Логарифмическая норма - Logarithmic norm

В математике логарифмическая норма ценный функциональный на операторы, и происходит от внутренний продукт, векторная норма или ее индуцированная норма оператора. Логарифмическая норма была независимо введена Germund Dahlquist^[1] и Сергея Лозинского в 1958 г. за пл. матрицы. С тех пор он был распространен на нелинейные операторы и неограниченные операторы также.^[2] Логарифмическая норма имеет широкий спектр приложений, в частности, в теории матриц, дифференциальные уравнения и числовой анализ. В конечномерном случае ее также называют матричной мерой или мерой Лозинского.

Исходное определение

Позволять ${displaystyle A}$ - квадратная матрица и ${displaystyle |cdot |}$ - индуцированная матричная норма. Соответствующая логарифмическая норма ${displaystyle mu }$ из ${displaystyle A}$ определено

${displaystyle mu (A)=lim limits _{hightarrow 0^{+}}{frac {|I+hA|-1}{h}}}$

Здесь ${displaystyle I}$ это единичная матрица того же размера, что и ${displaystyle A}$, и ${displaystyle h}$ это действительное положительное число. Предел как ${displaystyle hightarrow 0^{-}}$ равно ${displaystyle -mu (-A)}$, и, как правило, отличается от логарифмической нормы ${displaystyle mu (A)}$, так как ${displaystyle -mu (-A)leq mu (A)}$ для всех матриц.

Матричная норма ${displaystyle |A|}$ всегда положительно, если ${displaystyle Aeq 0}$, но логарифмическая норма ${displaystyle mu (A)}$ также может принимать отрицательные значения, например когда ${displaystyle A}$ является отрицательно определенный. Следовательно, логарифмическая норма не удовлетворяет аксиомам нормы. Название логарифмическая норма, который не фигурирует в исходной ссылке, кажется, происходит из оценки логарифма нормы решений дифференциального уравнения

${displaystyle {dot {x}}=Ax.}$

Максимальная скорость роста ${displaystyle log |x|}$ является ${displaystyle mu (A)}$. Это выражается дифференциальным неравенством

${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t^{+}}}log |x|leq mu (A),}$

куда ${displaystyle mathrm {d} /mathrm {d} t^{+}}$ это верхняя правая производная Дини. С помощью логарифмическое дифференцирование дифференциальное неравенство также можно записать

${displaystyle {frac {mathrm {d} |x|}{mathrm {d} t^{+}}}leq mu (A)cdot |x|,}$

показывая свое прямое отношение к Лемма Грёнвалла. Фактически можно показать, что норма матрицы перехода состояний ${displaystyle Phi (t,t_{0})}$ связанное с дифференциальным уравнением ${displaystyle {dot {x}}=A(t)x}$ ограничен^[3][4]

${displaystyle exp left(-int _{t_{0}}^{t}mu (-A(s))dsight)leq |Phi (t,t_{0})|leq exp left(int _{t_{0}}^{t}mu (A(s))dsight)}$

для всех ${displaystyle tgeq t_{0}}$.

Альтернативные определения

Если векторная норма является нормой внутреннего продукта, как в Гильбертово пространство, то логарифмической нормой является наименьшее число ${displaystyle mu (A)}$ такой, что для всех ${displaystyle x}$

${displaystyle Re langle x,Axangle leq mu (A)cdot |x|^{2}}$

В отличие от исходного определения, последнее выражение также допускает ${displaystyle A}$ быть неограниченным. Таким образом дифференциальные операторы также может иметь логарифмическую норму, что позволяет использовать логарифмическую норму как в алгебре, так и в анализе. Поэтому современная расширенная теория предпочитает определение, основанное на внутренних продуктах или двойственность. И операторная норма, и логарифмическая норма тогда связаны с экстремальными значениями квадратичные формы следующее:

${displaystyle |A|^{2}=sup _{xeq 0}{frac {langle Ax,Axangle }{langle x,xangle }},;qquad mu (A)=sup _{xeq 0}{frac {Re langle x,Axangle }{langle x,xangle }}}$

Характеристики

Основные свойства логарифмической нормы матрицы включают:

1. ${displaystyle mu (zI)=Re ,(z)}$
2. ${displaystyle mu (A)leq |A|}$
3. ${displaystyle mu (gamma A)=gamma mu (A),}$ для скаляра ${displaystyle gamma >0}$
4. ${displaystyle mu (A+zI)=mu (A)+Re ,(z)}$
5. ${displaystyle mu (A+B)leq mu (A)+mu (B)}$
6. ${displaystyle alpha (A)leq mu (A),}$ куда ${displaystyle alpha (A)}$ это максимальный реальная часть собственные значения из ${displaystyle A}$
7. ${displaystyle |mathrm {e} ^{tA}|leq mathrm {e} ^{tmu (A)},}$ за ${displaystyle tgeq 0}$
8. ${displaystyle mu (A)<0,Rightarrow ,|A^{-1}|leq -1/mu (A)}$

Пример логарифмической нормы

Логарифмическая норма матрицы может быть вычислена для трех наиболее распространенных норм следующим образом. В этих формулах ${displaystyle a_{ij}}$ представляет элемент на ${displaystyle i}$й ряд и ${displaystyle j}$-й столбец матрицы ${displaystyle A}$.^[5]

• ${displaystyle mu _{1}(A)=sup limits _{j}(Re (a_{jj})+sum limits _{i,ieq j}|a_{ij}|)}$
• ${displaystyle displaystyle mu _{2}(A)=lambda _{max}left({frac {A+A^{mathrm {T} }}{2}}ight)}$
• ${displaystyle mu _{infty }(A)=sup limits _{i}(Re (a_{ii})+sum limits _{j,jeq i}|a_{ij}|)}$

Приложения в теории матриц и спектральной теории

Логарифмическая норма связана с крайними значениями фактора Рэлея. Он считает, что

${displaystyle -mu (-A)leq {frac {x^{mathrm {T} }Ax}{x^{mathrm {T} }x}}leq mu (A),}$

и оба крайних значения берутся для некоторых векторов ${displaystyle xeq 0}$. Это также означает, что каждое собственное значение ${displaystyle lambda _{k}}$ из ${displaystyle A}$ удовлетворяет

${displaystyle -mu (-A)leq Re ,lambda _{k}leq mu (A)}$.

В более общем смысле, логарифмическая норма связана с числовой диапазон матрицы.

Матрица с ${displaystyle -mu (-A)>0}$ положительно определен, и один с ${displaystyle mu (A)<0}$ отрицательно определено. Такие матрицы имеют обратное. Матрица, обратная отрицательно определенной матрице, ограничена

${displaystyle |A^{-1}|leq -{frac {1}{mu (A)}}.}$

Как оценки обратного, так и собственных значений остаются в силе независимо от выбора векторной (матричной) нормы. Однако некоторые результаты справедливы только для внутренних норм продукта. Например, если ${displaystyle R}$ - рациональная функция со свойством

${displaystyle Re ,(z)leq 0,Rightarrow ,|R(z)|leq 1}$

затем для норм внутреннего продукта

${displaystyle mu (A)leq 0,Rightarrow ,|R(A)|leq 1.}$

Таким образом, матричную норму и логарифмическую норму можно рассматривать как обобщение модуля и действительной части соответственно от комплексных чисел к матрицам.

Приложения в теории устойчивости и численном анализе

Логарифмическая норма играет важную роль в анализе устойчивости непрерывной динамической системы. ${displaystyle {dot {x}}=Ax}$. Его роль аналогична матричной норме для дискретной динамической системы. ${displaystyle x_{n+1}=Ax_{n}}$.

В простейшем случае, когда ${displaystyle A}$ скалярная комплексная постоянная ${displaystyle lambda }$, дискретная динамическая система имеет устойчивые решения, когда ${displaystyle |lambda |leq 1}$, а дифференциальное уравнение имеет устойчивые решения при ${displaystyle Re ,lambda leq 0}$. Когда ${displaystyle A}$ - матрица, дискретная система имеет устойчивые решения, если ${displaystyle |A|leq 1}$. В непрерывной системе решения имеют вид ${displaystyle mathrm {e} ^{tA}x(0)}$. Они стабильны, если ${displaystyle |mathrm {e} ^{tA}|leq 1}$ для всех ${displaystyle tgeq 0}$, что следует из свойства 7 выше, если ${displaystyle mu (A)leq 0}$. В последнем случае, ${displaystyle |x|}$ это Функция Ляпунова для системы.

Методы Рунге – Кутты для численного решения ${displaystyle {dot {x}}=Ax}$ заменить дифференциальное уравнение дискретным уравнением ${displaystyle x_{n+1}=R(hA)cdot x_{n}}$, где рациональная функция ${displaystyle R}$ является характеристикой метода, и ${displaystyle h}$ - размер временного шага. Если ${displaystyle |R(z)|leq 1}$ в любое время ${displaystyle Re ,(z)leq 0}$, то устойчивое дифференциальное уравнение, имеющее ${displaystyle mu (A)leq 0}$, всегда будет приводить к устойчивому (сжимающему) числовому методу, так как ${displaystyle |R(hA)|leq 1}$. Методы Рунге-Кутты, обладающие этим свойством, называются A-стабильными.

Сохраняя тот же вид, результаты при дополнительных предположениях могут быть распространены на нелинейные системы, а также на полугруппа теории, где решающим преимуществом логарифмической нормы является то, что она различает прямую и обратную эволюцию во времени и может установить, является ли проблема хорошо поставлен. Аналогичные результаты применимы и при анализе устойчивости в теория управления, где необходимо различать положительную и отрицательную обратную связь.

Приложения к эллиптическим дифференциальным операторам

В связи с дифференциальными операторами обычно используются внутренние продукты и интеграция по частям. В простейшем случае мы рассматриваем функции, удовлетворяющие ${displaystyle u(0)=u(1)=0}$ с внутренним продуктом

${displaystyle langle u,vangle =int _{0}^{1}uv,mathrm {d} x.}$

Тогда считается, что

${displaystyle langle u,u''angle =-langle u',u'angle leq -pi ^{2}|u|^{2},}$

где равенство слева представляет собой интегрирование по частям, а неравенство справа - неравенство Соболева. В последнем равенство достигается для функции ${displaystyle sin ,pi x}$, подразумевая, что постоянная ${displaystyle -pi ^{2}}$ самое лучшее. Таким образом

${displaystyle langle u,Auangle leq -pi ^{2}|u|^{2}}$

для дифференциального оператора ${displaystyle A=mathrm {d} ^{2}/mathrm {d} x^{2}}$, откуда следует, что

${displaystyle mu ({frac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} x^{2}}})=-pi ^{2}.}$

Как оператор, удовлетворяющий ${displaystyle langle u,Auangle >0}$ называется эллиптический, логарифмическая норма определяет (сильную) эллиптичность ${displaystyle -mathrm {d} ^{2}/mathrm {d} x^{2}}$. Таким образом, если ${displaystyle A}$ сильно эллиптичен, то ${displaystyle mu (-A)<0}$, и обратим при правильных данных.

Если использовать метод конечных разностей для решения ${displaystyle -u''=f}$, задача заменяется алгебраическим уравнением ${displaystyle Tu=f}$. Матрица ${displaystyle T}$ обычно наследует эллиптичность, т.е. ${displaystyle -mu (-T)>0}$, показывая, что ${displaystyle T}$ положительно определен и, следовательно, обратим.

Эти результаты переносятся на Уравнение Пуассона а также с другими численными методами, такими как Метод конечных элементов.

Расширения к нелинейным отображениям

Для нелинейных операторов операторная норма и логарифмическая норма определяются в терминах неравенств

${displaystyle l(f)cdot |u-v|leq |f(u)-f(v)|leq L(f)cdot |u-v|,}$

куда ${displaystyle L(f)}$ является точной верхней оценкой Постоянная Липшица из ${displaystyle f}$, и ${displaystyle l(f)}$ - наибольшая нижняя граница константы Липшица; и

${displaystyle m(f)cdot |u-v|^{2}leq langle u-v,f(u)-f(v)angle leq M(f)cdot |u-v|^{2},}$

куда ${displaystyle u}$ и ${displaystyle v}$ находятся в домене ${displaystyle D}$ из ${displaystyle f}$. Здесь ${displaystyle M(f)}$ - точная верхняя граница логарифмической константы Липшица ${displaystyle f}$, и ${displaystyle l(f)}$ - наибольшая нижняя граница логарифмической константы Липшица. Он считает, что ${displaystyle m(f)=-M(-f)}$ (сравните выше) и, аналогично, ${displaystyle l(f)=L(f^{-1})^{-1}}$, куда ${displaystyle L(f^{-1})}$ определяется на образе ${displaystyle f}$.

Для нелинейных операторов, непрерывных по Липшицу, далее выполняется

${displaystyle M(f)=lim _{hightarrow 0^{+}}{frac {L(I+hf)-1}{h}}.}$

Если ${displaystyle f}$ дифференцируема и ее область определения ${displaystyle D}$ выпукло, то

${displaystyle L(f)=sup _{xin D}|f'(x)|}$ и ${displaystyle displaystyle M(f)=sup _{xin D}mu (f'(x)).}$

Здесь ${displaystyle f'(x)}$ это Матрица якобиана из ${displaystyle f}$, связывая нелинейное расширение с нормой матрицы и логарифмической нормой.

Оператор, имеющий либо ${displaystyle m(f)>0}$ или же ${displaystyle M(f)<0}$ называется равномерно монотонным. Оператор, удовлетворяющий ${displaystyle L(f)<1}$ называется сжимающий. Это расширение предлагает множество связей с теорией фиксированной точки и теорией критических точек.

Теория становится аналогичной теории логарифмической нормы для матриц, но становится более сложной, поскольку области определения операторов требуют пристального внимания, как в случае с неограниченными операторами. Свойство 8 логарифмической нормы выше сохраняется независимо от выбора векторной нормы, и выполняется

${displaystyle M(f)<0,Rightarrow ,L(f^{-1})leq -{frac {1}{M(f)}},}$

что количественно определяет Теорема о равномерной монотонности. из-за Браудера и Минти (1963).

Рекомендации

1. Germund Dahlquist, "Границы устойчивости и погрешности численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений", Almqvist & Wiksell, Uppsala 1958
2. Густав Сёдерлинд, «Логарифмическая норма. История и современная теория», BIT вычислительная математика, 46(3):631-652, 2006
3. Desoer, C .; Ханеда, Х. (1972). «Мера матрицы как инструмент для анализа компьютерных алгоритмов анализа схем». IEEE Transactions по теории цепей. 19 (5): 480–486. Дои:10.1109 / tct.1972.1083507.
4. Desoer, C.A .; Видьясагар, М. (1975). Системы обратной связи: свойства ввода-вывода. Нью-Йорк: Эльзевир. п. 34. ISBN  9780323157797.
5. Desoer, C.A .; Видьясагар, М. (1975). Системы обратной связи: свойства ввода-вывода. Нью-Йорк: Эльзевир. п. 33. ISBN  9780323157797.