Скрытый аттрактор - Hidden attractor

в теория бифуркации, ограниченный колебание рождающееся без потери устойчивости стационарного множества называется скрытое колебание. В нелинейное управление Согласно теории, рождение скрытых колебаний в неизменной во времени системе управления с ограниченными состояниями означает пересечение границы в области параметров, где локальная устойчивость стационарных состояний подразумевает глобальную устойчивость (см., например, Гипотеза Кальмана ). Если скрытое колебание (или набор таких скрытых колебаний, заполняющих компактное подмножество фазовое пространство из динамическая система ) притягивает все близкие колебания, то она называется скрытый аттрактор. Для динамическая система с уникальной точкой равновесия, которая является привлекательной во всем мире, рождение скрытого аттрактора соответствует качественному изменению поведения от моностабильности к би-устойчивости. В общем случае динамическая система может оказаться мультистабильный и сосуществуют местные аттракторы в фазовом пространстве. В то время как тривиальные аттракторы, т.е. стабильные точки равновесия, можно легко найти аналитически или численно, поиск периодический и хаотичный аттракторы могут оказаться сложной задачей (см., например, вторая часть 16-й проблемы Гильберта ).

Классификация аттракторов как скрытых или самовозбужденных

Чтобы идентифицировать локальный аттрактор в физическом или численном эксперименте, нужно выбрать начальное состояние системы в область притяжения аттрактора и наблюдайте, как состояние системы, начиная с этого начального состояния, после переходного процесса визуализирует аттрактор. В классификация аттракторов как скрытых или самовозбужденных отражают трудности выявления бассейнов притяжения и поиска местных аттракторы в фазовое пространство.

Определение.[1][2][3] Аттрактор называется скрытым аттрактором, если его область притяжения не пересекается с некоторой открытой окрестностью точек равновесия; в противном случае он называется самовозбуждающимся аттрактором.

Классификация аттракторов на скрытые или самовозбуждающиеся была введена Г. Леонов и Н. Кузнецов в связи с открытием скрытого Аттрактор Чуа [4][5][6][7]впервые в 2009 году. Аналогично, произвольное ограниченное колебание, не обязательно имеющее открытую окрестность в качестве области притяжения в фазовом пространстве, классифицируется как самовозбуждающееся или скрытое колебание.

Хаотичный самовозбуждающийся аттрактор (зеленый домен) в Система Чуа. Траектории с начальными данными в окрестностях двух седловых точек (синий) и нулевой точки равновесия (оранжевый) стремятся (зеленый) к аттрактору.
Хаотичный скрытый аттрактор (зеленый домен) в Система Чуа. Траектории с начальными данными в окрестностях двух седловых точек (синие) стремятся (красная стрелка) к бесконечности или стремятся (черная стрелка) к устойчивой нулевой точке равновесия (оранжевый).
Два скрытых хаотических аттрактора и один скрытый периодический аттрактор сосуществуют с двумя тривиальными аттракторами в схеме Чуа (из обложки IJBC[7])


Самовозбуждающиеся аттракторы

Для самовозбуждающегося аттрактора его область притяжения связана с неустойчивым равновесием, и, следовательно, самовозбуждающиеся аттракторы могут быть найдены численно с помощью стандартной вычислительной процедуры, в которой после переходного процесса траектория, начинающаяся в окрестности неустойчивое равновесие, притягивается к состоянию колебаний, а затем отслеживает его (см., например, автоколебание процесс). Таким образом, самовозбуждающиеся аттракторы, даже сосуществующие в случае мультистабильность, могут быть легко обнаружены и визуализированы численно. в Система Лоренца, для классических параметров аттрактор самовозбуждается по отношению ко всем существующим равновесиям и может визуализироваться по любой траектории из их окрестностей; однако для некоторых других значений параметров существуют два тривиальных аттрактора, сосуществующих с хаотическим аттрактором, который является самовозбуждающимся только относительно нулевого состояния равновесия. Классические аттракторы в Ван дер Поль, Белуосов – Жаботинский, Рёсслер, Чуа, Hénon динамические системы самовозбуждаются.

Предполагается, что Ляпуновская размерность самовозбужденного аттрактора не превышает ляпуновской размерности одного из неустойчивых состояний равновесия, неустойчивое многообразие которого пересекается с областью притяжения и визуализирует аттрактор.[8]

Скрытые аттракторы

У скрытых аттракторов есть бассейны притяжения, которые не связаны с равновесиями и «спрятаны» где-то в фазовом пространстве. Например, скрытые аттракторы являются аттракторами в системах без равновесия: вращающиеся электромеханические динамические системы с Эффект Зоммерфельда (1902), в системах только с одним устойчивым равновесием: например, контрпримеры к Гипотеза Айзермана (1949) и Гипотеза Кальмана (1957) о моностабильности нелинейных систем управления. Одна из первых связанных теоретических проблем - вторая часть вторая часть 16-й проблемы Гильберта о количестве и взаимном расположении предельных циклов в двумерных полиномиальных системах, где вложенные устойчивые предельные циклы являются скрытыми периодическими аттракторами. Представление о скрытом аттракторе стало катализатором открытия скрытых аттракторов во многих прикладных динамических моделях.[1][9][10]

В общем, проблема со скрытыми аттракторами заключается в том, что не существует каких-либо общих простых методов отслеживания или предсказания таких состояний для динамики системы (см., Например, [11]). В то время как для двумерных систем скрытые колебания можно исследовать аналитическими методами (см., Например, результаты вторая часть 16-й проблемы Гильберта ), для исследования устойчивости и колебаний в сложных нелинейных многомерных системах часто используются численные методы. В многомерном случае интегрирование траекторий со случайными начальными данными вряд ли обеспечит локализацию скрытого аттрактора, так как область притяжения может быть очень малым, а сама размерность аттрактора может быть намного меньше размерности рассматриваемой системы, поэтому для численной локализации скрытых аттракторов в многомерном пространстве необходимо разработать специальные аналитико-численные вычислительные процедуры,[1][12][8] которые позволяют выбрать начальные данные в области притяжения скрытых колебаний (не содержащей окрестностей положений равновесия), а затем произвести расчет траектории. Существуют соответствующие эффективные методы, основанные на гомотопия и числовое продолжение: строится последовательность подобных систем, такая, что для первой (стартовой) системы исходные данные для численного расчета колебательного решения (начального колебания) могут быть получены аналитически, а затем преобразование этого начального колебания при переходе от одной системы к за другим следует численно.

Рекомендации

  1. ^ а б c Леонов Г.А .; Кузнецов Н.В. (2013). «Скрытые аттракторы в динамических системах. От скрытых колебаний в задачах Гильберта-Колмогорова, Айзермана и Калмана до скрытых хаотических аттракторов в схемах Чуа». Международный журнал бифуркаций и хаоса в прикладных науках и технике. 23 (1): 1330002–219. Bibcode:2013IJBC ... 2330002L. Дои:10.1142 / S0218127413300024.
  2. ^ Брагин В.О .; Вагайцев В.И .; Кузнецов Н.В .; Леонов Г.А. (2011). "Алгоритмы поиска скрытых колебаний в нелинейных системах. Гипотезы Айзермана и Калмана и схемы Чуа" (PDF). Международный журнал компьютерных и системных наук. 50 (5): 511–543. Дои:10.1134 / S106423071104006X. S2CID  21657305.
  3. ^ Леонов, Г.А .; Кузнецов, Н.В .; Мокаев, Т. (2015). «Гомоклинические орбиты, а также самовозбуждающиеся и скрытые аттракторы в системе типа Лоренца, описывающей конвективное движение жидкости». Специальные темы Европейского физического журнала. 224 (8): 1421–1458. arXiv:1505.04729. Дои:10.1140 / epjst / e2015-02470-3. S2CID  119227870.
  4. ^ Кузнецов Н.В .; Леонов Г.А .; Вагайцев В.И. (2010). «Аналитико-численный метод локализации аттрактора обобщенной системы Чуа». Объемы разбирательств МФБ. 43 (11): 29–33. Дои:10.3182 / 20100826-3-TR-4016.00009.
  5. ^ Леонов Г.А .; Вагайцев В.И .; Кузнецов Н.В. (2011). «Локализация скрытых аттракторов Чуа» (PDF). Письма по физике. 375 (23): 2230–2233. Bibcode:2011ФЛА..375.2230Л. Дои:10.1016 / j.physleta.2011.04.037.
  6. ^ Леонов Г.А .; Вагайцев В.И .; Кузнецов Н.В. (2012). «Скрытый аттрактор в гладких системах Чуа» (PDF). Physica D. 241 (18): 1482–1486. Bibcode:2012PhyD..241.1482L. Дои:10.1016 / j.physd.2012.05.016.
  7. ^ а б Станкевич Н. В .; Кузнецов Н. В .; Леонов Г. А .; Чуа Л. (2017). «Сценарий рождения скрытых аттракторов в цепи Чуа». Международный журнал бифуркаций и хаоса в прикладных науках и технике. 27 (12): 1730038–188. arXiv:1710.02677. Bibcode:2017IJBC ... 2730038S. Дои:10.1142 / S0218127417300385. S2CID  45604334.
  8. ^ а б Кузнецов, Н.В .; Леонов, Г.А .; Мокаев, Т.Н .; Прасад, А .; Шримали, доктор медицины (2018). «Конечная ляпуновская размерность и скрытый аттрактор системы Рабиновича». Нелинейная динамика. 92 (2): 267–285. arXiv:1504.04723. Дои:10.1007 / s11071-018-4054-z. S2CID  54706479.
  9. ^ Кузнецов Н. В .; Леонов Г. А. (2014). «Скрытые аттракторы в динамических системах: системы без положений равновесия, мультистабильность и сосуществующие аттракторы». Сборники трудов МФБ (Материалы Всемирного конгресса МФБ). 47 (3): 5445–5454. Дои:10.3182 / 20140824-6-ZA-1003.02501.
  10. ^ Дудковски Д .; Джафари С .; Капитаняк Т .; Кузнецов Н. В .; Леонов Г. А .; Прасад А. (2016). «Скрытые аттракторы в динамических системах». Отчеты по физике (обзорный раздел писем по физике). 637: 1–50. Bibcode:2016ФР ... 637 .... 1Д. Дои:10.1016 / j.physrep.2016.05.002.
  11. ^ Кузнецов, Н.В .; Леонов, Г.А .; Юлдашев, М.В .; Юлдашев, Р. (2017). «Скрытые аттракторы в динамических моделях цепей ФАПЧ: ограничения моделирования в MATLAB и SPICE». Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании. 51: 39–49. Bibcode:2017CNSNS..51 ... 39K. Дои:10.1016 / j.cnsns.2017.03.010.
  12. ^ Chen, G .; Кузнецов, Н.В .; Леонов, Г.А .; Мокаев, Т. (2015). «Скрытые аттракторы на одном пути: системы Глуховского-Должанского, Лоренца, Рабиновича». Международный журнал бифуркаций и хаоса в прикладных науках и технике. 27 (8): ст. число 1750115. arXiv:1705.06183. Дои:10.1142 / S0218127417501152. S2CID  21425647.

внешняя ссылка