Гиперфункция - Hyperfunction

В математика, гиперфункции являются обобщениями функций, как «прыжок» с одного голоморфная функция другому на границе, и неформально может рассматриваться как распределения бесконечного порядка. Гиперфункции были введены Микио Сато в 1958 на японском языке, (1959, 1960 на английском языке), основываясь на более ранней работе Лоран Шварц, Гротендик и другие.

Формулировка

Гиперфункцию на действительной прямой можно представить как «различие» между одной голоморфной функцией, определенной на верхней полуплоскости, и другой на нижней полуплоскости. То есть гиперфункция задается парой (ж, грамм), куда ж - голоморфная функция в верхней полуплоскости и грамм - голоморфная функция в нижней полуплоскости.

Неформально гиперфункция - вот в чем разница ${\displaystyle f-g}$ будет на самой реальной линии. На это различие не влияет добавление одной и той же голоморфной функции к обоим ж и грамм, поэтому, если h - голоморфная функция в целом комплексная плоскость, гиперфункции (ж, грамм) и (ж + час, грамм + час) определены как эквивалентные.

Определение в одном измерении

Мотивацию можно конкретно реализовать, используя идеи из когомологии пучков. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ быть пучок из голоморфные функции на ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ Определите гиперфункции на реальная линия как первый локальные когомологии группа:

${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )=H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}}).}$

Конкретно пусть ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}}$ и ${\displaystyle \mathbb {C} ^{-}}$ быть верхняя полуплоскость и нижняя полуплоскость соответственно. потом ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}\cup \mathbb {C} ^{-}=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} }$ так

${\displaystyle H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}})=\left[H^{0}(\mathbb {C} ^{+},{\mathcal {O}})\oplus H^{0}(\mathbb {C} ^{-},{\mathcal {O}})\right]/H^{0}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}}).}$

Поскольку группа нулевых когомологий любого пучка - это просто глобальные сечения этого пучка, мы видим, что гиперфункция - это пара голоморфных функций, каждая из которых находится на верхней и нижней комплексной полуплоскости по модулю целых голоморфных функций.

В более общем плане можно определить ${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$ для любого открытого набора ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ как частное ${\displaystyle H^{0}({\tilde {U}}\setminus U,{\mathcal {O}})/H^{0}({\tilde {U}},{\mathcal {O}})}$ куда ${\displaystyle {\tilde {U}}\subseteq \mathbb {C} }$ любой открытый набор с ${\displaystyle {\tilde {U}}\cap \mathbb {R} =U}$. Можно показать, что это определение не зависит от выбора ${\displaystyle {\tilde {U}}}$ это дает еще один повод думать о гиперфункциях как о «граничных значениях» голоморфных функций.

Примеры

• Если ж - любая голоморфная функция на всей комплексной плоскости, то ограничение ж к действительной оси является гиперфункцией, представленной либо (ж, 0) или (0, -ж).
• В Ступенчатая функция Хевисайда можно представить как

${\displaystyle H(x)=\left(-{\tfrac {1}{2\pi i}}\log(z),-{\tfrac {1}{2\pi i}}\log(z)-1\right).}$

• В Дельта Дирака «функция» представлен

${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2\pi iz}},{\tfrac {1}{2\pi iz}}\right).}$

Это действительно повторение Интегральная формула Коши. Чтобы проверить это, можно вычислить интегрирование ж чуть ниже реальной линии и вычесть интеграцию грамм чуть выше реальной линии - слева направо. Обратите внимание, что гиперфункция может быть нетривиальной, даже если компоненты являются аналитическим продолжением одной и той же функции. Также это легко проверить, дифференцируя функцию Хевисайда.

• Если грамм это непрерывная функция (или в более общем смысле распределение ) на вещественной прямой с опорой, содержащейся в ограниченном интервале я, тогда грамм соответствует гиперфункции (ж, −ж), куда ж является голоморфной функцией на дополнении к я определяется

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{x\in I}g(x){\frac {1}{z-x}}\,dx.}$

Эта функция ж подскакивает в цене на грамм(Икс) при пересечении действительной оси в точке Икс. Формула для ж следует из предыдущего примера записью грамм как свертка самого себя с дельта-функцией Дирака.

• Используя разбиение единицы, любую непрерывную функцию (распределение) можно записать в виде локально конечной суммы функций (распределений) с компактным носителем. Это может быть использовано для расширения вышеупомянутого вложения до вложения ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )\to {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).}$
• Если ж - любая функция, голоморфная всюду, кроме существенная особенность при 0 (например, е^1/z), тогда ${\displaystyle (f,-f)}$ является гиперфункцией с поддерживать 0 это не раздача. Если ж имеет полюс конечного порядка в 0, то ${\displaystyle (f,-f)}$ это распределение, поэтому когда ж имеет существенную особенность, то ${\displaystyle (f,-f)}$ выглядит как «распределение бесконечного порядка» при 0. (Обратите внимание, что распределения всегда имеют конечный заказать в любой момент.)

Операции над гиперфункциями

Позволять ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ быть любым открытым подмножеством.

• По определению ${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$ является векторным пространством, в котором корректно определены сложение и умножение с комплексными числами. Ясно:

${\displaystyle a(f_{+},f_{-})+b(g_{+},g_{-}):=(af_{+}+bg_{+},af_{-}+bg_{-})}$

• Карты очевидных ограничений поворачивают ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ в пучок (что на самом деле дряблый ).
• Умножение на вещественные аналитические функции ${\displaystyle h\in {\mathcal {O}}(U)}$ и дифференциация четко определены:

${\displaystyle {\begin{aligned}h(f_{+},f_{-})&:=(hf_{+},hf_{-})\\[6pt]{\frac {d}{dz}}(f_{+},f_{-})&:=\left({\frac {df_{+}}{dz}},{\frac {df_{-}}{dz}}\right)\end{aligned}}}$

С этими определениями ${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$ становится D-модуль и вложение ${\displaystyle {\mathcal {D}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}}$ является морфизмом D-модулей.

• Точка ${\displaystyle a\in U}$ называется голоморфная точка из ${\displaystyle f\in {\mathcal {B}}(U)}$ если ${\displaystyle f}$ ограничивается действительной аналитической функцией в некоторой малой окрестности ${\displaystyle a.}$ Если ${\displaystyle a\leqslant b}$ - две голоморфные точки, то интегрирование корректно:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f:=-\int _{\gamma _{+}}f_{+}(z)\,dz+\int _{\gamma _{-}}f_{-}(z)\,dz}$

куда ${\displaystyle \gamma _{\pm }:[0,1]\to \mathbb {C} ^{\pm }}$ - произвольные кривые с ${\displaystyle \gamma _{\pm }(0)=a,\gamma _{\pm }(1)=b.}$ Интегралы не зависят от выбора этих кривых, поскольку верхняя и нижняя полуплоскости односвязный.

• Позволять ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}(U)}$ - пространство гиперфункций с компактным носителем. Через билинейную форму

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {B}}_{c}(U)\times {\mathcal {O}}(U)\to \mathbb {C} \\(f,\varphi )\mapsto \int f\cdot \varphi \end{cases}}}$

каждой гиперфункции с компактным носителем ставится в соответствие непрерывная линейная функция на ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U).}$ Это индуцирует отождествление двойственного пространства, ${\displaystyle {\mathcal {O}}'(U),}$ с ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}(U).}$ Особый случай, заслуживающий рассмотрения, - это случай непрерывных функций или распределений с компактным носителем: если рассматривать ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$ (или же ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U)}$) как подмножество ${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$ с помощью указанного выше вложения, то это точно вычисляет традиционный интеграл Лебега. Кроме того: если ${\displaystyle u\in {\mathcal {E}}'(U)}$ это дистрибутив с компактной поддержкой, ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {O}}(U)}$ - вещественная аналитическая функция, а ${\displaystyle \operatorname {supp} (u)\subset (a,b)}$ тогда

${\displaystyle \int _{a}^{b}u\cdot \varphi =\langle u,\varphi \rangle .}$

Таким образом, это понятие интеграции придает точный смысл формальным выражениям вроде

${\displaystyle \int _{a}^{b}\delta (x)\,dx}$

которые в обычном смысле не определены. Более того: поскольку вещественные аналитические функции плотны в ${\displaystyle {\mathcal {E}}(U),{\mathcal {E}}'(U)}$ является подпространством ${\displaystyle {\mathcal {O}}'(U)}$. Это альтернативное описание того же вложения ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}}$.

• Если ${\displaystyle \Phi :U\to V}$ реальная аналитическая карта между открытыми множествами ${\displaystyle \mathbb {R} }$, затем композиция с ${\displaystyle \Phi }$ является четко определенным оператором из ${\displaystyle {\mathcal {B}}(V)}$ к ${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$:

${\displaystyle f\circ \Phi :=(f_{+}\circ \Phi ,f_{-}\circ \Phi )}$

Смотрите также

• Алгебраический анализ
• Обобщенная функция
• Распределение (математика)
• Микролокальный анализ
• Псевдодифференциальный оператор
• Когомологии пучков

Рекомендации

• Имаи, Исао (2012) [1992], Прикладная теория гиперфункций, Математика и ее приложения (Книга 8), Springer, ISBN  978-94-010-5125-5.
• Канеко, Акира (1988), Введение в теорию гиперфункций, Математика и ее приложения (Книга 3), Springer, ISBN  978-90-277-2837-1
• Кашивара, Масаки; Кавай, Такахиро; Кимура, Тацуо (2017) [1986], Основы алгебраического анализа, Princeton Legacy Library (Book 5158), PMS-37, переведено Като, Горо (переиздание), Princeton University Press, ISBN  978-0-691-62832-5
• Komatsu, Hikosaburo, ed. (1973), Гиперфункции и псевдодифференциальные уравнения, Труды конференции в Катате, 1971 г., Конспект лекций по математике 287, Springer, ISBN  978-3-540-06218-9.
  • Комацу, Хикосабуро, Относительные когомологии пучков решений дифференциальных уравнений, стр. 192–261.
  • Сато, Микио; Кавай, Такахиро; Кашивара, Масаки, Микрофункции и псевдодифференциальные уравнения, стр. 265–529. - Это называется СКК.
• Мартино, Андре (1960–1961), Les hyperfonctions de M. Sato, Séminaire Bourbaki, Том 6 (1960-1961), Exposé no. 214, г. МИСТЕР  1611794, Zbl  0122.34902.
• Моримото, Мицуо (1993), Введение в гиперфункции Сато, Переводы математических монографий (книга 129), Американское математическое общество, ISBN  978-0-82184571-4.
• Фам, Ф. Л., изд. (1975), Гиперфункции и теоретическая физика, Rencontre de Nice, 21-30 мая 1973 г., Конспект лекций по математике 449, Springer, ISBN  978-3-540-37454-1.
  • Сересо, А .; Piriou, A .; Чазарайн, Дж., Введение в дополнительные гиперфункции, стр. 1–53.
• Сато, Микио (1958), "Cyōkansū no riron (Теория гиперфункций)", Сугаку (на японском языке), Математическое общество Японии, 10 (1): 1–27, Дои:10.11429 / sugaku1947.10.1, ISSN  0039-470X
• Сато, Микио (1959), "Теория гиперфункций, I", Журнал факультета естественных наук Токийского университета. Разд. 1, математика, астрономия, физика, химия, 8 (1): 139–193, HDL:2261/6027, МИСТЕР  0114124.
• Сато, Микио (1960), "Теория гиперфункций, II", Журнал факультета естественных наук Токийского университета. Разд. 1, математика, астрономия, физика, химия, 8 (2): 387–437, HDL:2261/6031, МИСТЕР  0132392.
• Шапира, Пьер (1970), Теории гиперфункций, Конспект лекций по математике 126, Springer, ISBN  978-3-540-04915-9.
• Шлихткрулл, Хенрик (2013) [1984], Гиперфункции и гармонический анализ на симметричных пространствах, Progress in Mathematics (Репринт в мягкой обложке оригинального 1-го издания), Springer, ISBN  978-1-4612-9775-8

внешняя ссылка

• Джейкобс, Брайан. «Гиперфункция». MathWorld.
• Канеко, А. (2001) [1994], «Гиперфункция», Энциклопедия математики, EMS Press