Структура журнала - Log structure

Для срубов см. бревенчатый дом.

В алгебраическая геометрия, а бревенчатая структура предоставляет абстрактный контекст для изучения полустабильные схемы, и, в частности, понятие логарифмическая дифференциальная форма и связанные Теоретико-Ходжа концепции. Эта идея имеет приложения в теории пространства модулей, в теория деформации и Фонтейна p-адическая теория Ходжа, среди прочего.

Мотивация

Идея состоит в том, чтобы изучить некоторые алгебраическое многообразие (или же схема ) U который гладкий но не обязательно правильный вставив его в Икс, что правильно, а затем глядя на определенные пучки на Икс. Проблема в том, что пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ состоящий из функций, ограничение которых на U обратимый не является пучком колец (так как добавление двух отличных от нуля функций может дать одну, которая обращается в нуль), и мы получаем только пучок подмоноидов ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$, мультипликативно. Вспоминая эту дополнительную структуру на Икс соответствует какому-то запоминанию включения ${\displaystyle j\colon U\to X}$, что уподобляет Икс с этой дополнительной структурой к разновидности с границей (соответствующей ${\displaystyle D=X-U}$).^[1]

Определение

Позволять Икс быть схемой. А предлоговая структура на Икс состоит из пучка (коммутативных) моноидов ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ на Икс вместе с гомоморфизмом моноидов ${\displaystyle \alpha \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {O}}_{X}}$, куда ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ рассматривается как моноид относительно умножения функций.

Предпологаемая структура ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\alpha )}$ это бревенчатая структура если в дополнение ${\displaystyle \alpha }$ индуцирует изоморфизм ${\displaystyle \alpha \colon \alpha ^{-1}({\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$.

Морфизм (пред-) лог-структур состоит в гомоморфизме пучков моноидов, коммутирующих с соответствующими гомоморфизмами в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$.

Бревенчатая схема - это просто схема, снабженная бревенчатой ​​конструкцией.

Примеры

• Для любой схемы Икс, можно определить банальная структура журнала на Икс принимая ${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$ и ${\displaystyle \alpha }$ быть личностью.
• В качестве мотивирующего примера для определения структуры бревен используются полустабильные схемы. Позволять Икс быть схемой, ${\displaystyle j\colon U\to X}$ включение открытой подсхемы Икс, с дополнением ${\displaystyle D=X-U}$ а делитель с нормальными пересечениями. Затем с этой ситуацией связана структура журнала, которая ${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}\cap j_{*}{\mathcal {O}}_{U}^{\times }}$, с ${\displaystyle \alpha }$ просто морфизм включения в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$. Это называется канонический (или же стандарт) бревенчатая структура на Икс связано с D.
• Позволять р быть кольцо дискретной оценки, с полем вычетов k и поле дробей K. Тогда каноническая структура журнала на ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$ состоит из включения ${\displaystyle R\setminus \{0\}}$ (и нет ${\displaystyle R^{\times }}$!) внутри ${\displaystyle R}$. Фактически, это пример предыдущей конструкции, но принимая ${\displaystyle j\colon \mathrm {Spec} (K)\to \mathrm {Spec} (R)}$.
• С р как и выше, можно также определить пустотелая бревенчатая конструкция на ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$ взяв тот же пучок моноидов, что и ранее, но вместо этого отправив максимальный идеал р до 0.

Приложения

Одно из применений структур журналов - это возможность определять логарифмические формы для любой схемы журналов. Отсюда можно, например, определить соответствующие понятия лог-гладкости и лог-этальности, которые параллельны обычным определениям схем. Затем это позволяет изучить теория деформации.

Кроме того, бревенчатые конструкции служат для определения смешанная структура Ходжа на любой гладкой разновидности Икс, взяв компактификацию с границей дивизором нормальных пересечений Dи записать Комплекс Ходж – Де Рам связано с Икс со стандартной структурой журнала, определенной D.^[2]

Объекты журнала также естественно появляются как объекты на границе пространства модулей, т.е. от вырождений.

Геометрия бревна также позволяет определять лог-кристаллические когомологии, аналог кристаллические когомологии который имеет хорошее поведение для разновидностей, которые не обязательно являются гладкими, а только логически гладкими. Тогда это применимо к теории Представления Галуа, и особенно полустабильные представления Галуа.

Смотрите также

• Логарифмическая форма
• Геометрия бревна
• Полустабильная схема
• Лог-кристаллические когомологии

Рекомендации

1. Артур Огус (2011). Лекции по логарифмической алгебраической геометрии.
2. Крис А. Питерс; Джозеф Х. Стинбринк (2007). Смешанные структуры Ходжа. Springer. ISBN  978-3-540-77015-2