Модель с сосредоточенными элементами - Lumped-element model

Представление модели с сосредоточенными параметрами, состоящей из источника напряжения и резистора.

В модель с сосредоточенными элементами (также называемый модель с сосредоточенными параметрами, или же модель с сосредоточенными компонентами) упрощает описание поведения пространственно распределенных физических систем в топология состоящий из дискретных сущностей, которые приближают поведение распределенной системы при определенных предположениях. Это полезно в электрические системы (включая электроника ), механический многотельные системы, теплопередача, акустика, так далее.

С математической точки зрения упрощение уменьшает пространство состояний системы к конечный измерение, а уравнения в частных производных (PDE) непрерывной (бесконечномерной) пространственно-временной модели физической системы в обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) с конечным числом параметров.

Электрические системы

Сфокусированная дисциплина

В сфокусированная дисциплина набор наложенных предположений в электротехника что обеспечивает основу для абстракция с сосредоточенными параметрами используется в сетевой анализ.^[1] Самостоятельно наложенные ограничения:

1. Изменение магнитного потока во времени вне проводника равно нулю.

${\displaystyle {\frac {\partial \phi _{B}}{\partial t}}=0}$

2. Изменение заряда во времени внутри проводящих элементов равно нулю.

${\displaystyle {\frac {\partial q}{\partial t}}=0}$

3. Представляющие интерес временные рамки сигнала намного больше, чем задержка распространения электромагнитные волны через сосредоточенный элемент.

Первые два предположения приводят к Законы цепи Кирхгофа когда применяется к Уравнения Максвелла и применимы только тогда, когда цепь находится в устойчивое состояние. Третье предположение является основой модели сосредоточенных элементов, используемой в сетевой анализ. Менее строгие предположения приводят к модель с распределенными элементами, при этом еще не требуя прямого применения полных уравнений Максвелла.

Модель с сосредоточенными элементами

Модель электронных схемы делает упрощающее предположение, что атрибуты схемы, сопротивление, емкость, индуктивность, и прирост, сосредоточены в идеализированных электрические компоненты; резисторы, конденсаторы, и индукторы и т. д., объединившихся в сеть идеально проведение провода.

Модель с сосредоточенными элементами действительна всякий раз, когда ${\displaystyle L_{c}\ll \lambda }$, куда ${\displaystyle L_{c}}$ обозначает характерную длину цепи, а ${\displaystyle \lambda }$ обозначает работу схемы длина волны. В противном случае, когда длина цепи порядка длины волны, мы должны рассматривать более общие модели, такие как модель с распределенными элементами (включая линии передачи ), динамическое поведение которого описывается Уравнения Максвелла. Другой способ взглянуть на достоверность модели с сосредоточенными элементами - отметить, что эта модель игнорирует конечное время, необходимое для распространения сигналов по цепи. Когда это время распространения не имеет значения для приложения, можно использовать модель с сосредоточенными элементами. Это тот случай, когда время распространения намного меньше, чем период задействованного сигнала. Однако с увеличением времени распространения будет увеличиваться ошибка между предполагаемой и фактической фазой сигнала, что, в свою очередь, приводит к ошибке в предполагаемой амплитуде сигнала. Точная точка, в которой модель с сосредоточенными элементами больше не может использоваться, зависит в определенной степени от того, насколько точно сигнал должен быть известен в данном приложении.

Компоненты реального мира демонстрируют неидеальные характеристики, которые в действительности являются распределенными элементами, но часто представляются приближение первого порядка сосредоточенными элементами. Чтобы учесть утечку в конденсаторы например, мы можем смоделировать неидеальный конденсатор как имеющий большой сосредоточенный резистор подключены параллельно, хотя в действительности утечка распределяется по диэлектрику. Аналогичным образом проволочный резистор имеет значительный индуктивность а также сопротивление распределены по его длине, но мы можем смоделировать это как сосредоточенный индуктор последовательно с идеальным резистором.

Тепловые системы

А модель сосредоточенной емкости, также называемый сосредоточенный системный анализ,^[2] уменьшает тепловая система к ряду дискретных «комков» и предполагает, что температура разница внутри каждого комка незначительна. Это приближение полезно для упрощения сложных в противном случае дифференциал уравнения теплопроводности. Он был разработан как математический аналог электрическая емкость, хотя в него входят и тепловые аналоги электрическое сопротивление также.

Модель сосредоточенной емкости - это обычное приближение переходной проводимости, которое может использоваться всякий раз, когда теплопроводность внутри объекта происходит намного быстрее, чем передача тепла через границу объекта. Затем метод аппроксимации соответствующим образом сокращает один аспект системы переходной проводимости (пространственное изменение температуры внутри объекта) до более математически поддающейся форме (то есть предполагается, что температура внутри объекта полностью однородна в пространстве, хотя это пространственно равномерное значение температуры изменяется со временем). Повышение равномерной температуры внутри объекта или части системы можно рассматривать как емкостной резервуар, который поглощает тепло до тех пор, пока не достигнет устойчивого теплового состояния во времени (после чего температура в нем не изменяется).

Одним из первых обнаруженных примеров системы с сосредоточенной емкостью, которая демонстрирует математически простое поведение из-за таких физических упрощений, являются системы, которые соответствуют Закон охлаждения Ньютона. Этот закон просто гласит, что температура горячего (или холодного) объекта увеличивается в сторону температуры окружающей среды простым экспоненциальным образом. Объекты строго следуют этому закону только в том случае, если скорость теплопроводности внутри них намного больше, чем тепловой поток внутрь или наружу. В таких случаях имеет смысл говорить об одной «температуре объекта» в любой момент времени (поскольку нет пространственного изменения температуры внутри объекта), а также однородные температуры внутри объекта позволяют пропорционально изменять его общий избыток или дефицит тепловой энергии. от температуры его поверхности, тем самым устанавливая закон охлаждения Ньютона, согласно которому скорость снижения температуры пропорциональна разнице между объектом и окружающей средой. Это, в свою очередь, приводит к простому экспоненциальному нагреву или охлаждению (подробности ниже).

Метод

Для определения количества комков Число Био (Bi) - безразмерный параметр системы. Bi определяется как отношение сопротивления теплопроводности внутри объекта к конвективный теплообмен сопротивление через границу объекта с однородной ванной разной температуры. Когда термическое сопротивление чтобы тепло, передаваемое в объект, больше, чем сопротивление теплу рассеянный полностью внутри объекта, число Био меньше 1. В этом случае, особенно для чисел Био, которые еще меньше, приближение пространственно однородная температура внутри объекта можно начать использовать, так как можно предположить, что тепло, передаваемое в объект, успевает равномерно распределиться из-за более низкого сопротивления этому по сравнению с сопротивлением теплу, поступающему в объект.

Если число Био меньше 0,1 для твердого объекта, то весь материал будет иметь примерно одинаковую температуру, при этом преобладающая разница температур будет на поверхности. Его можно рассматривать как «термически тонкий». Число Био обычно должно быть меньше 0,1 для очень точного приближения и анализа теплопередачи. Математическое решение приближения сосредоточенных систем дает Закон охлаждения Ньютона.

Число Био больше 0,1 («термически толстое» вещество) указывает на то, что это предположение невозможно, и более сложный теплопередача уравнения для «переходной теплопроводности» потребуются для описания изменяющегося во времени и пространственно-неоднородного температурного поля внутри материального тела.

Подход с одной емкостью можно расширить, включив в него множество резистивных и емкостных элементов с Bi <0,1 для каждого участка. Поскольку число Био рассчитывается на основе характерная длина Система часто может быть разбита на достаточное количество секций или кусков, так что число Био будет достаточно малым.

Некоторые характерные длины тепловых систем:

• Толщина пластины
• Плавник: толщина / 2
• Длинный цилиндр: диаметр / 4
• Сфера: диаметр / 6

Для произвольных форм может быть полезно рассматривать характеристическую длину как объем / площадь поверхности.

Тепловые чисто резистивные схемы

Полезная концепция, используемая в приложениях теплопередачи после достижения состояния стационарной теплопроводности, - это представление теплопередачи с помощью так называемых тепловых контуров. Тепловой контур - это представление сопротивления тепловому потоку в каждом элементе контура, как если бы он был электрический резистор. Передаваемое тепло аналогично электрический ток а тепловое сопротивление аналогично электрическому резистору. Затем значения теплового сопротивления для различных режимов теплопередачи рассчитываются как знаменатели разработанных уравнений. Тепловые сопротивления различных режимов теплопередачи используются при анализе комбинированных режимов теплопередачи. Отсутствие «емкостных» элементов в следующем чисто резистивном примере означает, что ни один участок цепи не поглощает энергию или не меняет распределение температуры. Это равносильно требованию, чтобы состояние стационарной теплопроводности (или передачи, как в случае излучения) уже было установлено.

Уравнения, описывающие три режима теплопередачи и их тепловые сопротивления в установившемся режиме, как обсуждалось ранее, обобщены в таблице ниже:

Уравнения для различных режимов теплопередачи и их тепловых сопротивлений.

Режим передачи	Скорость передачи тепла	Термическое сопротивление
Проведение	${\displaystyle {\dot {Q}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{\left({\frac {L}{kA}}\right)}}}$	${\displaystyle {\frac {L}{kA}}}$
Конвекция	${\displaystyle {\dot {Q}}={\frac {T_{\rm {surf}}-T_{\rm {envr}}}{\left({\frac {1}{h_{\rm {conv}}A_{\rm {surf}}}}\right)}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{\rm {conv}}A_{\rm {surf}}}}}$
Радиация	${\displaystyle {\dot {Q}}={\frac {T_{\rm {surf}}-T_{\rm {surr}}}{\left({\frac {1}{h_{r}A_{\rm {surf}}}}\right)}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{r}A}}}$, куда ${\displaystyle h_{r}=\epsilon \sigma (T_{\rm {surf}}^{2}+T_{\rm {surr}}^{2})(T_{\rm {surf}}+T_{\rm {surr}})}$

В тех случаях, когда происходит передача тепла через разные среды (например, через композитный материал ) эквивалентное сопротивление - это сумма сопротивлений компонентов, составляющих композит. Вероятно, в случаях, когда существуют разные режимы теплопередачи, общее сопротивление является суммой сопротивлений разных режимов. Используя концепцию теплового контура, количество тепла, передаваемого через любую среду, является отношением изменения температуры к общему тепловому сопротивлению среды.

В качестве примера рассмотрим композитную стену с площадью поперечного сечения ${\displaystyle A}$. Композит выполнен из ${\displaystyle L_{1}}$ длинная цементная штукатурка с тепловым коэффициентом ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$ стекловолокно с длинным бумажным покрытием, с термическим коэффициентом ${\displaystyle k_{2}}$. Левая поверхность стены находится на ${\displaystyle T_{i}}$ и подвергается воздействию воздуха с конвективным коэффициентом ${\displaystyle h_{i}}$. Правая поверхность стены находится на ${\displaystyle T_{o}}$ и подвергается воздействию воздуха с коэффициентом конвекции ${\displaystyle h_{o}}$.

Используя концепцию термического сопротивления, тепловой поток через композит выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\dot {Q}}={\frac {T_{i}-T_{o}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}+R_{o}}}={\frac {T_{i}-T_{1}}{R_{i}}}={\frac {T_{i}-T_{2}}{R_{i}+R_{1}}}={\frac {T_{i}-T_{3}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{R_{1}}}={\frac {T_{3}-T_{o}}{R_{0}}}}$

куда

${\displaystyle R_{i}={\frac {1}{h_{i}A}}}$, ${\displaystyle R_{o}={\frac {1}{h_{o}A}}}$, ${\displaystyle R_{1}={\frac {L_{1}}{k_{1}A}}}$, и ${\displaystyle R_{2}={\frac {L_{2}}{k_{2}A}}}$

Закон охлаждения Ньютона

Основная статья: Закон охлаждения Ньютона

Закон охлаждения Ньютона эмпирическое отношение, приписываемое английскому физику Сэр Исаак Ньютон (1642 - 1727). Этот закон, изложенный в нематематической форме, выглядит следующим образом:

Скорость потери тепла телом пропорциональна разнице температур между телом и окружающей средой.

Или, используя символы:

${\displaystyle {\text{Rate of cooling}}\sim \!\,\Delta T}$

Объект, температура которого отличается от температуры его окружения, в конечном итоге достигает той же температуры, что и его окружение. Относительно горячий объект охлаждается по мере того, как нагревает окружающую среду; холодный объект согревается своим окружением. Рассматривая, насколько быстро (или медленно) что-то остывает, мы говорим о его ставка охлаждения - на сколько градусов изменяется температура за единицу времени.

Скорость охлаждения объекта зависит от того, насколько он горячее, чем его окружение. Изменение температуры горячего яблочного пирога в минуту будет больше, если пирог положить в холодную морозильную камеру, чем если его поставить на кухонный стол. Когда пирог остывает в морозильной камере, разница температур между ним и окружающей средой больше. В холодный день теплый дом будет пропускать тепло наружу с большей скоростью, когда есть большая разница между внутренней и внешней температурой. Таким образом, содержание дома при высокой температуре в холодный день обходится дороже, чем при более низкой температуре. Если разница температур остается небольшой, скорость охлаждения будет соответственно низкой.

Согласно закону охлаждения Ньютона, скорость охлаждения объекта - будь то проводимость, конвекция, или же радиация - примерно пропорционален разности температур ΔТ. Замороженные продукты в теплом помещении нагреваются быстрее, чем в холодном. Обратите внимание, что скорость охлаждения в холодный день может быть увеличена за счет дополнительного эффекта конвекции ветер. Это называется холодный ветер. Например, охлаждение ветром до -20 ° C означает, что тепло теряется с такой же скоростью, как если бы температура была -20 ° C без ветра.

Применимые ситуации

Этот закон описывает множество ситуаций, в которых объект обладает большой теплоемкостью и большой проводимостью и внезапно погружается в однородную ванну, которая относительно плохо проводит тепло. Это пример тепловой цепи с одним резистивным и одним емкостным элементами. Чтобы закон был правильным, температуры во всех точках внутри тела должны быть примерно одинаковыми в каждый момент времени, включая температуру на его поверхности. Таким образом, разница температур между телом и окружающей средой не зависит от того, какая часть тела выбрана, поскольку все части тела имеют одинаковую температуру. В этих ситуациях материал тела не действует, чтобы «изолировать» другие части тела от теплового потока, и вся значительная изоляция (или «тепловое сопротивление»), контролирующая скорость теплового потока в данной ситуации, находится в область контакта тела с окружающей средой. Через эту границу происходит скачок температуры скачками.

В таких ситуациях тепло может передаваться снаружи внутрь тела через изолирующую границу путем конвекции, теплопроводности или диффузии, пока граница служит относительно плохим проводником по отношению к внутренней части объекта. Наличие физического изолятора не требуется, если процесс, который служит для передачи тепла через границу, является «медленным» по сравнению с кондуктивным переносом тепла внутри тела (или внутри интересующей области - «комка»). описано выше).

В такой ситуации объект действует как «емкостной» элемент схемы, а сопротивление теплового контакта на границе действует как (одиночный) термический резистор. В электрических цепях такая комбинация будет заряжаться или разряжаться до входного напряжения в соответствии с простым экспоненциальным законом во времени. В тепловом контуре эта конфигурация приводит к тому же поведению температуры: экспоненциальному приближению температуры объекта к температуре ванны.

Математическое утверждение

Закон Ньютона математически формулируется простым дифференциальным уравнением первого порядка:

${\displaystyle {\frac {dQ}{dt}}=-h\cdot A(T(t)-T_{\text{env}})=-h\cdot A\Delta T(t)\quad }$

куда

Q тепловая энергия в джоули

час это коэффициент теплопередачи между поверхностью и жидкостью

А площадь поверхности передаваемого тепла

Т - температура поверхности и внутренней части объекта (поскольку в этом приближении они совпадают)

Т_env это температура окружающей среды

ΔТ (т) = Т (т) - Т_env это зависящая от времени тепловая градиент между средой и объектом

Включение теплопередачи в эту форму иногда не очень хорошее приближение, в зависимости от соотношений теплопроводности в системе. Если различия не велики, точная формулировка теплопередачи в системе может потребовать анализа теплового потока на основе (переходного) уравнения теплопередачи в неоднородной или плохо проводящей среде.

Решение по теплоемкости объекта

Если все тело рассматривать как накопитель тепла с сосредоточенной емкостью, с общим теплосодержанием, которое пропорционально простому общему количеству теплоемкость ${\displaystyle C}$, и ${\displaystyle T}$, температура тела, или ${\displaystyle Q=CT}$. Ожидается, что система испытает экспоненциальный спад со временем в температуре тела.

Из определения теплоемкости ${\displaystyle C}$ приходит отношение ${\displaystyle C=dQ/dT}$. Дифференциация этого уравнения по времени дает тождество (действительное, пока температура в объекте одинакова в любой момент времени): ${\displaystyle dQ/dt=C(dT/dt)}$. Это выражение можно использовать для замены ${\displaystyle dQ/dt}$ в первом уравнении, которое начинается в этом разделе выше. Тогда, если ${\displaystyle T(t)}$ температура такого тела во времени ${\displaystyle t}$, и ${\displaystyle T_{env}}$ это температура окружающей среды вокруг тела:

${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}=-r(T(t)-T_{\mathrm {env} })=-r\Delta T(t)\quad }$

куда

${\displaystyle r=hA/C}$ - положительная постоянная характеристика системы, которая должна быть в единицах ${\displaystyle s^{-1}}$, и поэтому иногда выражается в терминах характеристики постоянная времени ${\displaystyle t_{0}}$ предоставлено: ${\displaystyle t_{0}=1/r=-\Delta T(t)/(dT(t)/dt)}$. Таким образом, в тепловых системах ${\displaystyle t_{0}=C/hA}$. (Общая теплоемкость ${\displaystyle C}$ системы может быть дополнительно представлена ​​ее массой -удельная теплоемкость ${\displaystyle c_{p}}$ умноженный на его массу ${\displaystyle m}$, так что постоянная времени ${\displaystyle t_{0}}$ также дается ${\displaystyle mc_{p}/hA}$).

Решение этого дифференциального уравнения стандартными методами интегрирования и подстановки граничных условий дает:

${\displaystyle T(t)=T_{\mathrm {env} }+(T(0)-T_{\mathrm {env} })\ e^{-rt}.\quad }$

Если:

${\displaystyle \Delta T(t)\quad }$ определяется как : ${\displaystyle T(t)-T_{\mathrm {env} }\ ,\quad }$ куда ${\displaystyle \Delta T(0)\quad }$ - начальная разница температур в момент времени 0,

тогда ньютоновское решение записывается как:

${\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T(0)\ e^{-rt}=\Delta T(0)\ e^{-t/t_{0}}.\quad }$

Это же решение почти сразу становится очевидным, если исходное дифференциальное уравнение записать в терминах ${\displaystyle \Delta T(t)}$, как единственную функцию, для которой необходимо решить.

${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}={\frac {d\Delta T(t)}{dt}}=-{\frac {1}{t_{0}}}\Delta T(t)\quad }$

Приложения

Этот режим анализа был применен к судебная медицина анализировать время смерти людей. Также его можно применить к HVAC (отопление, вентиляция и кондиционирование воздуха, которые можно назвать «контролем микроклимата в здании»), чтобы гарантировать почти мгновенный эффект изменения настройки уровня комфорта.^[3]

Механические системы

Упрощающие допущения в этой области:

• все объекты твердые тела;
• все взаимодействия между твердыми телами происходят через кинематические пары (суставы), пружины и демпферы.

Акустика

В этом контексте модель сосредоточенных компонентов расширяет распределенные концепции Акустическая теория подлежит приближению. В акустической модели сосредоточенных компонентов некоторые физические компоненты с акустическими свойствами могут быть аппроксимированы как ведущие себя аналогично стандартным электронным компонентам или простым комбинациям компонентов.

• Полость с жесткими стенками, содержащая воздух (или подобную сжимаемую жидкость), может быть аппроксимирована как конденсатор величина которого пропорциональна объему полости. Достоверность этого приближения зависит от того, что самая короткая интересующая длина волны значительно (намного) больше, чем самый длинный размер резонатора.
• А рефлекторный порт можно приблизительно представить как индуктор значение которого пропорционально эффективной длине порта, деленной на его площадь поперечного сечения. Эффективная длина - это фактическая длина плюс конец исправления. Это приближение основано на том, что самая короткая интересующая длина волны значительно больше, чем самый длинный размер порта.
• Некоторые типы демпфирующего материала можно приблизительно представить как резистор. Стоимость зависит от свойств и габаритов материала. Приближение основано на том, что длина волны достаточно велика, и на свойствах самого материала.
• А громкоговоритель привод (обычно вуфер или же сабвуфер приводной блок) можно представить как последовательное соединение нулевогосопротивление Напряжение источник, a резистор, а конденсатор и индуктор. Значения зависят от технических характеристик устройства и интересующей длины волны.

Теплообмен для зданий

Упрощающее предположение в этой области состоит в том, что все механизмы теплопередачи являются линейными, что означает, что излучение и конвекция линеаризованы для каждой проблемы.

Можно найти несколько публикаций, в которых описывается, как создавать модели зданий с сосредоточенными элементами. В большинстве случаев здание считается единой тепловой зоной, и в этом случае превращение многослойных стен в сосредоточенные элементы может быть одной из самых сложных задач при создании модели. Метод доминирующего слоя - это простой и достаточно точный метод.^[4] В этом методе один из слоев выбирается в качестве доминирующего слоя во всей конструкции, этот слой выбирается с учетом наиболее важных частот проблемы. В своей диссертации^[5]

Модели зданий с сосредоточенными элементами также использовались для оценки эффективности внутренних энергетических систем путем запуска множества симуляций при различных сценариях погоды в будущем.^[6]

Гидравлические системы

Модели с сосредоточенными элементами могут использоваться для описания жидкостных систем с использованием напряжения для представления давления и тока для представления потока; идентичные уравнения из представления электрической схемы действительны после замены этих двух переменных. Такие приложения могут, например, изучать реакцию сердечно-сосудистой системы человека на желудочковое вспомогательное устройство имплантация. ^[7]

Смотрите также

• Системный изоморфизм

Рекомендации

1. Анант Агарвал и Джеффри Ланг, материалы курса для 6.002 Circuits and Electronics, Spring 2007. MIT OpenCourseWare (PDF ), Массачусетский Институт Технологий.
2. Incropera; ДеВитт; Бергман; Лавин (2007). Основы тепломассообмена (6-е изд.). Джон Вили и сыновья. стр.260 –261. ISBN  978-0-471-45728-2.
3. Теплопередача - практический подход от Юнус А. Ценгель
4. Рамалло-Гонсалес, А.П., Имс, М.Э. и Коли, Д.А., 2013. Модели с сосредоточенными параметрами для теплового моделирования зданий: аналитический подход к упрощению сложных многослойных конструкций. Энергия и строительство, 60, стр 174-184.
5. Рамалло-Гонсалес, А. П. 2013. Моделирование и оптимизация зданий с низким энергопотреблением. Кандидат наук. Университет Эксетера.
6. Купер, С.Дж., Хаммонд, Г.П., Макманус, М.К., Рамалло-Гонслес, А., Роджерс, Дж. Г., 2014. Влияние условий эксплуатации на производительность бытовых систем отопления с тепловыми насосами и микрокогенерацией на топливных элементах. Энергия и строительство, 70, стр. 52-60.
7. Фарахманд М., Каварана М.Н., Надежный П.М., Кунг Е.О. «Целевой рабочий диапазон давления и потока для разработки неисправного устройства поддержки кавопульмональной поддержки фонтана» IEEE Transactions по биомедицинской инженерии. DOI: 10.1109 / TBME.2020.2974098 (2020)

внешняя ссылка

• Передовые методы моделирования и симуляции магнитных компонентов
• Приложение IMTEK Mathematica (IMS), приложение IMTEK Mathematica Supplement (IMS) с открытым исходным кодом для сосредоточенного моделирования