Алгебра Фурье - Fourier algebra

Фурье и связанные алгебры происходят естественно в гармонический анализ из локально компактный группы. Они играют важную роль в теории двойственности этих групп. Алгебра Фурье – Стилтьеса и преобразование Фурье – Стилтьеса на алгебре Фурье локально компактной группы были введены Пьер Эймар в 1964 г.

Определение

Неофициальный

Пусть G - локально компактная абелева группа и Ĝ группа двойная группа Г. Тогда ${displaystyle L_{1}({hat {mathit {G}}})}$ - пространство всех функций на, интегрируемых относительно Мера Хаара на Ĝ, и у него Банахова алгебра структура, в которой произведение двух функций свертка. Мы определяем ${displaystyle A(G)}$ быть набором преобразований Фурье функций из ${displaystyle L_{1}({hat {mathit {G}}})}$, и это замкнутая подалгебра в ${displaystyle CB(G)}$, пространство ограниченных непрерывных комплекснозначных функций на G с поточечным умножением. Мы называем ${displaystyle A(G)}$ алгебра Фурье Г.

Аналогично пишем ${displaystyle M({hat {mathit {G}}})}$ для алгебры меры на, имея в виду пространство всех конечных регулярных Борелевские меры на Ĝ. Мы определяем ${displaystyle B(G)}$ как множество преобразований Фурье-Стилтьеса мер в ${displaystyle M({hat {mathit {G}}})}$. Это замкнутая подалгебра в ${displaystyle CB(G)}$, пространство ограниченных непрерывных комплекснозначных функций на G с поточечным умножением. Мы называем ${displaystyle B(G)}$ алгебра Фурье-Стилтьеса Г. Эквивалентно, ${displaystyle B(G)}$ можно определить как линейную оболочку множества ${displaystyle P(G)}$ непрерывного положительно определенные функции на G.^[1]

С ${displaystyle L_{1}({hat {mathit {G}}})}$ естественно входит в ${displaystyle M({hat {mathit {G}}})}$, а поскольку преобразование Фурье-Стилтьеса ${displaystyle L_{1}({hat {mathit {G}}})}$ функция - это просто преобразование Фурье этой функции, мы имеем ${displaystyle A(G)subset B(G)}$. Фактически, ${displaystyle A(G)}$ замкнутый идеал в ${displaystyle B(G)}$.

Формальный

Позволять ${displaystyle B({mathit {G}})}$ - алгебра Фурье – Стилтьеса и ${displaystyle A({mathit {G}})}$ - алгебра Фурье такая, что локально компактная группа ${displaystyle {mathit {G}}}$ является абелевский. Позволять ${displaystyle M({widehat {mathit {G}}})}$ - алгебра мер конечных мер на ${displaystyle {widehat {G}}}$ и разреши ${displaystyle L_{1}({widehat {mathit {G}}})}$ быть сверточная алгебра из интегрируемый функции на ${displaystyle {widehat {G}}}$, куда ${displaystyle {widehat {mathit {G}}}}$ группа характеров абелевой группы ${displaystyle {mathit {G}}}$.

Преобразование Фурье – Стилтьеса конечной меры ${displaystyle mu }$ на ${displaystyle {widehat {mathit {G}}}}$ это функция ${displaystyle {widehat {mu }}}$ на ${displaystyle {mathit {G}}}$ определяется

${displaystyle {widehat {mu }}(x)=int _{widehat {G}}{overline {X(x)}},dmu (X),quad xin G}$

Космос ${displaystyle B({mathit {G}})}$ этих функций является алгеброй относительно поточечного умножения, изоморфной алгебре меры ${displaystyle M({widehat {mathit {G}}})}$. Ограниченный ${displaystyle L_{1}({widehat {mathit {G}}})}$, рассматриваемого как подпространство ${displaystyle M({widehat {mathit {G}}})}$преобразование Фурье – Стилтьеса есть преобразование Фурье на ${displaystyle L_{1}({widehat {mathit {G}}})}$ и ее образ по определению есть алгебра Фурье ${displaystyle A({mathit {G}})}$. Обобщенный Теорема Бохнера утверждает, что измеримая функция на ${displaystyle {mathit {G}}}$ равно, почти всюду, преобразованию Фурье – Стилтьеса неотрицательной конечной меры на ${displaystyle {widehat {G}}}$ тогда и только тогда, когда оно положительно определено. Таким образом, ${displaystyle B({mathit {G}})}$ можно определить как линейный пролет множества непрерывных положительно определенных функций на ${displaystyle {mathit {G}}}$. Это определение остается в силе, когда ${displaystyle {mathit {G}}}$ не абелева.

Теорема Хельсона – Кахана – Кацнельсона – Рудина.

Пусть A (G) - алгебра Фурье компактной группы G. Опираясь на работу Винер, Леви, Гельфанд, и Beurling, в 1959 г. Helson, Кахане, Кацнельсон, и Рудин доказал, что когда G компактна и абелева, функция f, определенная на замкнутом выпуклом подмножестве плоскости, действует в A (G) тогда и только тогда, когда f вещественно аналитична.^[2] В 1969 г. Дункл доказано, что результат верен, когда G компактна и содержит бесконечную абелеву подгруппу.

Рекомендации

1. Рено, Жан (2001) [1994], «Фурье-алгебра (2)», Энциклопедия математики, EMS Press
2. Х. Хельсон; Ж.-П. Кахане; Ю. Кацнельсон; В. Рудин (1959). «Функции, работающие с преобразованиями Фурье» (PDF). Acta Mathematica. 102 (1–2): 135–157. Дои:10.1007 / bf02559571. S2CID  121739671.

• "Функции, действующие в алгебре Фурье компактной группы" Чарльз Ф. Данкл Труды Американского математического общества, Vol. 21, No. 3. (Jun., 1969), pp. 540–544. Стабильный URL:[1]
• "Функции, действующие в алгебре Фурье дискретной группы" Леонед де Микеле; Паоло М. Соарди, Труды Американского математического общества, Vol. 45, No. 3. (сентябрь 1974 г.), стр. 389–392. Стабильный URL:[2]
• "Равномерные замыкания алгебр Фурье-Стилтьеса", Чинг Чжоу, Труды Американского математического общества, Vol. 77, № 1. (октябрь 1979 г.), стр. 99–102. Стабильный URL: [3]
• «Централизаторы алгебры Фурье аменабельной группы», П. Ф. Рено, Труды Американского математического общества, Vol. 32, No. 2. (апрель 1972 г.), стр. 539–542. Стабильный URL: [4]