Неразложимое распределение - Indecomposable distribution

В теория вероятности, неразложимое распределение это распределение вероятностей что не может быть представлено как распределение суммы двух или более непостоянных независимый случайные переменные: Z ≠ Икс + Y. Если это можно так выразить, то это разложимый: Z = Икс + Y. Если, кроме того, это можно выразить как распределение суммы двух или более независимый идентично распределен случайные величины, то это делимый: Z = Икс₁ + Икс₂.

Примеры

Неразложимый

• Самые простые примеры: Распределения Бернулли: если

${displaystyle X={egin{cases}1&{ ext{with probability }}p,�&{ ext{with probability }}1-p,end{cases}}}$

то распределение вероятностей Икс неразложима.

Доказательство: Учитывая непостоянные распределения U и V, так что U принимает не менее двух значений а, б и V принимает два значения c, d, с а < б и c < d, тогда U + V принимает как минимум три различных значения: а + c, а + d, б + d (б + c может быть равно а + d, например, если используется 0, 1 и 0, 1). Таким образом, сумма непостоянных распределений принимает по крайней мере три значения, поэтому распределение Бернулли не является суммой непостоянных распределений.

• Предполагать а + б + c = 1, а, б, c ≥ 0 и

${displaystyle X={egin{cases}2&{ ext{with probability }}a,1&{ ext{with probability }}b,�&{ ext{with probability }}c.end{cases}}}$

Это распределение вероятностей разложимо (как сумма двух распределений Бернулли), если

${displaystyle {sqrt {a}}+{sqrt {c}}leq 1 }$

и иначе неразложимый. Чтобы увидеть это, предположим U и V являются независимыми случайными величинами и U + V имеет это распределение вероятностей. Тогда мы должны иметь

${displaystyle {egin{matrix}U={egin{cases}1&{ ext{with probability }}p,�&{ ext{with probability }}1-p,end{cases}}&{mbox{and}}&V={egin{cases}1&{ ext{with probability }}q,�&{ ext{with probability }}1-q,end{cases}}end{matrix}}}$

для некоторых п, q ∈ [0, 1], рассуждая аналогично случаю Бернулли (иначе сумма U + V примет более трех значений). Следует, что

${displaystyle a=pq,,}$

${displaystyle c=(1-p)(1-q),,}$

${displaystyle b=1-a-c.,}$

Эта система двух квадратных уравнений от двух переменных п и q есть решение (п, q) ∈ [0, 1]² если и только если

${displaystyle {sqrt {a}}+{sqrt {c}}leq 1. }$

Так, например, дискретное равномерное распределение на множестве {0, 1, 2} неразложим, но биномиальное распределение для трех испытаний, каждое с вероятностями 1/2, 1/2, что дает соответствующие вероятности а, б, в как 1/4, 1/2, 1/4, разложима.

• An абсолютно непрерывный неразложимое распределение. Можно показать, что распределение, функция плотности является

${displaystyle f(x)={1 over {sqrt {2pi ,}}}x^{2}e^{-x^{2}/2}}$

неразложима.

Разлагаемый

• Все бесконечно делимый распределения a fortiori разложимый; в частности, это включает стабильные дистрибутивы, такой как нормальное распределение.
• В равномерное распределение на интервале [0, 1] разложима, так как это сумма переменной Бернулли, которая принимает 0 или 1/2 с равными вероятностями и равномерное распределение на [0, 1/2]. Итерирование этого дает бесконечное разложение:

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{X_{n} over 2^{n}},}$

где независимые случайные величины Икс_п равны 0 или 1 с равными вероятностями - это испытание Бернулли каждой цифры двоичного разложения.

• Сумма неразложимых случайных величин обязательно разложима (так как это сумма), и на самом деле a fortiori может быть безгранично делимое распределение (не просто разложим на данную сумму). Предположим случайную величину Y имеет геометрическое распределение

${displaystyle Pr(Y=n)=(1-p)^{n}p,}$

на {0, 1, 2, ...}. Для любого положительного целого числа k, есть последовательность отрицательно-биномиально распределенный случайные переменные Y_j, j = 1, ..., k, так что Y₁ + ... + Y_k имеет это геометрическое распределение. Следовательно, это распределение безгранично делимо. Но теперь позвольте D_п быть п-я двоичная цифра Y, за п ≥ 0. Тогда Ds независимы и

${displaystyle Y=sum _{n=1}^{infty }{D_{n} over 2^{n}},}$

^{[требуется разъяснение ]}

и каждое слагаемое в этой сумме неразложимо.

Связанные понятия

Другой крайностью неразложимости является бесконечная делимость.

• Теорема Крамера показывает, что, хотя нормальное распределение бесконечно делимо, его можно разложить только на нормальные распределения.
• Теорема Кохрана показывает, что члены разложения суммы квадратов нормальных случайных величин на суммы квадратов линейных комбинаций этих переменных всегда имеют независимые распределения хи-квадрат.

Смотрите также

• Теорема Крамера
• Теорема Кохрана
• Бесконечная делимость (вероятность)
• Теорема Хинчина о факторизации распределений

Рекомендации

• Линник, Ю. В., Островский И.В. Разложение случайных величин и векторов, Амер. Математика. Soc., Провиденс Р.И., 1977.

• Лукач, Евгений, Характеристические функции, Нью-Йорк, издательство Hafner Publishing Company, 1970.