Теорема Колмогорова – Арнольда – Мозера. - Kolmogorov–Arnold–Moser theorem

В Колмогоров – Арнольд – Мозер (КАМ) теорема это результат динамические системы о сохранении квазипериодических движений при малых возмущениях. Теорема частично разрешает проблема малого делителя что возникает в теория возмущений из классическая механика.

Проблема в том, действительно ли небольшое возмущение консервативный динамическая система приводит к длительному квазипериодический орбита. Первоначальный прорыв в этой проблеме был сделан Андрей Колмогоров в 1954 г.^[1] Это было строго доказано и расширено Юрген Мозер в 1962 г.^[2] (для гладких поворотные карты ) и Владимир Арнольд в 1963 г.^[3] (для аналитических Гамильтоновы системы ), и общий результат известен как теорема КАМ.

Арнольд первоначально думал, что эту теорему можно применить к движениям Солнечная система или другие экземпляры $п$ проблема тела, но оказалось, что работает только на проблема трех тел из-за вырождение в его постановке задачи для большего числа тел. Потом, Габриэлла Пинзари показал, как устранить это вырождение, развив инвариантную относительно вращения версию теоремы.^[4]

Заявление

Интегрируемые гамильтоновы системы

Теорема КАМ обычно формулируется в терминах траекторий в фазовое пространство из интегрируемый Гамильтонова система.Движение интегрируемая система ограничивается инвариантный тор (а пончик -образная поверхность). Разные первоначальные условия из интегрируемый Гамильтонова система будет отслеживать разные инварианты тори в фазовом пространстве. Построение координат интегрируемой системы показало бы, что они квазипериодичны.

Возмущения

Теорема КАМ утверждает, что если система подвергается слабому нелинейное возмущение, некоторые из инвариантных торов деформируются и выживают^{[требуется разъяснение ]}, а другие уничтожены.^{[требуется разъяснение ]} Выжившие торы встречают нерезонансное состояние, т.е. имеют «достаточно иррациональные» частоты. Это означает, что движение^{[который? ]} продолжает быть квазипериодический, с изменением независимых периодов (вследствие условия невырожденности). Теорема КАМ количественно определяет уровень возмущения, которое можно применить, чтобы это было правдой.

Те КАМ-торы, которые разрушаются возмущением, становятся инвариантными. Канторовские наборы, названный Кантори к Ян С. Персиваль в 1979 г.^[5]

Условия нерезонансности и невырожденности теоремы КАМ становятся все труднее выполнять для систем с большим количеством степеней свободы. По мере увеличения числа измерений системы объем, занимаемый торами, уменьшается.

По мере увеличения возмущения и распада плавных кривых мы переходим от теории КАМ к Теория Обри – Мазера который требует менее строгих гипотез и работает с канторовскими множествами.

Существование КАМ-теоремы для возмущений квантовых интегрируемых систем многих тел все еще остается открытым вопросом, хотя считается, что сколь угодно малые возмущения разрушат интегрируемость в пределе бесконечного размера.

Последствия

Важным следствием теоремы КАМ является то, что при большом наборе начальных условий движение остается постоянно квазипериодическим.^{[который? ]}

Теория КАМ

Методы, введенные Колмогоровым, Арнольдом и Мозером, превратились в большой массив результатов, связанных с квазипериодическими движениями, которые теперь известны как Теория КАМ. Примечательно, что он был распространен на негамильтоновы системы (начиная с Мозера), на непертурбативные ситуации (как в работе Майкл Герман ) и системам с быстрыми и медленными частотами (как в работе Михаил Борисович Севрюк ).

Смотрите также

Примечания

^ Колмогоров А. Н. О сохранении условно-периодических движений при малом возмущении гамильтона [О сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона] » Докл. Акад. Наук ССР 98 (1954).
^ Дж. Мозер, "Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь", Nachr. Акад. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II 1962 (1962), 1–20.
^ В. И. Арнольд, «Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно периодических движений при малом возмущении гамильтониана [Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике]», Успехи матем. Наук 18 (1963) (англ. Пер .: Русь. Математика. Surv. 18, 9--36, DOI: 10.1070 / RM1963v018n05ABEH004130).
^ Хесин Борис (24 октября 2011 г.), Коллиандер, Джеймс (ред.), «Приложение к Мемориальной мастерской Арнольда: Хесин о выступлении Пинзари», Блог Джеймса Коллиандера, заархивировано из оригинал 29 марта 2017 г., получено 29 марта, 2017
^ Персиваль, I.C (1979-03-01). «Вариационный принцип для инвариантных торов фиксированной частоты». Журнал физики A: математические и общие. 12 (3): L57 – L60. Bibcode:1979JPhA ... 12L..57P. Дои:10.1088/0305-4470/12/3/001.