Функция измерения - Dimension function

В математика, понятие (точный) функция измерения (также известный как калибровочная функция) является инструментом в изучении фракталы и другие подмножества метрические пространства. Размерные функции - это обобщение простого "диаметр к измерение " сила закона используется в строительстве s-размерный Мера Хаусдорфа.

Мотивация: s-мерная мера Хаусдорфа

Основная статья: Хаусдорфово измерение

Рассмотрим метрическое пространство (Икс, d) и подмножество E из Икс. Учитывая число s ≥ 0, s-размерный Мера Хаусдорфа из E, обозначенный μ^s(E), определяется

${displaystyle mu ^{s}(E)=lim _{delta o 0}mu _{delta }^{s}(E),}$

куда

${displaystyle mu _{delta }^{s}(E)=inf left{left.sum _{i=1}^{infty }mathrm {diam} (C_{i})^{s}ight|mathrm {diam} (C_{i})leq delta ,igcup _{i=1}^{infty }C_{i}supseteq Eight}.}$

μ_δ^s(E) можно рассматривать как приближение к "истинному" s-размерная площадь / объем E дается путем вычисления минимального s-габаритная площадь / объем покрытия E по наборам диаметров не более δ.

В зависимости от увеличения s, μ^s(E) не возрастает. Фактически для всех значений s, кроме, возможно, одного, ЧАС^s(E) равно 0 или + ∞; это исключительное значение называется Хаусдорфово измерение из E, здесь обозначено dim_ЧАС(E). Интуитивно говоря, μ^s(E) = + ∞ для s <тусклый_ЧАС(E) по той же причине, что и одномерный линейный длина двумерного диск в Евклидова плоскость равно + ∞; так же, μ^s(E) = 0 для s > тусклый_ЧАС(E) по той же причине, что и трехмерный объем диска на евклидовой плоскости равна нулю.

Идея размерной функции состоит в использовании различных функций диаметра, а не только диаметра (C)^s для некоторых s, и искать то же свойство конечной и ненулевой меры Хаусдорфа.

Определение

Позволять (Икс, d) - метрическое пространство и E ⊆ Икс. Позволять час : [0, + ∞) → [0, + ∞] - функция. Определять μ^час(E) к

${displaystyle mu ^{h}(E)=lim _{delta o 0}mu _{delta }^{h}(E),}$

куда

${displaystyle mu _{delta }^{h}(E)=inf left{left.sum _{i=1}^{infty }hleft(mathrm {diam} (C_{i})ight)ight|mathrm {diam} (C_{i})leq delta ,igcup _{i=1}^{infty }C_{i}supseteq Eight}.}$

потом час называется (точный) функция измерения (или же калибровочная функция) за E если μ^час(E) конечно и строго положительно. Есть много соглашений относительно свойств, которые час должен иметь: Роджерс (1998), например, требует, чтобы час должно быть монотонно возрастающий за т ≥ 0, строго положительный при т > 0 и непрерывный справа для всех т ≥ 0.

Размер упаковки

Размер упаковки построено очень похоже на размерность Хаусдорфа, за исключением того, что одна «упаковывает» E изнутри с попарно непересекающиеся шары диаметром не более δ. Как и раньше, можно рассматривать функции час : [0, + ∞) → [0, + ∞] более общий, чем час(δ) = δ^s и позвони час точная размерная функция для E если час-упаковочная мера E конечно и строго положительно.

Пример

Почти наверняка, образец пути Икс из Броуновское движение в евклидовой плоскости имеет размерность Хаусдорфа, равную 2, но двумерная мера Хаусдорфа μ²(Икс) равен нулю. Функция точного размера час дается логарифмический исправление

${displaystyle h(r)=r^{2}cdot log {frac {1}{r}}cdot log log log {frac {1}{r}}.}$

Т.е. с вероятностью единица 0 <μ^час(Икс) <+ ∞ для броуновского пути Икс в р². Для броуновского движения в евклидовом п-Космос р^п с п ≥ 3, точная размерная функция равна

${displaystyle h(r)=r^{2}cdot log log {frac {1}{r}}.}$

Рекомендации

• Олсен, Л. (2003). «Точные функции размерности Хаусдорфа некоторых канторовских множеств». Нелинейность. 16 (3): 963–970. Дои:10.1088/0951-7715/16/3/309.
• Роджерс, К. А. (1998). Хаусдорфовы меры. Кембриджская математическая библиотека (третье изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. xxx + 195. ISBN  0-521-62491-6.