Инвариантный дифференциальный оператор - Invariant differential operator

В математика и теоретическая физика, инвариантный дифференциальный оператор это своего рода математическая карта от некоторых объектов к объекту аналогичного типа. Эти объекты обычно функции на ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, функционирует на многообразие, вектор значимые функции, векторные поля, или, в более общем смысле, разделы из векторный набор.

В инвариантном дифференциальном операторе ${displaystyle D}$, период, термин дифференциальный оператор указывает, что значение ${displaystyle Df}$ карты зависит только от ${displaystyle f(x)}$ и производные из ${displaystyle f}$ в ${displaystyle x}$. Слово инвариантный указывает, что оператор содержит некоторые симметрия. Это означает, что есть группа ${displaystyle G}$ с групповое действие для функций (или других рассматриваемых объектов), и это действие сохраняется оператором:

${displaystyle D(gcdot f)=gcdot (Df).}$

Обычно действие группы имеет значение изменение координат (смена наблюдателя) и инвариантность означает, что оператор имеет одно и то же выражение во всех допустимых координатах.

Инвариантность на однородных пространствах

Позволять M = грамм/ЧАС быть однородное пространство для Группа Ли G и подгруппа Ли H. представление ${displaystyle ho :Hightarrow mathrm {Aut} (mathbb {V} )}$ рождает векторный набор

${displaystyle V=G imes _{H}mathbb {V} ;{ ext{where}};(gh,v)sim (g,ho (h)v);forall ;gin G,;hin H;{ ext{and}};vin mathbb {V} .}$

Разделы ${displaystyle varphi in Gamma (V)}$ можно отождествить с

${displaystyle Gamma (V)={varphi :Gightarrow mathbb {V} ;:;varphi (gh)=ho (h^{-1})varphi (g);forall ;gin G,;hin H}.}$

В таком виде группа грамм действует по разделам через

${displaystyle (ell _{g}varphi )(g')=varphi (g^{-1}g').}$

Теперь позвольте V и W быть двумя векторные пакеты над M. Тогда дифференциальный оператор

${displaystyle d:Gamma (V)ightarrow Gamma (W)}$

который отображает разделы V в разделы W называется инвариантным, если

${displaystyle d(ell _{g}varphi )=ell _{g}(dvarphi ).}$

для всех разделов ${displaystyle varphi }$ в ${displaystyle Gamma (V)}$ и элементы грамм в грамм. Все линейные инвариантные дифференциальные операторы на однородных параболическая геометрия, т.е. когда грамм полупростой и ЧАС параболическая подгруппа, задаются двойственно гомоморфизмами обобщенные модули Верма.

Инвариантность в терминах абстрактных показателей

Учитывая два связи ${displaystyle abla }$ и ${displaystyle {hat {abla }}}$ и одна форма ${displaystyle omega }$, у нас есть

${displaystyle abla _{a}omega _{b}={hat {abla }}_{a}omega _{b}-Q_{ab}{}^{c}omega _{c}}$

для некоторого тензора ${displaystyle Q_{ab}{}^{c}}$.^[1] Учитывая класс эквивалентности связей ${displaystyle [abla ]}$, мы говорим, что оператор инвариантен, если форма оператора не меняется при переходе от одного соединения в классе эквивалентности к другому. Например, если мы рассмотрим класс эквивалентности всех без кручения связности, то тензор Q симметричен по своим нижним индексам, т.е. ${displaystyle Q_{ab}{}^{c}=Q_{(ab)}{}^{c}}$. Следовательно, мы можем вычислить

${displaystyle abla _{[a}omega _{b]}={hat {abla }}_{[a}omega _{b]},}$

где скобки обозначают кососимметризацию. Это показывает инвариантность внешней производной при действии на одну форму. Классы эквивалентности связей естественным образом возникают в дифференциальной геометрии, например:

• в конформная геометрия класс эквивалентности связей задается связями Леви Чивита всех метрики в конформном классе;
• в проективная геометрия класс эквивалентности связи задается всеми связями, имеющими одинаковые геодезические;
• в Геометрия CR класс эквивалентности связностей задается связностями Танаки-Вебстера для каждого выбора псевдогермитовой структуры

Примеры

1. Обычный градиент оператор ${displaystyle abla }$ действующие на действительные функции на Евклидово пространство инвариантен относительно всех Евклидовы преобразования.
2. В дифференциал действующие на функции на многообразии со значениями в 1-формы (его выражение
        ${displaystyle d=sum _{j}partial _{j},dx_{j}}$
   в любых локальных координатах) инвариантно относительно всех гладких преобразований многообразия (действие преобразования на дифференциальные формы это просто откат ).
3. В более общем плане внешняя производная
        ${displaystyle d:Omega ^{n}(M)ightarrow Omega ^{n+1}(M)}$
   что действует на п-формы любого гладкого многообразия M инвариантны относительно всех гладких преобразований. Можно показать, что внешняя производная - единственный линейный инвариантный дифференциальный оператор между этими расслоениями.
4. В Оператор Дирака в физике инвариантен относительно Группа Пуанкаре (если мы выберем правильный действие из Группа Пуанкаре на спинорных функциях. Однако это тонкий вопрос, и если мы хотим сделать его математически строгим, мы должны сказать, что он инвариантен по отношению к группе, которая является двойная крышка группы Пуанкаре)
5. В конформное уравнение Киллинга
        ${displaystyle X^{a}mapsto abla _{(a}X_{b)}-{frac {1}{n}}abla _{c}X^{c}g_{ab}}$
   является конформно инвариантным линейным дифференциальным оператором между векторными полями и симметричными тензорами без следов.

Конформная инвариантность

• 

  Сфера (здесь изображена красным кружком) как конформное однородное многообразие.

Учитывая метрику

${displaystyle g(x,y)=x_{1}y_{n+2}+x_{n+2}y_{1}+sum _{i=2}^{n+1}x_{i}y_{i}}$

на ${displaystyle mathbb {R} ^{n+2}}$, мы можем написать сфера ${displaystyle S^{n}}$ как пространство генераторов нулевой конус

${displaystyle S^{n}={[x]in mathbb {RP} _{n+1};:;g(x,x)=0}.}$

Таким образом, плоская модель конформная геометрия это сфера ${displaystyle S^{n}=G/P}$ с ${displaystyle G=SO_{0}(n+1,1)}$ и P стабилизатор точки в ${displaystyle mathbb {R} ^{n+2}}$. Известна классификация всех линейных конформно инвариантных дифференциальных операторов на сфере (Eastwood, Rice, 1987).^[2]

Смотрите также

• Дифференциальные операторы
• Инвариант Лапласа
• Инвариантная факторизация LPDO

Примечания

1. Пенроуз и Риндлер (1987). Спиноры и пространство-время. Кембриджские монографии по математической физике.
2. М.Г. Иствуд и Дж. Райс (1987). «Конформно инвариантные дифференциальные операторы на пространстве Минковского и их искривленные аналоги». Commun. Математика. Phys. 109 (2): 207–228.

^[1]

Рекомендации

• Slovák, Ян (1993). Инвариантные операторы на конформных многообразиях. Записки исследовательских лекций, Венский университет (Диссертация). Внешняя ссылка в | название = (помощь)
• Коларж, Иван; Михор, Питер; Slovák, Ян (1993). Натуральные операторы в дифференциальной геометрии (PDF). Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк. Архивировано из оригинал (PDF) на 2017-03-30. Получено 2011-01-05.
• Eastwood, M. G .; Райс, Дж. У. (1987). «Конформно инвариантные дифференциальные операторы на пространстве Минковского и их искривленные аналоги». Commun. Математика. Phys. 109 (2): 207–228. Bibcode:1987CMaPh.109..207E. Дои:10.1007 / BF01215221.
• Кроске, Йенс (2008). «Инвариантные билинейные дифференциальные спаривания на параболических геометриях». Кандидатская диссертация Университета Аделаиды. arXiv:0904.3311. Bibcode:2009ФДТ ....... 274К.

1. Добрев, Владимир (1988). «Каноническая конструкция сплетающих дифференциальных операторов, связанных с представлениями вещественных полупростых групп Ли». Репт. Математика. Phys. 25 (2): 159–181. Bibcode:1988РпМП ... 25..159Д. Дои:10.1016 / 0034-4877 (88) 90050-Х.