равно целой части log₂(п) (видеть ^[1][11]).

Известные результаты

• Конечно представленная группа словесно-гиперболическая группа тогда и только тогда, когда его функция Дена эквивалентна п, т. е. тогда и только тогда, когда каждое конечное копредставление этой группы удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству.^[3]
• Изопериметрический зазор: Если конечно определенная группа удовлетворяет субквадратичному изопериметрическому неравенству, то она является гиперболической по словам.^[3][12][13] Таким образом, не существует конечно определенных групп с функциями Дена, эквивалентными п^d с d ∈ (1,2).
• Автоматические группы и, в более общем плане, боевые группы удовлетворяют квадратичным изопериметрическим неравенствам.^[8]
• Конечно порожденный нильпотентная группа имеет функцию Дена, эквивалентную п^d куда d ≥ 1 и все положительные целые числа d реализуются таким образом. Более того, любая конечно порожденная нильпотентная группа грамм допускает полиномиальное изопериметрическое неравенство степени c + 1, где c класс нильпотентности грамм.^[14]
• Набор действительных чисел d ≥ 1, такая, что существует конечно определенная группа с функцией Дена, эквивалентной п^d, плотно в интервале ${displaystyle [2,infty )}$.^[15]
• Я упал асимптотические конусы конечно определенной группы являются односвязный, то группа удовлетворяет полиномиальному изопериметрическому неравенству.^[16]
• Если конечно определенная группа удовлетворяет квадратичному изопериметрическому неравенству, то все асимптотические конусы этой группы односвязны.^[17]
• Если (M,грамм) является закрытым Риманово многообразие и грамм = π₁(M), то функция Дена грамм эквивалентна функции площади заполнения многообразия.^[18]
• Если грамм - группа, действующая собственно разрывно и кокомпактно изометриями на CAT (0) пробел, тогда грамм удовлетворяет квадратичному изопериметрическому неравенству.^[19] В частности, это относится к случаю, когда грамм это фундаментальная группа закрытого Риманово многообразие неположительных секционная кривизна (не обязательно постоянный).
• Функция Дена группы SL (м, Z) не более чем экспоненциально для любого м ≥ 3.^[20] Для SL (3,Z) эта оценка точна, и в этом случае известно, что функция Дена не допускает субэкспоненциальной верхней границы.^[8] Функции Дена для SL (м,Z), куда м > 4 квадратичны.^[21] Функция Дена группы SL (4,Z), предположил Терстон как квадратичный.
• Отображение групп классов поверхностей конечного типа являются автоматический и удовлетворяют квадратичным изопериметрическим неравенствам.^[22]
• Функции Дена для групп Aut (F_k) и Out (F_k) экспоненциальны для каждого k ≥ 3. Экспоненциальные изопериметрические неравенства для Aut (F_k) и Out (F_k) когда k ≥ 3 были обнаружены Хэтчером и Фогтманном.^[23] Эти оценки точны, и группы Aut (F_k) и Out (F_k) не удовлетворяют субэкспоненциальным изопериметрическим неравенствам, как показано для k = 3 Бридсона и Фогтманна,^[24] и для k ≥ 4 Генделя и Мошера. ^[25]
• Для каждого автоморфизм φ конечно порожденного свободная группа F_k группа торов отображения ${displaystyle F_{k}times _{phi }mathbb {Z} }$ из φ удовлетворяет квадратичному изопериметрическому неравенству.^[26]
• Большинство «разумных» вычислимых функций ≥п⁴, могут быть реализованы с точностью до эквивалентности как функции Дена конечно определенных групп. В частности, если ж(п) ≥ п⁴ - супераддитивная функция, двоичное представление которой вычислимо во времени ${displaystyle Oleft({sqrt[{4}]{f(n)}}ight)}$ по Машина Тьюринга тогда ж(п) эквивалентна функции Дена конечно определенной группы.
• Хотя невозможно разумно ограничить функцию Дена группы с точки зрения сложности ее словесной проблемы, Биргет, Ольшанский, Разрывы и Сапир получили следующий результат:^[27] обеспечивая далеко идущее обобщение Теорема вложения Хигмана: Проблема слов конечно порожденной группы разрешима за недетерминированное полиномиальное время тогда и только тогда, когда эта группа может быть вложена в конечно определенную группу с полиномиальной изопериметрической функцией. Более того, любая группа с разрешимой за время T (п) вкладывается в группу с изопериметрической функцией, эквивалентной п²Т (п²)⁴.

Обобщения

• Есть несколько сопутствующих понятий, тесно связанных с понятием изопериметрической функции. Таким образом изодиаметрическая функция^[28] ограничивает самые маленькие диаметр (относительно симплициальной метрики, где каждое ребро имеет длину один) диаграмма Ван Кампена для конкретного отношения ш с точки зрения длины ш. А функция длины заполнения наименьший длина заполнения из диаграмма Ван Кампена для конкретного отношения ш с точки зрения длины ш. Здесь длина заполнения диаграммы - это минимум по всем комбинаторным нуль-гомотопиям диаграммы максимальной длины промежуточных петель, ограничивающих промежуточные диаграммы вдоль таких нуль-гомотопий.^[29] Функция длины заполнения тесно связана с недетерминированным космическая сложность проблемы слов для конечно определенных групп. Существует несколько общих неравенств, связывающих функцию Дена, оптимальную изодиаметрическую функцию и функцию оптимальной длины заполнения, но точная связь между ними еще не выяснена.
• Существуют также многомерные обобщения изопериметрических функций и функций Дена.^[30] За k ≥ 1 k-мерная изопериметрическая функция группы ограничивает минимальный комбинаторный объем (k + 1) -мерные шариковые начинки k-сферы, отображенные в k-связное пространство, на котором группа действует правильно и кокомпактно; оценка дана как функция комбинаторного объема k-сфера. Стандартное понятие изопериметрической функции соответствует случаю k = 1. В отличие от стандартных функций Дена мало что известно о возможных типах роста k-мерные изопериметрические функции конечно определенных групп для k ≥ 2.
• В своей монографии Асимптотические инварианты бесконечных групп^[31] Громов предложил вероятностную или усредненную версию функции Дена и предположил, что для многих групп усредненные функции Дена должны иметь строго более медленную асимптотику, чем стандартные функции Дена. Более точные трактовки понятия усредненная функция Дена или же средняя функция Дена были даны позже другими исследователями, которые также доказали, что действительно усредненные функции Дена субасимптотичны стандартным функциям Дена в ряде случаев (таких как нильпотентные и абелевы группы).^[32][33][34]

• Относительная версия понятия изопериметрической функции играет центральную роль в подходе Осина к относительно гиперболические группы.^[35]
• Григорчук и Иванов исследовали несколько естественных обобщений функции Дена для представления групп на конечном числе образующих, но с бесконечным числом определяющих соотношений.^[36]

Смотрите также

• диаграмма Ван Кампена
• Слово-гиперболическая группа
• Автоматическая группа
• Теория малой отмены
• Геометрическая теория групп

Примечания

1. С. М. Герстен, Изопериметрические и изодиаметрические функции конечных представлений. Геометрическая теория групп, Vol. 1 (Sussex, 1991), стр. 79–96, London Math. Soc. Лекционная записка Сер., 181, г. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993.
2. Мартин Гриндлингер, Алгоритм Дена для словесной проблемы. Сообщения по чистой и прикладной математике, т. 13 (1960), стр. 67–83.
3. М. Громов, Гиперболические группы в: «Очерки теории групп» (ред. Г. М. Герстен), ИИГС, изд. 8. 1987. С. 75–263. ISBN  0-387-96618-8.МИСТЕР0919829
4. М. Сапир, Ж.-К. Биргет, Э. Рипс. Изопериметрические и изодиаметрические функции групп. Анналы математики (2), том 156 (2002), нет. 2. С. 345–466.
5. Хуан М. Алонсо, Inégalités isopérimétriques et quasi-isométries. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, vol. 311 (1990), нет. 12. С. 761–764.
6. Мартин Р. Бридсон. Геометрия проблемы слова. Приглашения в геометрию и топологию, стр. 29–91, Oxford Graduate Texts in Mathematics, 7, Oxford University Press, Оксфорд, 2002. ISBN  0-19-850772-0.
7. С. М. Герстен, Функции Дена и л₁-нормы конечных представлений. Алгоритмы и классификация в комбинаторной теории групп (Беркли, Калифорния, 1989), стр. 195–224, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 23, Springer, New York, 1992. ISBN  0-387-97685-X.
8. Д. Б. А. Эпштейн, Дж. У. Кэннон, Д. Холт, С. Леви, М. Патерсон, У. Терстон. Обработка текста в группах. Jones and Bartlett Publishers, Бостон, Массачусетс, 1992. ISBN  0-86720-244-0 МИСТЕР1161694
9. Д. Оллкок, Изопериметрическое неравенство для групп Гейзенберга. Геометрический и функциональный анализ, т. 8 (1998), нет. 2. С. 219–233.
10. В. С. Губа, Функция Дена группы Ричарда Томпсона F квадратична. Inventiones Mathematicae, т. 163 (2006), нет. 2. С. 313–342.
11. Платонов А. Н., Изопараметрическая функция группы Баумслага-Герстена. Вестник Моск. Univ. Сер. Я в. Мех. 2004, нет. 3. С. 12–17; перевод в: Вестник математики МГУ, вып. 59 (2004), нет. 3. С. 12–17 (2005).
12. А.Ю. Ольшанский. Гиперболичность групп с субквадратичным изопериметрическим неравенством. Международный журнал алгебры и вычислений, вып. 1 (1991), нет. 3. С. 281–289. МИСТЕР1148230Дои:10.1142 / S0218196791000183
13. Б. Х. Боудич. Краткое доказательство того, что из субквадратичного изопериметрического неравенства следует линейное. Мичиганский математический журнал, вып. 42 (1995), нет. 1. С. 103–107. МИСТЕР1322192Дои:10.1307 / mmj / 1029005156
14. С. М. Герстен, Д. Ф. Холт, Т. Р. Райли, Изопериметрические неравенства для нильпотентных групп. Геометрический и функциональный анализ, т. 13 (2003), нет. 4. С. 795–814. МИСТЕР2006557Дои:10.1007 / s00039-003-0430-у
15. Н. Брэди и М. Р. Бридсон, В изопериметрическом спектре есть только одна щель.Геометрический и функциональный анализ, т. 10 (2000), нет. 5. С. 1053–1070.
16. М. Громов, Асимптотические инварианты бесконечных групп, в кн .: "Геометрическая теория групп", т. 2 (Сассекс, 1991), Серия лекций Лондонского математического общества, 182, Cambridge University Press, Кембридж, 1993, стр. 1–295.
17. П. Папасоглу. Об асимптотическом конусе групп, удовлетворяющих квадратичному изопериметрическому неравенству. В архиве 2011-05-23 на Wayback Machine Журнал дифференциальной геометрии, т. 44 (1996), нет. 4. С. 789–806.
18. Дж. Бурилло и Дж. Табак. Эквивалентность геометрической и комбинаторной функций Дена. Нью-Йоркский математический журнал, вып. 8 (2002), стр. 169–179.
19. М. Р. Бридсон и А. Хефлигер, Метрические пространства неположительной кривизны. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], т. 319. Springer-Verlag, Берлин, 1999. ISBN  3-540-64324-9; Замечание 1.7, с. 444.
20. Э. Лойцингер. О полиэдральных ретрактах и ​​компактификациях локально симметричных пространств. Дифференциальная геометрия и ее приложения, т. 20 (2004), стр. 293–318.
21. Роберт Янг, Функция Дена группы SL (п;Z). Анналы математики (2), т. 177 (2013) №3, с. 969–1027.
22. Ли Мошер, Группы классов сопоставления выполняются автоматически. Анналы математики (2), т. 142 (1995), нет. 2. С. 303–384.
23. Аллен Хэтчер и Карен Фогтманн,Изопериметрические неравенства для групп автоморфизмов свободных групп. Тихоокеанский математический журнал, т. 173 (1996), нет. 2, 425–441.
24. Мартин Р. Бридсон и Карен Фогтманн, О геометрии группы автоморфизмов свободной группы. Бюллетень Лондонского математического общества, т. 27 (1995), нет. 6. С. 544–552.
25. Майкл Гендель и Ли Мошер, Липшицевы ретракция и искажение для подгрупп Out (F_п). Геометрия и топология, т. 17 (2013), нет. 3. С. 1535–1579. МИСТЕР3073930Дои:10.2140 / gt.2013.17.1535
26. Мартин Р. Бридсон и Дэниел Гроувс. Квадратичное изопериметрическое неравенство для отображения торов автоморфизмов свободных групп. Мемуары Американского математического общества, том 203 (2010), нет. 955.
27. Ж.-К. Биргет, А.Ю. Ольшанский, Э. Рипс, М. Сапир. Изопериметрические функции групп и вычислительная сложность задачи о словах. Анналы математики (2), том 156 (2002), нет. 2. С. 467–518.
28. С. М. Герстен, Двойная экспоненциальная теорема для изодиаметрических и изопериметрических функций. Международный журнал алгебры и вычислений, вып. 1 (1991), нет. 3. С. 321–327.
29. С. М. Герстен и Т. Райли, Длина заполнения в конечно презентабельных группах. Посвящается Джону Столлингсу по случаю его 65-летия. Geometriae Dedicata, т. 92 (2002), стр. 41–58.
30. Дж. М. Алонсо, Х. Ван и С. Дж. Прайд, Многомерные изопериметрические (или Дена) функции групп.^{[постоянная мертвая ссылка ]} Журнал теории групп, т. 2 (1999), нет. 1. С. 81–112.
31. М. Громов, Асимптотические инварианты бесконечных групп, в кн .: "Геометрическая теория групп", т. 2 (Сассекс, 1991), Серия лекций Лондонского математического общества, 182, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993, стр. 1–295.
32. О. Богопольский, Э. Вентура. Средние функции Дена абелевых групп.^{[постоянная мертвая ссылка ]} Журнал теории групп, т. 11 (2008), нет. 4. С. 569–586.
33. Роберт Янг. Усредненные функции Дена для нильпотентных групп. Топология, т. 47 (2008), нет. 5. С. 351–367.
34. Кукина Е.Г., Романьков В.А. Субквадратичный рост усредненной функции Дена для свободных абелевых групп. Сибирский математический журнал, т. 44 (2003), нет. 4, 1573–9260.
35. Дэнси Осин. Относительно гиперболические группы: внутренняя геометрия, алгебраические свойства и алгоритмические проблемы. Мемуары Американского математического общества, т. 179 (2006), нет. 843. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3821-1.
36. Григорчук Р.И. и С. В. Иванов, О функциях Дена бесконечных представлений групп, Геометрический и функциональный анализ, т. 18 (2009), нет. 6. С. 1841–1874.

дальнейшее чтение

• Ноэль Брэди, Тим Райли и Хэмиш Шорт. Геометрия проблемы слова для конечно порожденных групп. Курсы повышения квалификации по математике CRM Barcelona, ​​Birkhäuser, Basel, 2007. ISBN  3-7643-7949-9.
• Мартин Р. Бридсон. Геометрия проблемы слова. Приглашения в геометрию и топологию, стр. 29–91, Oxford Graduate Texts in Mathematics, 7, Oxford University Press, Оксфорд, 2002. ISBN  0-19-850772-0.

внешняя ссылка

• Изопериметрическое неравенство для SL (n, Z). Семинар в сентябре 2008 г. Американский институт математики.
• PDF статьи Бридсона Геометрия проблемы слова.