Задача со словом для групп - Word problem for groups

Эта статья посвящена алгоритмическим проблемам теории групп. Для связанных применений см. проблема со словом.

В математика, особенно в районе абстрактная алгебра известный как комбинаторная теория групп, то проблема со словом для конечно порожденная группа грамм Алгоритмическая проблема определения того, представляют ли два слова в генераторах один и тот же элемент. Точнее, если А конечный набор генераторы за грамм тогда проблема со словом - это проблема членства для формальный язык всех слов в А и формальный набор инверсий, которые отображаются в тождество при естественном отображении из свободный моноид с инволюцией на А к группе грамм. Если B является еще одним конечным порождающим множеством для грамм, то словесная задача над генераторной установкой B эквивалентна проблеме слов над образующей А. Таким образом, можно однозначно говорить о разрешимости проблемы слов для конечно порожденной группы грамм.

Связанные, но разные проблема единого слова для класса K рекурсивно представленных групп является алгоритмической проблемой решения, заданной в качестве входных данных. презентация п для группы грамм в классе K и два слова в генераторах грамм, представляют ли слова один и тот же элемент грамм. Некоторым авторам требуется класс K быть определенным рекурсивно перечислимый набор презентаций.

История

На протяжении всей истории предмета вычисления в группах проводились с использованием различных нормальные формы. Обычно они неявно решают проблему слов для рассматриваемых групп. В 1911 г. Макс Ден предположил, что проблема слова была важной областью исследования сама по себе,^[1] вместе с проблема сопряженности и проблема группового изоморфизма. В 1912 году он дал алгоритм, который решает как проблему слова, так и проблему сопряжения для фундаментальные группы замкнутых ориентируемых двумерных многообразий рода больше или равного 2.^[2] Последующие авторы значительно расширили Алгоритм Дена и применил его к широкому кругу теоретических групп. проблемы решения.^[3][4][5]

Это было показано Петр Новиков в 1955 г., что существует конечно представленная группа грамм так что слово проблема для грамм является неразрешимый.^[6] Отсюда сразу следует, что проблема единообразного слова также неразрешима. Другое доказательство было получено Уильям Бун в 1958 г.^[7]

Слово «проблема» было одним из первых примеров неразрешимой проблемы, которую нельзя было найти в математическая логика или теория алгоритмов, но в одном из центральных разделов классической математики алгебра. В результате ее неразрешимости было показано, что некоторые другие проблемы комбинаторной теории групп также неразрешимы.

Важно понимать, что проблема слов на самом деле разрешима для многих групп. грамм. Например, полициклические группы иметь разрешимые проблемы со словами, поскольку нормальная форма произвольного слова в полициклическом представлении легко вычислима; другие алгоритмы для групп могут, при подходящих обстоятельствах, также решить проблему слов, см. Алгоритм Тодда-Кокстера^[8] и Алгоритм завершения Кнута – Бендикса.^[9] С другой стороны, тот факт, что конкретный алгоритм не решает проблему слов для определенной группы, не показывает, что у группы есть неразрешимая проблема слов. Например, алгоритм Дена не решает проблему слов для фундаментальной группы тор. Однако эта группа является прямым произведением двух бесконечных циклических групп и поэтому имеет разрешимую проблему слов.

Более конкретное описание

Говоря более конкретно, проблема единого слова может быть выражена как переписывание вопрос, для буквальные строки.^[10] Для презентации п группы грамм, п укажет определенное количество генераторов

Икс, у, z, ...

за грамм. Нам нужно ввести одну букву для Икс и еще один (для удобства) для элемента группы, представленного Икс⁻¹. Назовите эти буквы (вдвое больше, чем образующих) алфавитом. ${displaystyle Sigma }$ для нашей проблемы. Тогда каждый элемент в грамм представлен в каким-то образом по продукту

abc ... pqr

символов из ${displaystyle Sigma }$, некоторой длины, умноженной на грамм. Строка длины 0 (пустая строка ) обозначает элемент идентичности е из грамм. Суть всей проблемы - уметь распознавать все пути е можно представить, учитывая некоторые отношения.

Эффект от связи в грамм состоит в том, чтобы сделать различные такие строки представляющими один и тот же элемент грамм. Фактически отношения представляют собой список строк, которые можно либо ввести там, где мы хотим, либо отменить, когда мы их увидим, без изменения «значения», то есть элемента группы, который является результатом умножения.

В качестве простого примера возьмем презентацию {а | а³}. Письмо А для обратного а, у нас есть возможные строки, объединяющие любое количество символов а и А. Всякий раз, когда мы видим ааа, или же аА или же Аа мы можем вычеркнуть их. Мы также должны не забыть вычеркнуть AAA; это говорит о том, что поскольку куб а является элементом идентичности грамм, и куб, обратный а. В этих условиях проблема слова становится легкой. Сначала сократите строки до пустой строки, а, аа, А или же AA. Затем обратите внимание, что мы также можем умножить на ааа, поэтому мы можем преобразовать А к аа и конвертировать AA к а. В результате слово "проблема" здесь для циклическая группа третьего порядка разрешима.

Однако это не типичный случай. Для примера у нас есть каноническая форма available, который сокращает любую строку до одной длиной не более трех, монотонно уменьшая длину. В общем, неверно, что можно получить каноническую форму для элементов путем пошагового исключения. Возможно, придется использовать отношения для многократного расширения строки, чтобы в конечном итоге найти отмену, которая сокращает длину прямо.

В результате, в худшем случае, отношение между строками, которое говорит, что они равны в грамм является Неразрешимая проблема.

Примеры

Следующие группы имеют решаемую проблему со словами:

• Автоматические группы, включая:
  • Конечные группы
  • Отрицательно изогнутые (также известные как гиперболические) группы
  • Евклидовы группы
  • Группы Кокстера
  • Группы кос
  • Геометрически конечные группы
• Конечно порожденный бесплатные группы
• Конечно порожденный свободные абелевы группы
• Полициклические группы
• Конечно порожденный рекурсивно абсолютно представленные группы,^[11] включая:
  • Конечно определенные простые группы.
• Конечно представленный финитно аппроксимируемая группы
• Группы с одним родителем^[12] (это теорема Магнуса), в том числе:
  • Фундаментальные группы замкнутых ориентируемых двумерных многообразий.
• Комбинированные группы
• Группы с возможностью автоматического суммирования

Также известны примеры неразрешимых словесных проблем:

• Учитывая рекурсивно перечислимое множество А натуральных чисел с неразрешимой проблемой принадлежности,а, б, в, г | а^пба^п = c^пОкруг Колумбия^п : п ∈ А⟩ - конечно порожденная группа с рекурсивно перечислимым представлением, проблема слов которой неразрешима^[13]
• Каждая конечно порожденная группа с рекурсивно перечислимым представлением и неразрешимой проблемой слов является подгруппой конечно определенной группы с неразрешимой проблемой слов^[14]
• Число соотносителей в конечно представленной группе с неразрешимой проблемой слов может быть всего 14 на^[15] или даже 12 по.^[16][17]
• Явный пример разумной короткой презентации с неразрешимой проблемой слов дан в Collins 1986:^[18][19]

${displaystyle {egin{array}{lllll}langle &a,b,c,d,e,p,q,r,t,k&|&&&p^{10}a=ap,&pacqr=rpcaq,&ra=ar,&&p^{10}b=bp,&p^{2}adq^{2}r=rp^{2}daq^{2},&rb=br,&&p^{10}c=cp,&p^{3}bcq^{3}r=rp^{3}cbq^{3},&rc=cr,&&p^{10}d=dp,&p^{4}bdq^{4}r=rp^{4}dbq^{4},&rd=dr,&&p^{10}e=ep,&p^{5}ceq^{5}r=rp^{5}ecaq^{5},&re=er,&&aq^{10}=qa,&p^{6}deq^{6}r=rp^{6}edbq^{6},&pt=tp,&&bq^{10}=qb,&p^{7}cdcq^{7}r=rp^{7}cdceq^{7},&qt=tq,&&cq^{10}=qc,&p^{8}ca^{3}q^{8}r=rp^{8}a^{3}q^{8},&&&dq^{10}=qd,&p^{9}da^{3}q^{9}r=rp^{9}a^{3}q^{9},&&&eq^{10}=qe,&a^{-3}ta^{3}k=ka^{-3}ta^{3}&&angle end{array}}}$

Частичное решение проблемы со словом

Проблема слов для рекурсивно представленной группы может быть частично решена в следующем смысле:

Учитывая рекурсивное представление п = ⟨Икс|р⟩ Для группы грамм, определять:

${displaystyle S={langle u,vangle :u{ ext{ and }}v{ ext{ are words in }}X{ ext{ and }}u=v{ ext{ in }}G }}$

тогда есть частичная рекурсивная функция ж_п такой, что:

${displaystyle f_{P}(langle u,vangle )={egin{cases}0&{ ext{if}} langle u,vangle in S{ ext{undefined/does not halt}} &{ ext{if}} langle u,vangle otin Send{cases}}}$

Более неформально, есть алгоритм, который останавливается, если ты=v, но не делает этого иначе.

Отсюда следует, что для решения проблемы слова для п достаточно построить рекурсивную функцию g такую, что:

${displaystyle g(langle u,vangle )={egin{cases}0&{ ext{if}} langle u,vangle otin S{ ext{undefined/does not halt}} &{ ext{if}} langle u,vangle in Send{cases}}}$

тем не мение ты=v в грамм если и только если УФ⁻¹=1 в грамм. Отсюда следует, что для решения проблемы слова для п достаточно построить рекурсивную функцию час такой, что:

${displaystyle h(x)={egin{cases}0&{ ext{if}} xeq 1 { ext{in}} G{ ext{undefined/does not halt}} &{ ext{if}} x=1 { ext{in}} Gend{cases}}}$

Пример

На примере использования этой техники будет доказано следующее:

Теорема: Конечно определенная финитно аппроксимируемая группа имеет разрешимую проблему слов.

Доказательство: Предполагать грамм = ⟨Икс|р⟩ - конечно представимая финитно аппроксимируемая группа.

Позволять S - группа всех перестановок N, натуральные числа, фиксирующие все числа, кроме конечного, тогда:

1. S является локально конечный и содержит копию каждой конечной группы.
2. Слово проблема в S решается путем вычисления произведений перестановок.
3. Существует рекурсивное перечисление всех отображений конечного множества Икс в S.
4. С грамм финитно аппроксимируема, если ш это слово в генераторах Икс из грамм тогда ш ≠ 1 в грамм если и только некоторого отображения Икс в S индуцирует гомоморфизм такой, что ш ≠ 1 в S.

Учитывая эти факты, алгоритм определяется следующим псевдокодом:

За каждое отображение X в S Если каждый относитель в R удовлетворяется в S Если w ≠ 1 в S возвращаться 0        Конец, если    Конец, еслиКонец для

определяет рекурсивную функцию час такой, что:

${displaystyle h(x)={egin{cases}0&{ ext{if}} xeq 1 { ext{in}} G{ ext{undefined/does not halt}} &{ ext{if}} x=1 { ext{in}} Gend{cases}}}$

Это показывает, что грамм имеет решаемую проблему со словом.

Неразрешимость проблемы единого слова

Приведенный выше критерий разрешимости проблемы слов в одной группе может быть расширен прямым аргументом. Это дает следующий критерий равномерной разрешимости проблемы слов для класса конечно определенных групп:

Чтобы решить проблему единого слова для класса K групп достаточно найти рекурсивную функцию ${displaystyle f(P,w)}$ что требует конечного представления п для группы грамм и слово ${displaystyle w}$ в генераторах грамм, так что всякий раз, когда грамм ∈ K:

${displaystyle f(P,w)={egin{cases}0&{ ext{if}} weq 1 { ext{in}} G{ ext{undefined/does not halt}} &{ ext{if}} w=1 { ext{in}} Gend{cases}}}$

Теорема Буна-Роджерса: Нет униформы частичный алгоритм который решает проблему слов во всех конечно определенных группах с разрешимой проблемой слов.

Другими словами, равномерная проблема слов для класса всех конечно определенных групп с разрешимой проблемой слов неразрешима. Это имеет некоторые интересные последствия. Например, Теорема вложения Хигмана может использоваться для построения группы, содержащей изоморфную копию каждой конечно представленной группы с разрешимой проблемой слов. Кажется естественным спросить, может ли эта группа иметь решаемую проблему слов. Но это следствие результата Буна-Роджерса, что:

Следствие: Универсальной решаемой группы словесных задач не существует. То есть, если грамм конечно определенная группа, содержащая изоморфную копию каждой конечно определенной группы с разрешимой проблемой слов, то грамм сам по себе должен иметь неразрешимую проблему со словом.

Замечание: Предполагать грамм = ⟨Икс|р⟩ - конечно определенная группа с разрешимой проблемой слов и ЧАС конечное подмножество грамм. Позволять ЧАС^* = ⟨ЧАС⟩, - группа, порожденная ЧАС. Тогда слово проблема в ЧАС^* разрешимо: даны два слова h, k в генераторах ЧАС из ЧАС^*запишите их словами в Икс и сравните их, используя решение проблемы со словами в грамм. Легко подумать, что это демонстрирует единообразное решение проблемы слов для класса K (скажем) конечно порожденных групп, вкладываемых в грамм. Если бы это было так, то несуществование универсальной разрешимой группы проблем со словами легко вытекало бы из высказывания Буна-Роджерса. Тем не менее, решение только что продемонстрировано для проблемы со словами для групп в K не является однородным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим группу J = ⟨Y|Т⟩ ∈ K; чтобы использовать приведенный выше аргумент для решения проблемы слова в J, сначала необходимо показать отображение е: Y → G что распространяется на вложение е^*: J → грамм. Если бы существовала рекурсивная функция, отображающая (конечно порожденные) представления групп в K встраиваться в грамм, то единообразное решение проблемы слов в K действительно может быть построен. Но в общем случае нет оснований предполагать, что такая рекурсивная функция существует. Однако оказывается, что, используя более изощренный аргумент, слово проблема в J можно решить без используя вложение е: J → грамм. Вместо этого перечисление гомоморфизмов используется, и поскольку такое перечисление может быть построено единообразно, оно приводит к единообразному решению проблемы слов в K.

Доказательство отсутствия универсальной разрешимой группы словесных задач

Предполагать грамм были универсальной решаемой группой словесных задач. Учитывая конечное представление п = ⟨Икс|Р⟩ группы ЧАС, можно рекурсивно перечислить все гомоморфизмы час: ЧАС → грамм сначала перечислив все сопоставления час^†: Икс → грамм. Не все эти отображения продолжаются до гомоморфизмов, но, поскольку час^†(р) конечно, можно различать гомоморфизмы и негомоморфизмы, используя решение проблемы слов в грамм. «Отсев» негомоморфизмов дает требуемое рекурсивное перечисление: час₁, час₂, ..., час_п, ... .

Если ЧАС имеет разрешимую проблему слов, то хотя бы один из этих гомоморфизмов должен быть вложением. Так что слово ш в генераторах ЧАС:

${displaystyle { ext{If}} weq 1 { ext{in}} H, h_{n}(w)eq 1 { ext{in}} G { ext{for some}} h_{n}}$

${displaystyle { ext{If}} w=1 { ext{in}} H, h_{n}(w)=1 { ext{in}} G { ext{for all}} h_{n}}$

Рассмотрим алгоритм, описываемый псевдокодом:

Позволять п = 0    Позволять повторяемый = ИСТИНА пока (повторяемый)            увеличивать п на 1 если (решение проблемы со словом в грамм показывает часп(ш) ≠ 1 дюйм грамм)                Позволять повторяемый = FALSE выход 0.

Это описывает рекурсивную функцию:

${displaystyle f(w)={egin{cases}0&{ ext{if}} weq 1 { ext{in}} H{ ext{undefined/does not halt}} &{ ext{if}} w=1 { ext{in}} H.end{cases}}}$

Функция ж явно зависит от презентации п. Считая это функцией двух переменных, рекурсивная функция ${displaystyle f(P,w)}$ был построен, который принимает конечное представление п для группы ЧАС и слово ш в генераторах группы грамм, так что всякий раз, когда грамм имеет разрешимую проблему со словами:

${displaystyle f(P,w)={egin{cases}0&{ ext{if}} weq 1 { ext{in}} H{ ext{undefined/does not halt}} &{ ext{if}} w=1 { ext{in}} H.end{cases}}}$

Но это единообразно решает проблему слов для класса всех конечно представленных групп с разрешимой проблемой слов, что противоречит Бун-Роджерсу. Это противоречие доказывает грамм не может существовать.

Алгебраическая структура и проблема слова

Есть ряд результатов, которые связывают разрешимость словесной проблемы и алгебраическую структуру. Наиболее значительным из них является Теорема Буна-Хигмана:

Конечно определенная группа имеет разрешимую проблему слов тогда и только тогда, когда она может быть вложена в простая группа которое можно вложить в конечно определенную группу.

Широко распространено мнение, что можно построить такую ​​конструкцию, чтобы сама простая группа была конечно представимой. Если это так, можно было бы ожидать, что это будет трудно доказать, поскольку отображение представлений в простые группы должно быть нерекурсивным.

Следующее было доказано Бернхард Нойманн и Ангус Макинтайр:

Конечно определенная группа имеет разрешимую проблему слов тогда и только тогда, когда она может быть вложена в каждую алгебраически замкнутая группа

Что примечательно в этом, так это то, что алгебраически замкнутые группы настолько дикие, что ни одна из них не имеет рекурсивного представления.

Самый старый результат, связывающий алгебраическую структуру и разрешимость проблемы слов, - это теорема Кузнецова:

Рекурсивно представленная простая группа S имеет решаемую проблему со словом.

Чтобы доказать это, пусть ⟨Икс|р⟩ Быть рекурсивным представлением для S. выбирать а ∈ S такой, что а ≠ 1 дюйм S.

Если ш это слово о генераторах Икс из S, тогда пусть:

${displaystyle S_{w}=langle X|Rcup {w}angle .}$

Есть рекурсивная функция ${displaystyle f_{langle X|Rcup {w}angle }}$ такой, что:

${displaystyle f_{langle X|Rcup {w}angle }(x)={egin{cases}0&{ ext{if}} x=1 { ext{in}} S_{w}{ ext{undefined/does not halt}} &{ ext{if}} xeq 1 { ext{in}} S_{w}.end{cases}}}$

Написать:

${displaystyle g(w,x)=f_{langle X|Rcup {w}angle }(x).}$

Тогда потому что строительство ж была единообразной, это рекурсивная функция двух переменных.

Следует, что: ${displaystyle h(w)=g(w,a)}$ рекурсивно. По конструкции:

${displaystyle h(w)={egin{cases}0&{ ext{if}} a=1 { ext{in}} S_{w}{ ext{undefined/does not halt}} &{ ext{if}} aeq 1 { ext{in}} S_{w}.end{cases}}}$

С S является простой группой, ее единственными фактор-группами являются сама и тривиальная группа. С а ≠ 1 дюйм S, мы видим а = 1 дюйм S_ш если и только если S_ш тривиально тогда и только тогда, когда ш ≠ 1 дюйм S. Следовательно:

${displaystyle h(w)={egin{cases}0&{ ext{if}} weq 1 { ext{in}} S{ ext{undefined/does not halt}} &{ ext{if}} w=1 { ext{in}} S.end{cases}}}$

Существования такой функции достаточно, чтобы доказать, что проблема слов разрешима для S.

Это доказательство не доказывает существования единого алгоритма решения проблемы слов для этого класса групп. Неоднородность заключается в выборе нетривиального элемента простой группы. Нет оснований предполагать, что существует рекурсивная функция, которая отображает представление простой группы на нетривиальный элемент группы. Однако в случае конечно представленной группы мы знаем, что не все генераторы могут быть тривиальными (конечно, может быть любой отдельный генератор). Используя этот факт, можно изменить доказательство, чтобы показать:

Проблема слов равномерно разрешима для класса конечно определенных простых групп.

Смотрите также

• Комбинаторика слов
• SQ-универсальная группа
• Проблема со словом (математика)
• Проблема достижимости
• Вложенные стековые автоматы (использовались для решения проблемы со словами для групп)

Примечания

1. Ден 1911.
2. Ден 1912.
3. Гриндлингер, Мартин (июнь 1959 г.), «Алгоритм Дена для словесной проблемы», Сообщения по чистой и прикладной математике, 13 (1): 67–83, Дои:10.1002 / cpa.3160130108.
4. Линдон, Роджер С. (Сентябрь 1966 г.), «По алгоритму Дена», Mathematische Annalen, 166 (3): 208–228, Дои:10.1007 / BF01361168, HDL:2027.42/46211.
5. Шупп, Пол Э. (Июнь 1968 г.), «Об алгоритме Дена и проблеме сопряженности», Mathematische Annalen, 178 (2): 119–130, Дои:10.1007 / BF01350654.
6. Новиков, П.С. (1955), «Об алгоритмической неразрешимости проблемы слова в теории групп», Труды Математического института им. В. А. Стеклова. (на русском), 44: 1–143, Zbl  0068.01301
7. Бун, Уильям У. (1958), "Слово проблема" (PDF), Труды Национальной академии наук, 44 (10): 1061–1065, Дои:10.1073 / pnas.44.10.1061, ЧВК  528693, PMID  16590307, Zbl  0086.24701
8. J.A. Тодд и Х.С.М. Кокстер. «Практический метод перечисления смежных классов конечной абстрактной группы», Proc, Edinburgh Math Soc. (2), 5, 25---34. 1936
9. Д. Кнут и П. Бендикс. «Простые словесные задачи в универсальных алгебрах». Вычислительные задачи абстрактной алгебры (Ed. J. Leech), страницы 263-297, 1970.
10. Ротман 1994.
11. H.Simmons, "Проблема слова для абсолютных представлений". J. London Math. Soc. (2) 6, 275-280 1973
12. Роджер С. Линдон, Пол Э. Шупп, Комбинаторная теория групп, Springer, 2001
13. Коллинз и Цишанг 1990, п. 149.
14. Коллинз и Цишанг 1993, Кор. 7.2.6. Ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFCollinsZieschang1993 (помощь)
15. Коллинз 1969.
16. Борисов 1969.
17. Коллинз 1972.
18. Коллинз 1986.
19. Мы используем исправленную версию от Каталог алгебраических систем Джона Педерсена

Рекомендации

• "Проблема со словом". PlanetMath.
• У. В. Бун, Ф. Б. Каннонито и Р. К. Линдон. Проблемы со словами: проблема решения в теории групп. Нидерланды: Северная Голландия. 1973 г.
• Boone, W. W .; Хигман, Г. (1974). «Алгебраическая характеристика разрешимости словесной задачи». J. Austral. Математика. Soc. 18: 41–53. Дои:10,1017 / с1446788700019108.
• Boone, W. W .; Роджерс-младший, Х. (1966). «О проблеме Дж. Х. К. Уайтхеда и проблеме Алонсо Чёрча». Математика. Сканд. 19: 185–192. Дои:10.7146 / math.scand.a-10808.
• Борисов, В. В. (1969), "Простые примеры групп с неразрешимой проблемой слов", Академия Наук СССР. Математические заметки, 6: 521–532, ISSN  0025-567X, МИСТЕР  0260851
• Коллинз, Дональд Дж.(1969), «Проблемы слова и сопряжения в группах с несколькими определяющими отношениями», Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 15 (20–22): 305–324, Дои:10.1002 / malq.19690152001, МИСТЕР  0263903
• Коллинз, Дональд Дж. (1972), "О теореме вложения группы В. В. Борисова", Бюллетень Лондонского математического общества, 4 (2): 145–147, Дои:10.1112 / blms / 4.2.145, ISSN  0024-6093, МИСТЕР  0314998
• Коллинз, Дональд Дж. (1986), "Простое представление группы с неразрешимой проблемой слов", Иллинойсский журнал математики, 30 (2): 230–234, Дои:10.1215 / ijm / 1256044631, ISSN  0019-2082, МИСТЕР  0840121
• Коллинз, Дональд Дж .; Цишанг, Х. (1990), Комбинаторная теория групп и фундаментальные группы, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, п. 166, МИСТЕР  1099152
• Ден, Макс (1911), "Über unendliche diskontinuierliche Gruppen", Mathematische Annalen, 71 (1): 116–144, Дои:10.1007 / BF01456932, ISSN  0025-5831, МИСТЕР  1511645
• Ден, Макс (1912), "Transformation der Kurven auf zweiseitigen Flächen", Mathematische Annalen, 72 (3): 413–421, Дои:10.1007 / BF01456725, ISSN  0025-5831, МИСТЕР  1511705
• Кузнецов А.В. «Алгоритмы как операции в алгебраических системах», Известия Акад. Сер мат Наук СССР (1958)
• К. Ф. Миллер. "Решение проблемы для группы - обзор и размышления". В Алгоритмы и классификация в комбинаторной теории групп, страницы 1–60. Спрингер, 1991.
• Ротман, Джозеф (1994), Введение в теорию групп, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94285-8
• Стиллвелл, Дж. (1982). «Проблема слова и проблема изоморфизма для групп». Бюллетень АПП. 6: 33–56. Дои:10.1090 / s0273-0979-1982-14963-1.