Дифференциальный инвариант - Differential invariant

В математика, а дифференциальный инвариант является инвариантный для действие из Группа Ли на пространстве, которое включает производные графиков функций в пространстве. Дифференциальные инварианты фундаментальны в проективная дифференциальная геометрия, а кривизна часто изучается с этой точки зрения.^[1] Дифференциальные инварианты были введены в частных случаях Софус Ли в начале 1880-х и изучал Жорж Анри Хальфен в то же время. Ложь (1884) была первой общей работой по дифференциальным инвариантам и установила связь между дифференциальными инвариантами, инвариантами дифференциальные уравнения, и инвариантные дифференциальные операторы.

Дифференциальные инварианты противопоставляются геометрическим инвариантам. В то время как дифференциальные инварианты могут включать особый выбор независимых переменных (или параметризацию), геометрические инварианты этого не делают. Эли Картан с метод перемещения кадров является уточнением, которое, хотя и менее общее, чем методы дифференциальных инвариантов Ли, всегда дает инварианты геометрического типа.

Определение

Самый простой случай - дифференциальные инварианты для одной независимой переменной Икс и одна зависимая переменная у. Позволять грамм быть Группа Ли действующий на р². потом грамм также действует локально на пространстве всех графов вида у = ƒ(Икс). Грубо говоря, kДифференциальный инвариант -го порядка - это функция

${\displaystyle I\left(x,y,{\frac {dy}{dx}},\dots ,{\frac {d^{k}y}{dx^{k}}}\right)}$

в зависимости от у и его первый k производные по Икс, инвариантный относительно действия группы.

Группа может воздействовать на производные высшего порядка нетривиальным образом, что требует вычисления продление группового действия. Действие грамм от первой производной, например, такова, что Правило цепи продолжает держаться: если

${\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}})=g\cdot (x,y),}$

тогда

${\displaystyle g\cdot \left(x,y,{\frac {dy}{dx}}\right){\stackrel {\text{def}}{=}}\left({\overline {x}},{\overline {y}},{\frac {d{\overline {y}}}{d{\overline {x}}}}\right).}$

Аналогичные соображения применимы для вычисления более высоких продолжений. Однако этот метод вычисления продолжения непрактичен, и гораздо проще работать бесконечно малым образом на уровне Алгебры Ли и Производная Ли вдоль грамм действие.

В более общем смысле, дифференциальные инварианты можно рассматривать для отображений из любых гладкое многообразие Икс в другое гладкое многообразие Y для группы Ли, действующей на Декартово произведение Икс×Y. График отображения Икс → Y является подмногообразием Икс×Y которая всюду поперек волокон над Икс. Группа грамм действует локально на пространстве таких графов и индуцирует действие на k-е продолжение Y^(k) состоящий из графов, проходящих через каждую точку по модулю отношения kконтакт -го порядка. Дифференциальный инвариант - это функция на Y^(k) что инвариантно относительно продолжения действия группы.

Приложения

• Дифференциальные инварианты могут быть применены к изучению систем уравнения в частных производных: Ищу сходство решений которые инвариантны относительно действия определенной группы, могут уменьшить размерность проблемы (т. е. привести к «редуцированной системе»).^[2]
• Теорема Нётер влечет существование дифференциальных инвариантов, соответствующих каждой дифференцируемой симметрии вариационная задача.
• Характеристики потока с помощью компьютерное зрение^[3]
• Геометрическая интеграция

Смотрите также

• Метод эквивалентности Картана

Примечания

1. Гуггенхаймер 1977
2. Олвер 1994, Глава 3 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFOlver1994 (помощь)
3. Олвер, Питер; Сапиро, Гильермо; Танненбаум, Аллен (1994). «Дифференциальные инвариантные сигнатуры и потоки в компьютерном зрении: подход группы симметрии». Диффузия на основе геометрии в компьютерном зрении. Вычислительная визуализация и зрение. 1. Дордрехт: Спрингер. С. 255–306. Дои:10.1007/978-94-017-1699-4_11. ISBN  90-481-4461-2.

Рекомендации

• Гуггенхаймер, Генрих (1977), Дифференциальная геометрия, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-63433-3.
• Ложь, Софус (1884), «Убер-дифференциальная инвариантность», Gesammelte Adhandlungen, 6, Лейпциг: B.G. Teubner, стр. 95–138.; Английский перевод: Акерман, М; Германн, Р. (1975), Дифференциально-инвариантная статья Софуса Ли 1884 г., Бруклин, Массачусетс: Math Sci Press.
• Олвер, Питер Дж. (1993), Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94007-6.
• Олвер, Питер Дж. (1995), Эквивалентность, инварианты и симметрия, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-47811-3.
• Мэнсфилд, Элизабет Луиза (2009), Практическое руководство по инвариантному исчислению (PDF)^{[постоянная мертвая ссылка ]}; будет опубликовано в Кембридже 2010 г., ISBN  978-0-521-85701-7.

внешняя ссылка

• Инвариантные вариационные задачи