Модель Ферми – Улама - Fermi–Ulam model

В Модель Ферми – Улама (ФУМ) это динамическая система это было введено Польский математик Станислав Улам в 1961 г.

ФУМ - это вариант Энрико Ферми основная работа по ускорению космические лучи, а именно Ферми ускорение. Система состоит из частицы, которая упруго сталкивается между неподвижной стенкой и движущейся стенкой, каждая из которых имеет бесконечную массу. Стены представляют собой магнитные зеркала с чем космические частицы столкнуться.

А. Дж. Лихтенберг и М. А. Либерман представили упрощенную версию FUM (SFUM), которая происходит от Поверхность Пуанкаре сечения ${\displaystyle x=const.}$ и пишет

${\displaystyle u_{n+1}=|u_{n}+U_{\mathrm {wall} }(\varphi _{n})|}$

${\displaystyle \varphi _{n+1}=\varphi _{n}+{\frac {kM}{u_{n+1}}}{\pmod {k}},}$

где ${\displaystyle u_{n}}$ - скорость частицы после ${\displaystyle n}$-ое столкновение с неподвижной стеной, ${\displaystyle \varphi _{n}}$ - соответствующая фаза движущейся стенки, ${\displaystyle U_{\mathrm {wall} }}$ - закон скорости движущейся стенки и ${\displaystyle M}$ - параметр стохастичности системы.

Если закон скорости движущейся стенки достаточно дифференцируем, согласно КАМ теорема инвариантные кривые в фазовом пространстве ${\displaystyle (\varphi ,u)}$ существует. Эти инвариантные кривые действуют как барьеры, которые не позволяют частице далее ускоряться, и средняя скорость популяции частиц насыщается после конечных итераций карты. Например, для закона синусоидальной скорости движущейся стенки такие кривые существуют, а для закона пилообразной скорости, который является разрывным, их нет. Следовательно, в первом случае частицы не могут ускоряться бесконечно, в отличие от того, что происходит в последнем случае.

ФУМ с годами стал прототипом модели для изучения нелинейной динамики и связанные отображения.

Строгое решение задачи Ферми-Улама (скорость и энергия частицы ограничены) впервые было дано Л. Д. Пустыльниковым в работе ^[1] (смотрите также ^[2] и ссылки там).

Несмотря на эти отрицательные результаты, если рассматривать модель Ферми – Улама в рамках специальной теории относительности, то при некоторых общих условиях энергия частицы стремится к бесконечности для открытого набора начальных данных.^[3]

2D обобщение

Хотя 1D FUM не приводит к ускорению для плавных колебаний, в 2D наблюдался неограниченный рост энергии. бильярд с колеблющимися границами,^[4][5][6] Темп роста энергии в хаотичный бильярд оказывается намного больше, чем в бильярде, который интегрируемый в статическом пределе.

Сильно хаотический бильярд с колеблющейся границей может служить парадигмой управляемых хаотических систем.^[7] На экспериментальной арене эта тема возникает в теории ядерное трение^[8],^[9] и совсем недавно в исследованиях холодных атомов, захваченных в оптический бильярд.^[10] Вождение вызывает диффузию энергии,^[11][12] и, следовательно, коэффициент поглощения определяется формулой Кубо.^{[13][14][15][16]}

использованная литература

1. Л.Д. Пустыльников, (1983). По проблеме улама. Теорет. Матем. Физ.57, 128-132. Англ. перевод в Теорет. Математика. Phys. 57.
2. Л. Д. Пустыльников (1995). «Модели Пуанкаре, строгое обоснование второго начала термодинамики из механики и механизм ускорения Ферми». Русская математика. Обзоры. 50 (1): 145–189. Bibcode:1995RuMaS..50..145P. Дои:10.1070 / RM1995v050n01ABEH001663.
3. Л. Д. Пустыльников (1988). «Новый механизм ускорения частиц и релятивистский аналог модели Ферми-Улама». Теорет. Математика. Phys. 77 (1): 1110–1115. Bibcode:1988ТМП .... 77.1110П. Дои:10.1007 / BF01028687.
4. Лоскутов А., Рябов А. Б., Акиньшин Л. Г. (2000). «Свойства некоторых хаотических биллиардов с зависящими от времени границами». J. Phys. A: Математика. Gen. 33 (44): 7973. Bibcode:2000JPhA ... 33.7973L. Дои:10.1088/0305-4470/33/44/309.
5. Гельфрейх В., Тураев Д. (2008). «Ускорение Ферми в неавтономном бильярде». J. Phys. A: Математика. Теор. 41 (21): 212003. Bibcode:2008JPhA ... 41u2003G. Дои:10.1088/1751-8113/41/21/212003.
6. Ф. Ленц; Ф. К. Дьяконос; П. Шмельхер (2008). "Настраиваемое ускорение Ферми в управляемом эллиптическом бильярде". Phys. Rev. Lett. 100 (1): 014103. arXiv:0801.0641. Bibcode:2008PhRvL.100a4103L. Дои:10.1103 / PhysRevLett.100.014103. PMID  18232773.
7. Управляемые хаотические мезоскопические системы, диссипация и декогеренция, в Трудах 38-й Зимней школы теоретической физики в Карпаче, под редакцией П. Гарбачевского и Р. Олькевича (Springer, 2002). https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403061
8. D.H.E. Гросс (1975). «Теория ядерного трения». Nucl. Phys. А. 240 (3): 472–484. Bibcode:1975НуФА.240..472Г. Дои:10.1016 / 0375-9474 (75) 90305-X.
9. Блоки Дж., Боне Й., Никс Дж. Р., Рандруп Дж., Робель М., Сирк А. Дж., Святецки В. Дж. (1978). «Однотельная диссипация и сверхвязкость ядер». Анна. Phys. 113 (2): 330. Bibcode:1978АнФи.113..330Б. Дои:10.1016/0003-4916(78)90208-7.
10. Фридман Н., Каплан А., Карассо Д., Дэвидсон Н. (2001). «Наблюдение хаотической и регулярной динамики в бильярде с атомной оптикой». Phys. Rev. Lett. 86 (8): 1518–21. Bibcode:2001ПхРвЛ..86.1518Ф. Дои:10.1103 / Physrevlett.86.1518. PMID  11290182.
11. Э. Отт (1979). «Доброта эргодических адиабатических инвариантов». Phys. Rev. Lett. 42 (24): 1628–1631. Bibcode:1979ПхРвЛ..42.1628О. Дои:10.1103 / PhysRevLett.42.1628.
12. Р. Браун; Э. Отт; К. Гребоги (1987). «Эргодические адиабатические инварианты хаотических систем». Phys. Rev. Lett. 59 (11): 1173–1176. Bibcode:1987ПхРвЛ..59.1173Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.59.1173. PMID  10035162.
13. Уилкинсон М (1988). «Статистические аспекты диссипации на переходах Ландау-Зинера». J. Phys. А. 21 (21): 4021. Bibcode:1988JPhA ... 21,4021 Вт. Дои:10.1088/0305-4470/21/21/011.
14. Коэн Д. (2000). "Хаос и распространение энергии для гамильтонианов, зависящих от времени, и различные режимы в теории квантовой диссипации". Анналы физики. 283 (2): 175. arXiv:cond-mat / 9902168. Bibcode:2000AnPhy.283..175C. Дои:10.1006 / aphy.2000.6052.
15. Барнетт А., Коэн Д., Хеллер Э.Дж. (2000). «Деформации и расширения хаотических бильярдов: скорость рассеяния и квазиортогональность граничных волновых функций». Phys. Rev. Lett. 85 (7): 1412–5. arXiv:nlin / 0003018. Bibcode:2000ПхРвЛ..85.1412Б. Дои:10.1103 / Physrevlett.85.1412. PMID  10970517.
16. Барнетт А., Коэн Д., Хеллер Э.Дж. (2001). «Скорость поглощения энергии движущейся хаотической полостью». J. Phys. А. 34 (3): 413–438. arXiv:nlin / 0006041. Bibcode:2001JPhA ... 34..413B. Дои:10.1088/0305-4470/34/3/308.

внешние ссылки

• Регулярная и хаотическая динамика: Широко известная научная книга о ФУМ, написанная А. Дж. Лихтенбергом и М. А. Либерманом (Appl. Математика. Sci. том 38) (Нью-Йорк: Springer).