Дизайн фильтра - Filter design

«Теория фильтров» перенаправляется сюда. Теорию выбора партнера см. Теория фильтров (социология).

Дизайн фильтра это процесс проектирования фильтр обработки сигналов который удовлетворяет ряду требований, некоторые из которых противоречивы. Цель состоит в том, чтобы найти реализацию фильтра, которая удовлетворяет каждому из требований в достаточной степени, чтобы сделать его полезным.

Процесс проектирования фильтра можно описать как проблему оптимизации, где каждое требование вносит вклад в функцию ошибок, которую следует минимизировать. Некоторые части процесса проектирования можно автоматизировать, но обычно опытный инженер-электрик нужен для получения хорошего результата.

Типовые требования к конструкции

Типичные требования, которые учитываются в процессе проектирования:

• Фильтр должен иметь определенный частотный отклик
• Фильтр должен иметь определенный сдвиг фазы или групповая задержка
• Фильтр должен иметь определенный импульсивный ответ
• Фильтр должен быть причинный
• Фильтр должен быть стабильный
• Фильтр должен быть локализованным (импульсные или ступенчатые входы должны приводить к конечным временным выходам)
• Вычислительная сложность фильтра должна быть низкой.
• Фильтр должен быть реализован в конкретном аппаратном или программном обеспечении.

Частотная функция

Важно параметр требуется частотный отклик В частности, крутизна и сложность кривой отклика являются решающим фактором для порядка фильтрации и осуществимости.

Первого порядка рекурсивный фильтр будет иметь только один частотно-зависимый компонент. Это означает, что склон АЧХ ограничивается 6 дБ на октава. Для многих целей этого недостаточно. Для получения более крутых склонов требуются фильтры более высокого порядка.

В отношении желаемой частотной функции может также присутствовать сопутствующий взвешивание функция, которая описывает для каждой частоты, насколько важно, чтобы результирующая частотная функция приближалась к желаемой. Чем больше вес, тем важнее приближение.

Типичные примеры частотной функции:

• А фильтр нижних частот используется для отсечения нежелательных высокочастотных сигналов.
• А фильтр высоких частот неплохо передает высокие частоты; он полезен как фильтр для отсечения нежелательных низкочастотных компонентов.
• А полосовой фильтр проходит ограниченный диапазон частот.
• А полосовой фильтр пропускает частоты выше и ниже определенного диапазона. Очень узкий полосовой фильтр известен как режекторный фильтр.
• А дифференциатор имеет амплитудный отклик, пропорциональный частоте.
• Фильтр нижних частот пропускает все частоты, но увеличивает или уменьшает частоты ниже частоты полки на заданную величину.
• Полочный фильтр верхних частот пропускает все частоты, но увеличивает или уменьшает частоты выше полочной на заданную величину.
• Пиковый фильтр эквалайзера создает пик или провал в частотной характеристике, обычно используемый в параметрические эквалайзеры.

Фазовая и групповая задержка

Основная статья: Групповая задержка и фазовая задержка

• Пропускной фильтр пропускает все частоты без изменений, но изменяет фазу сигнала. Фильтры этого типа могут использоваться для выравнивания групповой задержки рекурсивных фильтров. Этот фильтр также используется в эффекты фазера.
• А Преобразователь гильберта представляет собой специальный универсальный фильтр, который пропускает синусоиды с неизменной амплитудой, но сдвигает каждую фазу синусоиды на ± 90 °.
• Фильтр с дробной задержкой - это всепроходный фильтр, который имеет заданную и постоянную групповую или фазовую задержку для всех частот.

Импульсный ответ

Основная статья: Импульсивный ответ

Между частотной функцией фильтра и его импульсной характеристикой существует прямое соответствие: первая - это преобразование Фурье последнего. Это означает, что любое требование к частотной функции является требованием к импульсной характеристике и наоборот.

Однако в некоторых приложениях может быть явной импульсной характеристикой фильтра, и затем процесс проектирования направлен на получение как можно более близкого приближения к запрошенной импульсной характеристике с учетом всех других требований.

В некоторых случаях может быть даже уместным рассмотреть частотную функцию и импульсную характеристику фильтра, которые выбираются независимо друг от друга. Например, нам может понадобиться как конкретная частотная функция фильтра и чтобы результирующий фильтр имел по возможности небольшую эффективную ширину в области сигнала. Последнее условие может быть реализовано, если рассматривать очень узкую функцию как желаемую импульсную характеристику фильтра, даже если эта функция не имеет отношения к желаемой частотной функции. Затем цель процесса проектирования - реализовать фильтр, который пытается максимально удовлетворить обе эти противоречащие друг другу цели проектирования.

Причинно-следственная связь

Для реализации любой зависящий от времени фильтр (работающий в реальном времени) должен быть причинный: ответ фильтра зависит только от текущих и прошлых входов. Стандартный подход - оставить это требование до последнего шага. Если результирующий фильтр не является причинным, его можно сделать причинным путем введения соответствующего временного сдвига (или задержки). Если фильтр является частью более крупной системы (что обычно и является), эти типы задержек следует вводить с осторожностью, поскольку они влияют на работу всей системы.

Фильтры, которые не работают в реальном времени (например, для обработки изображений), могут быть непричинными. Это например позволяет создавать рекурсивные фильтры с нулевой задержкой, в которых групповая задержка причинного фильтра отменяется его эрмитовым непричинным фильтром.

Стабильность

А стабильный фильтр гарантирует, что каждый ограниченный входной сигнал производит ограниченный отклик фильтра. Фильтр, не отвечающий этому требованию, в некоторых ситуациях может оказаться бесполезным или даже вредным. Определенные подходы к проектированию могут гарантировать стабильность, например, используя только схемы прямой связи, такие как КИХ-фильтр. С другой стороны, фильтры на основе цепей обратной связи имеют другие преимущества и поэтому могут быть предпочтительнее, даже если этот класс фильтров включает нестабильные фильтры. В этом случае фильтры должны быть тщательно спроектированы, чтобы избежать нестабильности.

Местонахождение

В некоторых приложениях нам приходится иметь дело с сигналами, которые содержат компоненты, которые можно описать как локальные явления, например, импульсы или шаги, которые имеют определенную продолжительность времени. Следствием применения фильтра к сигналу является, если говорить интуитивно, продолжительность локальных явлений увеличивается на ширину фильтра. Это означает, что иногда важно, чтобы ширина функции импульсного отклика фильтра была как можно короче.

Согласно соотношению неопределенностей преобразования Фурье произведение ширины функции импульсного отклика фильтра и ширины его частотной функции должно превышать некоторую константу. Это означает, что любое требование к местоположению фильтра также подразумевает ограничение ширины его частотной функции. Следовательно, может оказаться невозможным одновременно удовлетворить требования к локализации функции импульсной характеристики фильтра, а также к его частотной функции. Это типичный пример противоречивых требований.

Вычислительная сложность

Общее стремление в любом проекте состоит в том, чтобы количество операций (сложения и умножения), необходимых для вычисления отклика фильтра, было как можно меньшим. В некоторых приложениях это требование является строгим требованием, например, из-за ограниченных вычислительных ресурсов, ограниченных ресурсов мощности или ограниченного времени. Последнее ограничение характерно для приложений реального времени.

Фильтр может иметь разную вычислительную сложность несколькими способами. Например, порядок фильтра более или менее пропорционален количеству операций. Это означает, что, выбрав фильтр нижнего порядка, можно сократить время вычислений.

Для дискретных фильтров вычислительная сложность более или менее пропорциональна количеству коэффициентов фильтра. Если фильтр имеет много коэффициентов, например, в случае многомерных сигналов, таких как данные томографии, может быть уместным уменьшить количество коэффициентов, удалив те, которые достаточно близки к нулю. В многоскоростных фильтрах - количество коэффициентов за счет использования пределов полосы пропускания, когда входной сигнал субдискретизируется (например, до его критической частоты) и повышается после фильтрации.

Другой вопрос, связанный с вычислительной сложностью, - это разделимость, то есть, можно ли и как можно записать фильтр как свертку двух или более простых фильтров. В частности, этот вопрос важен для многомерных фильтров, например, 2D-фильтров, которые используются при обработке изображений. В этом случае можно получить значительное снижение вычислительной сложности, если фильтр можно разделить как свертку одного одномерного фильтра в горизонтальном направлении и одного одномерного фильтра в вертикальном направлении. Результатом процесса проектирования фильтра может быть, например, аппроксимация некоторого желаемого фильтра как разделяемого фильтра или как сумма разделяемых фильтров.

Прочие соображения

Также необходимо решить, как будет реализован фильтр:

• Аналоговый фильтр
• Аналоговый дискретизированный фильтр
• Цифровой фильтр
• Механический фильтр

Аналоговые фильтры

Конструкция линейных аналоговых фильтров по большей части описана в линейный фильтр раздел.

Цифровые фильтры

Цифровые фильтры делятся на одну из двух основных форм в зависимости от того, как они реагируют на единичный импульс:

• Конечный импульсный отклик, или FIR, фильтры выражают каждую выходную выборку как взвешенную сумму последних N входные образцы, где N это порядок фильтра. КИХ-фильтры обычно не рекурсивны, то есть в них не используется обратная связь, и поэтому они по своей сути стабильны. А скользящая средняя фильтр или CIC фильтр являются примерами КИХ-фильтров, которые обычно рекурсивны (используют обратную связь). Если коэффициенты КИХ симметричны (что часто бывает), то такой фильтр линейная фаза, так что задержки сигналы всех частот одинаково, что важно во многих приложениях. Также просто избежать переполнения КИХ-фильтра. Главный недостаток в том, что они могут потребовать значительно больше обработка и объем памяти ресурсов, чем продуманные варианты IIR. КИХ-фильтры, как правило, проще в разработке, чем БИХ-фильтры. Алгоритм проектирования фильтра Паркса-Макклеллана (на основе Алгоритм Ремеза ) - один из подходящих методов полуавтоматической разработки неплохих фильтров. (Видеть Методология.)
• Бесконечный импульсный отклик, или IIR, фильтры являются цифровым аналогом аналоговых фильтров. Такой фильтр содержит внутреннее состояние, а выход и следующее внутреннее состояние определяются линейная комбинация предыдущих входов и выходов (другими словами, они используют Обратная связь, которых обычно нет в КИХ-фильтрах). Теоретически импульсная характеристика такого фильтра никогда не гаснет полностью, отсюда и название IIR, хотя на практике это неверно, учитывая конечное разрешение компьютерной арифметики. БИХ-фильтры обычно требуют меньше вычисление ресурсов, чем КИХ-фильтр аналогичной производительности. Однако из-за обратной связи БИХ-фильтры высокого порядка могут иметь проблемы с нестабильность, арифметическое переполнение, и предельные циклы, и требуют тщательного проектирования, чтобы избежать подобных ошибок. Кроме того, поскольку сдвиг фазы по своей сути является нелинейной функцией частоты, временная задержка через такой фильтр зависит от частоты, что может быть проблемой во многих ситуациях. БИХ-фильтры 2-го порядка часто называют 'биквады 'и обычная реализация фильтров более высокого порядка - каскадирование биквадов. Полезным справочным материалом для вычисления биквадратных коэффициентов является Поваренная книга RBJ Audio EQ.

Частота дискретизации

Если только частота дискретизации фиксируется некоторыми внешними ограничениями, выбор подходящей частоты дискретизации является важным дизайнерским решением. Высокая скорость потребует больше вычислительных ресурсов, но меньше - с точки зрения фильтры сглаживания. Вмешательство и избиение с другими сигналами в системе также может быть проблемой.

Сглаживание

Для любой конструкции цифрового фильтра крайне важно анализировать и избегать сглаживание эффекты. Часто это делается путем добавления аналоговых фильтров сглаживания на входе и выходе, что позволяет избежать любой частотной составляющей выше Частота Найквиста. Сложность (т.е. крутизна) таких фильтров зависит от требуемого сигнал-шум и соотношение между частота выборки и самая высокая частота сигнала.

Теоретические основы

Части проблемы проектирования связаны с тем фактом, что одни требования описаны в частотной области, а другие выражены в области сигналов, и что они могут противоречить. Например, невозможно получить фильтр, который имеет как произвольную импульсную характеристику, так и произвольную частотную функцию. Другие эффекты, которые относятся к отношениям между сигналом и частотной областью:

• Принцип неопределенности между сигнальной и частотной областями
• Теорема о продолжении дисперсии
• Асимптотика одной области по сравнению с разрывами в другой

Принцип неопределенности

Как заявил Предел Габора В соответствии с принципом неопределенности произведение ширины частотной функции и ширины импульсной характеристики не может быть меньше определенной константы. Это означает, что если запрашивается конкретная частотная функция, соответствующая определенной ширине частот, устанавливается минимальная ширина фильтра в области сигнала. И наоборот, если задана максимальная ширина отклика, это определяет наименьшую возможную ширину в частоте. Это типичный пример противоречивых требований, когда процесс разработки фильтра может попытаться найти полезный компромисс.

Теорема о продолжении дисперсии

Позволять ${\displaystyle \sigma _{s}^{2}}$ - дисперсия входного сигнала, и пусть ${\displaystyle \sigma _{f}^{2}}$ быть дисперсией фильтра. Дисперсия отклика фильтра, ${\displaystyle \sigma _{r}^{2}}$, тогда дается выражением

${\displaystyle \sigma _{r}^{2}}$ = ${\displaystyle \sigma _{s}^{2}}$ + ${\displaystyle \sigma _{f}^{2}}$

Это значит, что ${\displaystyle \sigma _{r}>\sigma _{f}}$ и подразумевает, что локализация различных функций, таких как импульсы или шаги в отклике фильтра, ограничена шириной фильтра в области сигнала. Если требуется точная локализация, нам нужен фильтр малой ширины в области сигнала, и, исходя из принципа неопределенности, его ширина в частотной области не может быть произвольно маленькой.

Разрывы против асимптотики

Позволять f (t) функция и пусть ${\displaystyle F(\omega )}$ - его преобразование Фурье. Существует теорема, которая утверждает, что если первая производная от F прерывистый имеет порядок ${\displaystyle n\geq 0}$, тогда ж имеет асимптотический распад типа ${\displaystyle t^{-n-1}}$.

Следствием этой теоремы является то, что частотная функция фильтра должна быть как можно более гладкой, чтобы его импульсный отклик имел быстрое затухание и, следовательно, короткую ширину.

Методология

Одним из распространенных методов проектирования КИХ-фильтров является Алгоритм проектирования фильтра Паркса-Макклеллана, на основе Алгоритм обмена Remez. Здесь пользователь указывает желаемый частотный отклик, весовую функцию для ошибок из этого отклика и порядок фильтрации. N. Затем алгоритм находит набор N коэффициенты, минимизирующие максимальное отклонение от идеала. Интуитивно это находит фильтр, который максимально приближен к желаемому ответу, учитывая, что вы можете использовать только N коэффициенты. Этот метод особенно прост на практике, и хотя бы один текст^[1] включает программу, которая берет нужный фильтр и N и возвращает оптимальные коэффициенты. Одним из возможных недостатков фильтров, разработанных таким образом, является то, что они содержат много мелких рябь в полосе (ах) пропускания, поскольку такой фильтр минимизирует пиковую ошибку.

Другой метод поиска дискретного КИХ-фильтра - оптимизация фильтра описанный в Knutsson et al., который минимизирует интеграл квадрата ошибки вместо ее максимального значения. В своей основной форме этот подход требует, чтобы идеальная частотная функция фильтра ${\displaystyle F_{I}(\omega )}$ указывается вместе с частотной весовой функцией ${\displaystyle W(\omega )}$ и набор координат ${\displaystyle x_{k}}$ в области сигнала, где расположены коэффициенты фильтра.

Функция ошибки ${\displaystyle \varepsilon }$ определяется как

${\displaystyle \varepsilon =\|W\cdot (F_{I}-{\mathcal {F}}\{f\})\|^{2}}$

где ${\displaystyle f(x)}$ - дискретный фильтр и ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ это преобразование Фурье с дискретным временем определяется по указанному набору координат. Используемая здесь норма формально является обычной нормой ${\displaystyle L^{2}}$ пробелы. Это значит, что ${\displaystyle \varepsilon }$ измеряет отклонение требуемой частотной функции фильтра, ${\displaystyle F_{I}}$, и фактическая частотная функция реализованного фильтра, ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}}$. Однако отклонение также зависит от весовой функции. ${\displaystyle W}$ до вычисления функции ошибок.

После того, как функция ошибок установлена, оптимальный фильтр задается коэффициентами ${\displaystyle f(x)}$ которые минимизируют ${\displaystyle \varepsilon }$. Это можно сделать, решив соответствующую задачу наименьших квадратов. На практике ${\displaystyle L^{2}}$ Норма должна быть аппроксимирована подходящей суммой по дискретным точкам в частотной области. В общем, однако, эти точки должны быть значительно больше, чем количество коэффициентов в области сигнала, чтобы получить полезное приближение.

Одновременная оптимизация в обоих доменах

Предыдущий метод может быть расширен за счет включения дополнительного члена ошибки, связанного с желаемой импульсной характеристикой фильтра в области сигнала, с соответствующей функцией взвешивания. Идеальная импульсная характеристика может быть выбрана независимо от функции идеальной частоты, и на практике она используется для ограничения эффективной ширины и устранения эффектов звона результирующего фильтра в области сигнала. Это достигается путем выбора узкой идеальной функции импульсного отклика фильтра, например, импульса, и весовой функции, которая быстро растет с расстоянием от начала координат, например, квадратом расстояния. Оптимальный фильтр по-прежнему может быть вычислен путем решения простой задачи наименьших квадратов, и тогда полученный фильтр представляет собой «компромисс», который имеет полное оптимальное соответствие идеальным функциям в обеих областях. Важным параметром является относительная сила двух весовых функций, которая определяет, в какой области более важно иметь хорошее соответствие по сравнению с идеальной функцией.

Смотрите также

• Цифровой фильтр
• Фильтр прототипа
• Конечная импульсная характеристика # Конструкция фильтра

использованная литература

1. Рабинер, Лоуренс Р. и Голд, Бернард, 1975: Теория и применение цифровой обработки сигналов (Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc.) ISBN  0-13-914101-4

• А. Антониу (1993). Цифровые фильтры: анализ, дизайн и приложения (2-е изд.). Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. ISBN  978-0-07-002117-4.
• А. Антониу (2006). Цифровая обработка сигналов: сигналы, системы и фильтры. Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. Дои:10.1036/0071454241. ISBN  978-0-07-145424-7.
• S.W.A. Берген; А. Антониу (2005). «Разработка нерекурсивных цифровых фильтров с использованием функции ультрасферического окна». Журнал EURASIP по прикладной обработке сигналов. 2005 (12): 1910. Дои:10.1155 / ASP.2005.1910.
• А.Г. Децкий (октябрь 1972 г.). «Синтез рекурсивных цифровых фильтров с использованием критерия минимальной p-ошибки». IEEE Trans. Аудио электроакустика. AU-20 (4): 257–263. Дои:10.1109 / TAU.1972.1162392.
• J.K. Кайзер (1974). "Нерекурсивный дизайн цифрового фильтра с использованием я₀-sinh Оконная функция ". Proc. 1974 IEEE Int. Symp. Теория схем (ISCAS74). Сан-Франциско, Калифорния. С. 20–23.
• Х. Кнутссон; М. Андерссон; Дж. Виклунд (июнь 1999 г.). «Расширенный дизайн фильтров». Proc. Скандинавский симпозиум по анализу изображений, Кангерлуссуак, Гренландия.
• С.К. Митра (1998). Цифровая обработка сигналов: компьютерный подход. Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. ISBN  978-0-07-286546-2.
• СРЕДНИЙ. Оппенгейм; Р. В. Шафер; Дж. Р. Бак (1999). Обработка сигналов в дискретном времени. Прентис-Холл, Верхняя Седл-Ривер, штат Нью-Джерси. ISBN  978-0-13-754920-7.
• T.W. Парки; J.H. Макклеллан (март 1972 г.). «Приближение Чебышева для нерекурсивных цифровых фильтров с линейной фазой». IEEE Trans. Теория схем. КТ-19 (2): 189–194. Дои:10.1109 / TCT.1972.1083419.
• L.R. Рабинер; J.H. Макклеллан; T.W. Парки (апрель 1975 г.). «Методы проектирования цифровых КИХ-фильтров с использованием взвешенного приближения Чебышева». Proc. IEEE. 63 (4): 595–610. Дои:10.1109 / PROC.1975.9794.

внешняя ссылка

• Обширный список статей и программного обеспечения по проектированию фильтров на сайте Circuit Sage
• Список программного обеспечения для проектирования цифровых фильтров в dspGuru
• Демистификация конструкции аналогового фильтра
• Учебник по цифровой обработке звука Yehar для безумцев! Эта статья просто объясняет (среди других тем) теорию дизайна фильтров и дает несколько примеров.