Теорема о краю клина - Edge-of-the-wedge theorem

В математика, Боголюбова теорема о краю клина подразумевает, что голоморфные функции на двух «клиньях» с общим «острием» лежат аналитические продолжения друг друга при условии, что оба они дают одинаковую непрерывную функцию на краю. Он используется в квантовая теория поля построить аналитическое продолжение из Функции Вайтмана. Приведены формулировка и первое доказательство теоремы.^[1][2] от Николай Боголюбов на Международной конференции по теоретической физике, Сиэтл, США (сентябрь 1956 г.), а также опубликованы в книге Проблемы теории дисперсионных соотношений.^[3] Дальнейшие доказательства и обобщения теоремы были даны Р. Йост и Х. Леманн (1957),^[4] Ф. Дайсон (1958), Х. Эпштейн (1960) и другими исследователями.

Одномерный случай

Непрерывные граничные значения

В одном измерении простой случай теоремы о крае клина можно сформулировать следующим образом.

• Предположим, что ж - непрерывная комплекснозначная функция на комплексная плоскость это голоморфный на верхняя полуплоскость, и на нижняя полуплоскость. Тогда он везде голоморфен.

В этом примере два клина - это верхняя полуплоскость и нижняя полуплоскость, а их общая кромка - это реальная ось. Этот результат можно доказать из Теорема Мореры. Действительно, функция голоморфна, если ее интеграл вокруг любого контура равен нулю; контур, пересекающий действительную ось, может быть разбит на контуры в верхней и нижней полуплоскостях, и интеграл вокруг них равен нулю по гипотезе.^[5][6]

Граничные значения распределения на окружности

Более общий случай сформулирован в терминах распределений.^[7][8] Это технически проще всего в случае, когда общей границей является единичный круг. ${\displaystyle |z|=1}$ в комплексной плоскости. В этом случае голоморфные функции ж, г в регионах ${\displaystyle r<|z|<1}$ и ${\displaystyle 1<|z|<R}$ есть расширения Лорана

${\displaystyle f(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{n}z^{n},\,\,\,\,g(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }b_{n}z^{n}}$

абсолютно сходятся в одних и тех же областях и имеют граничные значения распределения, заданные формальным рядом Фурье

${\displaystyle f(\theta )=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\theta },\,\,\,\,g(\theta )=\sum _{-\infty }^{\infty }b_{n}e^{in\theta }.}$

Их граничные значения распределения равны, если ${\displaystyle a_{n}=b_{n}}$ для всех п. Тогда элементарно, что общий ряд Лорана абсолютно сходится во всей области ${\displaystyle r<|z|<R}$.

Граничные значения распределения на интервале

В общем, учитывая открытый интервал ${\displaystyle I=(a,b)}$ на вещественной оси и голоморфные функции ${\displaystyle f_{+},\,\,\ f_{-}}$ определено в ${\displaystyle (a,b)\times (0,R)}$ и ${\displaystyle (a,b)\times (-R,0)}$ удовлетворение

${\displaystyle |f_{\pm }(x+iy)|<C|y|^{-N}}$

для некоторого неотрицательного целого числа N, граничные значения ${\displaystyle T_{\pm }}$ из ${\displaystyle f_{\pm }}$ можно определить как распределения на действительной оси по формулам^[9][8]

${\displaystyle \langle T_{\pm },\varphi \rangle =\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int f(x\pm i\varepsilon )\varphi (x)\,dx.}$

Существование можно доказать, отметив, что, согласно гипотезе, ${\displaystyle f_{\pm }(z)}$ это ${\displaystyle (N+1)}$-я комплексная производная голоморфной функции, продолжающаяся до непрерывной функции на границе. Если ж определяется как ${\displaystyle f_{\pm }}$ выше и ниже действительной оси и F - распределение, заданное на прямоугольнике ${\displaystyle (a,b)\times (-R,R)}$по формуле

${\displaystyle \langle F,\varphi \rangle =\int \int f(x+iy)\varphi (x,y)\,dx\,dy,}$

тогда F равно ${\displaystyle f_{\pm }}$ от действительной оси и распределения ${\displaystyle F_{\overline {z}}}$ индуцируется распределением ${\displaystyle {1 \over 2}(T_{+}-T_{-})}$ на действительной оси.

В частности, если применимы гипотезы теоремы о крае клина, т. Е. ${\displaystyle T_{+}=T_{-}}$, тогда

${\displaystyle F_{\overline {z}}=0.}$

От эллиптическая регулярность из этого следует, что функция F голоморфен в ${\displaystyle (a,b)\times (-R,R)}$.

В этом случае эллиптическая регулярность может быть выведена непосредственно из того факта, что ${\displaystyle (\pi z)^{-1}}$ как известно, обеспечивает фундаментальное решение для Оператор Коши – Римана ${\displaystyle \partial /\partial {\overline {z}}}$.^[10]

С использованием Преобразование Кэли между кругом и действительной линией, этот аргумент можно стандартным образом перефразировать в терминах Ряд Фурье и Соболевские пространства по кругу. Действительно, пусть ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ - голоморфные функции, определенные снаружи и внутри некоторой дуги на единичной окружности, так что локально они имеют радиальные пределы в некотором пространстве Собелева, Тогда, позволяя

${\displaystyle D=z{\partial \over \partial z},}$

уравнения

${\displaystyle D^{k}F=f,\,\,\,D^{k}G=g}$

можно решить локально таким образом, чтобы радиальные пределы г и F локально стремятся к той же функции в более высоком пространстве Соболева. Для k достаточно большая, эта сходимость равномерна по Теорема вложения Соболева. По рассуждению для непрерывных функций F и г поэтому patch, чтобы дать голоморфную функцию около дуги и, следовательно, сделать ж и г.

Общий случай

А клин является произведением конуса с некоторым множеством.

Позволять ${\displaystyle C}$ быть открытым конусом в реальном векторном пространстве ${\displaystyle R^{n}}$, с вершиной в начале координат. Позволять E быть открытым подмножеством р^п, называется краем. Написать W для клина ${\displaystyle E\times iC}$ в комплексном векторном пространстве C^п, и написать W ' для противоположного клина ${\displaystyle E\times -iC}$. Затем два клина W и W ' встретиться на краю E, где мы определяем E с продуктом E кончиком конуса.

• Предположим, что ж - непрерывная функция на объединении ${\displaystyle W\cup E\cup W'}$ которая голоморфна на обоих клиньях W и W ' . Тогда теорема об острие клина утверждает, что ж также голоморфен на E (точнее, его можно продолжить до голоморфной функции в окрестности E).

Условия истинности теоремы можно ослабить. Необязательно предполагать, что ж определяется на всех клиньях: достаточно предположить, что он определен около кромки. Также не обязательно предполагать, что ж определена или непрерывна на ребре: достаточно предположить, что функции, определенные на любом из клиньев, имеют одинаковые граничные значения распределения на ребре.

Приложение к квантовой теории поля

В квантовой теории поля распределения Вайтмана являются граничными значениями функций Вайтмана W(z₁, ..., z_п) в зависимости от переменных z_я в комплексификации пространства-времени Минковского. Они определены и голоморфны в клине, где мнимая часть каждого z_я−z_я−1 лежит в открытом положительном времениподобном конусе. Переставляя переменные, получаем п! различные функции Вайтмана, определенные в п! разные клинья. Применяя теорему о ребре клина (с ребром, заданным набором вполне пространственноподобных точек), можно вывести, что все функции Вайтмана являются аналитическими продолжениями одной и той же голоморфной функции, определенной на связной области, содержащей все п! клинья. (Равенство граничных значений на краю, необходимое для применения теоремы о краю клина, следует из аксиомы локальности квантовой теории поля.)

Связь с гиперфункциями

Теорема об острие клина имеет естественную интерпретацию на языке гиперфункции. А гиперфункция представляет собой примерно сумму граничных значений голоморфные функции, и также может рассматриваться как нечто вроде «распределения бесконечного порядка». В аналитический набор фронта волны гиперфункции в каждой точке является конусом в котангенс пространство этой точки, и ее можно рассматривать как описание направлений, в которых движется сингулярность в этой точке.

В теореме о крае клина мы имеем распределение (или гиперфункцию) ж на ребре, заданном как граничные значения двух голоморфных функций на двух клиньях. Если гиперфункция является граничным значением голоморфной функции на клине, то ее аналитическое множество волновых фронтов лежит в двойственном к соответствующему конусу. Итак, набор аналитических волновых фронтов ж лежит в двойниках двух противоположных конусов. Но пересечение этих двойников пусто, поэтому набор аналитических волновых фронтов ж пусто, что означает, что ж аналитический. Это теорема об острие клина.

В теории гиперфункций существует распространение теоремы о ребре клина на случай, когда клинья несколько вместо двух, называемое Теорема Мартино об острие клина. Посмотреть книгу Хёрмандер для подробностей.

Заметки

1. Владимиров, В.С. (1966), Методы теории функций многих комплексных переменных, Кембридж, Массачусетс: M.I.T. Нажмите
2. Владимиров В.С., В. В. Жаринов, А. Г. Сергеев (1994). "Теорема Боголюбова о «острие клина», ее развитие и приложения. ", Русская математика. Обзоры, 49(5): 51—65.
3. Боголюбов, Н.; Медведев, Б. В .; Поливанов, М. К. (1958), Проблемы теории дисперсионных соотношений, Принстон: Институт перспективных исследований Press
4. Jost, R .; Леманн, Х. (1957). «Интеграл-Дарстеллунг каусалер Коммутаторен». Nuovo Cimento. 5 (6): 1598–1610. Bibcode:1957NCim .... 5.1598J. Дои:10.1007 / BF02856049.
5. Рудин 1971
6. Streater & Wightman 2000
7. Хёрмандер 1990, стр. 63–65,343–344
8. Беренштейн и Гей 1991, стр. 256–265
9. Хёрмандер 1990, стр. 63–66
10. Хёрмандер 1990, п. 63,81,110

использованная литература

• Беренштейн, Карлос А .; Гей, Роджер (1991), Комплексные переменные: введение, Выпускные тексты по математике, 125 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-97349-4

дальнейшее чтение

• Боголюбов, Н.; Логунов, А.А .; Тодоров, И. (1975), Введение в аксиоматическую квантовую теорию поля, Серия монографий по математической физике, 18, Ридинг, Массачусетс: В.А. Бенджамин, ISBN  978-0-8053-0982-9, Zbl  1114.81300.
• Боголюбов, Н.; Логунов, А.А .; Оксак, А.И .; И.Т., Тодоров (1990), Общие принципы квантовой теории поля, Математическая физика и прикладная математика, 10, Дордрехт -Бостон -Лондон: Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-0-7923-0540-8, Zbl  0732.46040

Связь с гиперфункциями описана в:

• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, 256 (2-е изд.), Берлин -Гейдельберг -Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-52343-9, Zbl  0712.35001.
• Рудин, Вальтер (1971), Лекции по теореме об острие клина, Серия региональных конференций CMBS по математике, 6, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1655-4, Г-Н  0310288, Zbl  0214.09001

По поводу применения теоремы о краю клина к квантовой теории поля см .:

• Streater, R.F.; Вайтман, А. (2000), PCT, спин, статистика и все такое, Принстонские вехи в математике и физике (изд. 1978 г.), Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-07062-9, Zbl  1026.81027

• Владимиров, В. (2001) [1994], «Теорема Боголюбова», Энциклопедия математики, EMS Press