Местный твистор - Local twistor

В дифференциальная геометрия, то пучок локальных твисторов это конкретный векторный набор с участием связь который может быть связан с любым конформное многообразие, по крайней мере, локально. Интуитивно местный твистор представляет собой ассоциацию твистор пространство к каждой точке пространства-времени вместе с конформно-инвариантной связью, которая связывает твисторные пространства в разных точках. Это соединение может иметь голономия что препятствует существованию «глобальных» твисторов (то есть решений твисторного уравнения в открытых множествах).

строительство

Позволять M - псевдориманово конформное многообразие с спиновая структура и конформная метрика подписи (п,q). Конформная группа - это псевдоортогональная группа ${\displaystyle SO(p+1,q+1)}$. Существует конформная связь Картана на пачке пучок тракторов, из M. В вращательная группа из ${\displaystyle SO(p+1,q+1)}$ допускает фундаментальное представление, представление вращения, а связанный пакет - локальный твисторный пучок.

Представление через спиноры Вейля

Локальные твисторы можно представить в виде пар Спиноры Вейля на M (в общем, из различных представлений спина, определяемых условиями реальности, характерными для подписи). В случае четырехмерного Лоренцево многообразие, например, пространство-время общей теории относительности, локальный твистор имеет вид

${\displaystyle Z^{\alpha }={\begin{bmatrix}\omega ^{A}\\\pi _{A'}\end{bmatrix}}.}$

Здесь мы используем соглашения об индексах из Пенроуз и Риндлер (1986), и ${\displaystyle \omega ^{A}}$ и ${\displaystyle \pi _{A'}}$ являются двухкомпонентными комплексными спинорами группы Лоренца ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$.

Местный твисторный транспорт

Связь, которую иногда называют местный твисторный транспорт, дан кем-то

${\displaystyle dZ^{\alpha }={\begin{bmatrix}d\omega ^{A}-i\theta ^{AA'}\pi _{A'}\\d\pi _{A'}-iP_{AA'}\omega ^{A}\end{bmatrix}}.}$

Вот ${\displaystyle \theta ^{AA'}}$ это каноническая одноформа и ${\displaystyle P_{AA'}}$ то Тензор Схоутена, сжатые по одному индексу с канонической одноформой. Аналогичное уравнение справедливо и в других измерениях с соответствующими Алгебра Клиффорда множители между двумя представлениями спина Вейля (Спарлинг 1986 ). В этом формализме твисторное уравнение - требование, чтобы локальный твистор был параллелен подключению.

Каноническая фильтрация

В общем, жгут локальный твистор Т оснащен короткая точная последовательность векторных пучков

${\displaystyle 0\to \Pi \to T\to \Omega \to 0}$

где ${\displaystyle \Pi }$ и ${\displaystyle \Omega }$ два спиновых расслоения Вейля. Пакет ${\displaystyle \Pi }$ является выделенным под расслоением, которое соответствует отмеченной точке контакта конформной связности Картана. То есть существует каноническое отмеченное одномерное подпространство Икс в тракторной связке, и ${\displaystyle \Pi }$ является аннигилятором Икс при умножении Клиффорда. В четырех измерениях, ${\displaystyle \Pi }$ это пространство спиноров ${\displaystyle \pi _{A'}}$ и ${\displaystyle \Omega }$ пространство ${\displaystyle \omega ^{A}}$. Под Плюккеровское вложение, тракторный пучок в четырех измерениях изоморфен внешний квадрат локального твисторного пучка, и ${\displaystyle \Pi }$ состоит из всех твисторов, инцидентных

${\displaystyle X^{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}0&0\\0&\epsilon _{A'B'}\end{bmatrix}}}$

где ${\displaystyle \epsilon _{A'B'}}$ - симплектическая форма на ${\displaystyle \Pi }$.

Кривизна

Кривизна местного твисторного соединения включает как Кривизна Вейля и Тензор хлопка. (Это конформная кривизна Картана.) Кривизна сохраняет пространство ${\displaystyle \Pi }$, и дальше ${\displaystyle \Pi }$ в нем участвует только конформно-инвариантная кривизна Вейля.

использованная литература

• Penrose, R .; Риндлер, В. (1986), Спиноры и пространство-время: Vol. II, Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-25267-9
• Спарлинг, G (1986), "К геометризации физики", Природа, 321: 417–419