Метабелевская группа - Metabelian group

В математика, а метабелева группа это группа чей коммутаторная подгруппа является абелевский. Эквивалентно группа грамм метабелев тогда и только тогда, когда существует абелева нормальная подгруппа А так что факторгруппа G / A абелева.

Подгруппы метабелевых групп метабелевы, как и образы метабелевых групп над групповые гомоморфизмы.

Метабелевы группы разрешимый. На самом деле это в точности разрешимые группы производная длина максимум 2.

Примеры

• Любой группа диэдра метабелева, так как имеет циклическую нормальную подгруппу индекс 2. В общем, любые обобщенная группа диэдра метабелева, так как имеет абелеву нормальную подгруппу индекса 2.
• Если F это поле, группа аффинные карты ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$ (куда а ≠ 0) действующий на F метабелев. Здесь абелева нормальная подгруппа - это группа чистых переводов ${\displaystyle x\mapsto x+b}$, а абелева фактор-группа есть изоморфный к группе гомотетии ${\displaystyle x\mapsto ax}$. Если F это конечное поле с q элементов, эта метабелева группа порядок q(q − 1).
• Группа прямые изометрии из Евклидова плоскость метабелев. Это похоже на приведенный выше пример, поскольку элементы снова являются аффинными отображениями. Сдвиги плоскости образуют абелеву нормальную подгруппу группы, а соответствующий фактор - это круговая группа.
• Конечная Группа Гейзенберга ЧАС_3,п порядка п³ метабелев. То же самое верно для любой группы Гейзенберга, определенной над звенеть (группа верхнетреугольный Матрицы 3 × 3 с элементами в коммутативное кольцо ).
• Все нильпотентные группы класса 3 и менее являются метабелевыми.
• В группа фонарщиков метабелев.
• Все группы заказа п⁵ метабелевы (для простых п).MSE
• Все группы порядка менее 24 являются метабелевыми.

В отличие от этого последнего примера, симметричная группа S₄ порядка 24 не является метабелевой, так как его коммутаторная подгруппа неабелева переменная группа А₄.

Рекомендации

• Робинсон, Дерек Дж. (1996), Курс теории групп, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94461-6

внешняя ссылка

• Райан Виснески, Разрешаемые группы (подраздел Метабелевы группы)
• Groupprops, вики по свойствам группы Метабелевская группа