Неравенство Гренвальса - Grönwalls inequality - Wikipedia

В математика, Неравенство Гренвалла (также называемый Лемма Грёнвалла или Неравенство Грёнволла – Беллмана) позволяет ограничить функцию, которая, как известно, удовлетворяет определенному дифференциал или же интегральное неравенство решением соответствующего дифференциала или интегральное уравнение. Лемма бывает двух видов: дифференциальной и интегральной. Для последнего существует несколько вариантов.

Неравенство Грёнволла - важный инструмент для получения различных оценок в теории обычный и стохастические дифференциальные уравнения. В частности, он обеспечивает теорема сравнения что можно использовать, чтобы доказать уникальность решения проблема начального значения; увидеть Теорема Пикара – Линделёфа.

Он назван в честь Томас Хакон Грёнвалл (1877–1932). Grönwall - это шведское написание его имени, но он написал свое имя как Gronwall в своих научных публикациях после эмиграции в Соединенные Штаты.

Дифференциальная форма была доказана Грёнваллом в 1919 году.^[1]Интегральная форма доказана Ричард Беллман в 1943 г.^[2]

Нелинейное обобщение неравенства Гренуолла – Беллмана известно как Неравенство Бихари – ЛаСалля. Другие варианты и обобщения можно найти у Pachpatte, B.G. (1998).^[3]

Дифференциальная форма

Позволять я обозначить интервал из реальная линия формы [а, ∞) или же [а, б] или же [а, б) с а < б. Позволять β и ты иметь реальную ценность непрерывные функции определено на я. Еслиты является дифференцируемый в интерьер я^о из я (интервал я без конечных точек а и возможно б) и удовлетворяет дифференциальному неравенству

${\displaystyle u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\qquad t\in I^{\circ },}$

тогда ты ограничена решением соответствующего дифференциала уравнение v ′(т) = β(т) v(т):

${\displaystyle u(t)\leq u(a)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}$

для всех т ∈ я.

Замечание: Предположений о знаках функций нет. β иты.

Доказательство

Определите функцию

${\displaystyle v(t)=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.}$

Обратите внимание, что v удовлетворяет

${\displaystyle v'(t)=\beta (t)\,v(t),\qquad t\in I^{\circ },}$

с v(а) = 1 и v(т) > 0 для всех т ∈ я. Посредством правило частного

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {u(t)}{v(t)}}={\frac {u'(t)\,v(t)-v'(t)\,u(t)}{v^{2}(t)}}={\frac {u'(t)\,v(t)-\beta (t)\,v(t)\,u(t)}{v^{2}(t)}}\leq 0,\qquad t\in I^{\circ },}$

Таким образом, производная функции ${\displaystyle u(t)/v(t)}$ неположительна и функция ограничена сверху своим значением в начальной точке ${\displaystyle a}$ интервала ${\displaystyle I}$:

${\displaystyle {\frac {u(t)}{v(t)}}\leq {\frac {u(a)}{v(a)}}=u(a),\qquad t\in I,}$

что является неравенством Гренвалла.

Интегральная форма для непрерывных функций

Позволять я обозначить интервал из реальная линия формы [а, ∞) или же [а, б] или же [а, б) с а < б. Позволять α, β и ты быть действительными функциями, определенными ная. Предположить, что β и ты непрерывны и отрицательная часть α интегрируема на любом замкнутом и ограниченном подынтервале вя.

• а) Еслиβ неотрицательно и если ты удовлетворяет интегральному неравенству

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s,\qquad \forall t\in I,}$

тогда

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s,\qquad t\in I.}$

• (б) Если, кроме того, функция α не убывает, то

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.}$

Примечания:

• Предположений о знаках функций нет. α иты.
• По сравнению с дифференциальной формой дифференцируемость ты для интегральной формы не требуется.
• Для версии неравенства Гренвалла, не требующей преемственности β и тыверсию смотрите в следующем разделе.

Доказательство

(а) Определить

${\displaystyle v(s)=\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r,\qquad s\in I.}$

С использованием правило продукта, то Правило цепи, производная от экспоненциальная функция и основная теорема исчисления, для производной получаем

${\displaystyle v'(s)={\biggl (}\underbrace {u(s)-\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r} _{\leq \,\alpha (s)}{\biggr )}\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad s\in I,}$

где мы использовали предполагаемое интегральное неравенство для верхней оценки. С β и экспонента неотрицательны, это дает оценку сверху для производнойv. С v(а) = 0, интегрирование этого неравенства из а к т дает

${\displaystyle v(t)\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s.}$

Используя определение v(т) для первого шага, а затем это неравенство и функциональное уравнение экспоненты, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s&=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}v(t)\\&\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\underbrace {\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r-\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r} _{=\,\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r}{\biggr )}\mathrm {d} s.\end{aligned}}}$

Подстановка этого результата в предполагаемое интегральное неравенство дает неравенство Гренвалла.

(б) Если функция α не убывает, то часть (а), факт α(s) ≤ α(т), а из основной теоремы исчисления следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&\leq \alpha (t)+{\biggl (}{-}\alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}{\biggr )}{\biggr |}_{s=a}^{s=t}\\&=\alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad t\in I.\end{aligned}}}$

Интегральная форма с локально конечными мерами

Позволять я обозначить интервал из реальная линия формы [а, ∞) или же [а, б] или же [а, б) с а < б. Позволять α и ты быть измеримые функции определено ная и разреши μ - непрерывная неотрицательная мера на Борелевская σ-алгебра из я удовлетворение μ([а, т]) < ∞ для всех т ∈ я (это, конечно, удовлетворяется, когда μ это локально конечная мера ). Предположить, что ты интегрируема относительно μ в том смысле, что

${\displaystyle \int _{[a,t)}|u(s)|\,\mu (\mathrm {d} s)<\infty ,\qquad t\in I,}$

и это ты удовлетворяет интегральному неравенству

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}u(s)\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I.}$

Если, кроме того,

• функция α неотрицательно или
• функция т ↦ μ([а, т]) непрерывно для т ∈ я и функция α интегрируема относительно μ в том смысле, что

${\displaystyle \int _{[a,t)}|\alpha (s)|\,\mu (\mathrm {d} s)<\infty ,\qquad t\in I,}$

тогда ты удовлетворяет неравенству Гренвалла

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}\alpha (s)\exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}\,\mu (\mathrm {d} s)}$

для всех т ∈ я, куда я_{с, т} обозначает открытый интервал (s, т).

Замечания

• Предположения о непрерывности функций отсутствуют. α и ты.
• Интеграл в неравенстве Грёнвалла может давать значение бесконечности.
• Если α - нулевая функция и ты неотрицательно, то из неравенства Грёнвалла следует, что ты - нулевая функция.
• Интегрируемость ты относительно μ имеет важное значение для результата. Для контрпример, позволять μ обозначать Мера Лебега на единичный интервал [0, 1], определять ты(0) = 0 и ты(т) = 1/т за т ∈ (0, 1], и разреши α - нулевая функция.
• Версия, приведенная в учебнике С. Этье и Т. Курцем.^[4] делает более сильные предположения, что α неотрицательная константа и ты ограничена на ограниченных интервалах, но не предполагает, что мера μ локально конечно. По сравнению с приведенным ниже, их доказательство не обсуждает поведение остатка р_п(т).

Особые случаи

• Если мера μ имеет плотность β относительно меры Лебега, то неравенство Гренуолла можно переписать в виде

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I.}$

• Если функция α неотрицательна, а плотность β из μ ограничено константой c, тогда

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+c\int _{a}^{t}\alpha (s)\exp {\bigl (}c(t-s){\bigr )}\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I.}$

• Если, кроме того, неотрицательная функция α не убывает, то

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+c\alpha (t)\int _{a}^{t}\exp {\bigl (}c(t-s){\bigr )}\,\mathrm {d} s=\alpha (t)\exp(c(t-a)),\qquad t\in I.}$

Схема доказательства

Доказательство разбито на три этапа. Идея состоит в том, чтобы подставить предполагаемое интегральное неравенство в себя п раз. Это делается в п. 1 с использованием математической индукции. В утверждении 2 мы переписываем меру симплекса в удобном виде, используя перестановочную инвариантность мер произведения. На третьем шаге мы переходим к пределу п до бесконечности, чтобы вывести искомый вариант неравенства Гренвалла.

Подробное доказательство

Утверждение 1. Повторение неравенства

Для каждого натурального числа п включая ноль,

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}\alpha (s)\sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+R_{n}(t)}$

с остатком

${\displaystyle R_{n}(t):=\int _{[a,t)}u(s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I,}$

куда

${\displaystyle A_{n}(s,t)=\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}\},\qquad n\geq 1,}$

является п-размерный симплекс и

${\displaystyle \mu ^{\otimes 0}(A_{0}(s,t)):=1.}$

Доказательство утверждения 1

Мы используем математическая индукция. За п = 0 это всего лишь предполагаемое интегральное неравенство, поскольку пустая сумма определяется как ноль.

Шаг индукции от п к п + 1: Подставляя предполагаемое интегральное неравенство для функции ты в остаток дает

${\displaystyle R_{n}(t)\leq \int _{[a,t)}\alpha (s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+{\tilde {R}}_{n}(t)}$

с

${\displaystyle {\tilde {R}}_{n}(t):=\int _{[a,t)}{\biggl (}\int _{[a,q)}u(s)\,\mu (\mathrm {d} s){\biggr )}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q),\qquad t\in I.}$

С использованием Теорема Фубини – Тонелли чтобы поменять местами два интеграла, получим

${\displaystyle {\tilde {R}}_{n}(t)=\int _{[a,t)}u(s)\underbrace {\int _{(s,t)}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q)} _{=\,\mu ^{\otimes n+1}(A_{n+1}(s,t))}\,\mu (\mathrm {d} s)=R_{n+1}(t),\qquad t\in I.}$

Следовательно Утверждение 1 доказано для п + 1.

Утверждение 2: Измерение симплекса

Для каждого натурального числа п включая ноль и все s < т в я

${\displaystyle \mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\leq {\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{n}}{n!}}}$

с равенством в случае т ↦ μ([а, т]) непрерывно для т ∈ я.

Доказательство утверждения 2

За п = 0, утверждение верно по нашим определениям. Поэтому рассмотрим п ≥ 1 В следующих.

Позволять S_п обозначим множество всех перестановки индексов в {1, 2, . . . , п}. Для каждой перестановки σ ∈ S_п определять

${\displaystyle A_{n,\sigma }(s,t)=\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{\sigma (1)}<s_{\sigma (2)}<\cdots <s_{\sigma (n)}\}.}$

Эти множества не пересекаются для разных перестановок и

${\displaystyle \bigcup _{\sigma \in S_{n}}A_{n,\sigma }(s,t)\subset I_{s,t}^{n}.}$

Следовательно,

${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\mu ^{\otimes n}(A_{n,\sigma }(s,t))\leq \mu ^{\otimes n}{\bigl (}I_{s,t}^{n}{\bigr )}={\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{n}.}$

Поскольку все они имеют одинаковую меру относительно п-складчатое произведение μ, и поскольку есть п! перестановки вS_п, следует заявленное неравенство.

Предположим теперь, что т ↦ μ([а, т]) непрерывно для т ∈ я. Тогда для разных индексов я, j ∈ {1, 2, . . . , п}, набор

${\displaystyle \{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\}}$

содержится в гиперплоскость, следовательно, путем применения Теорема Фубини его мера по отношению к п-складчатое произведение μ равно нулю. С

${\displaystyle I_{s,t}^{n}\subset \bigcup _{\sigma \in S_{n}}A_{n,\sigma }(s,t)\cup \bigcup _{1\leq i<j\leq n}\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\},}$

заявленное равенство следует.

Доказательство неравенства Гренвалла

Для каждого натурального числа п, Утверждение 2 подразумевает на оставшуюся часть Утверждение 1 который

${\displaystyle |R_{n}(t)|\leq {\frac {{\bigl (}\mu (I_{a,t}){\bigr )}^{n}}{n!}}\int _{[a,t)}|u(s)|\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I.}$

По предположению имеем μ(я_а,т) < ∞. Следовательно, предположение об интегрируемости ты подразумевает, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(t)=0,\qquad t\in I.}$

Утверждение 2 и представление серии экспоненты влечет оценку

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))\leq \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\leq \exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}}$

для всех s < т вя. Если функцияα неотрицательно, то достаточно вставить эти результаты в Утверждение 1 для вывода указанного выше варианта неравенства Грёнволла для функцииты.

В случае т ↦ μ([а, т]) непрерывно для т ∈ я, Утверждение 2 дает

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\to \exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}\qquad {\text{as }}n\to \infty }$

и интегрируемость функции α разрешает использовать теорема о доминируемой сходимости для вывода неравенства Гренвалла.

Рекомендации

1. Гронволл, Томас Х. (1919), «Замечание о производных по параметру решений системы дифференциальных уравнений», Анна. математики., 20 (2): 292–296, JFM  47.0399.02, JSTOR  1967124, МИСТЕР  1502565
2. Беллман, Ричард (1943), «Устойчивость решений линейных дифференциальных уравнений», Duke Math. Дж., 10 (4): 643–647, Дои:10.1215 / s0012-7094-43-01059-2, МИСТЕР  0009408, Zbl  0061.18502
3. Пачпатт, Б.Г. (1998). Неравенства для дифференциальных и интегральных уравнений. Сан-Диего: Academic Press. ISBN  9780080534640.
4. Ethier, Steward N .; Курц, Томас Г. (1986), Марковские процессы, характеризация и сходимость, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, п. 498, г. ISBN  0-471-08186-8, МИСТЕР  0838085, Zbl  0592.60049

Смотрите также

• Логарифмическая норма для версии леммы Гронуолла, которая дает верхнюю и нижнюю оценки нормы матрицы перехода состояний.

В статье использован материал леммы Гронуолла о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.