Минимальный идеал - Minimal ideal

В филиале абстрактная алгебра известный как теория колец, а минимальный правый идеал из звенеть р ненулевой правильный идеал в котором нет другого ненулевого правого идеала. Точно так же минимальный левый идеал является ненулевым левым идеалом р не содержащий других ненулевых левых идеалов р, а минимальный идеал из р является ненулевым идеалом, не содержащим других ненулевых двусторонних идеалов р. (Айзекс 2009, п. 190)

Другими словами, минимальные правые идеалы минимальные элементы из посеть ненулевых правых идеалов р заказал по включению. Читателя предупреждают, что вне этого контекста некоторые наборы идеалов могут допускать нулевой идеал, и поэтому нулевой идеал потенциально может быть минимальным элементом в этом множестве. Так обстоит дело с позицией главные идеалы кольца, которое может включать нулевой идеал в качестве минимальный простой идеал.

Определение

Определение минимального правого идеала N кольца р эквивалентно следующим условиям:

  • N отлично от нуля и если K правильный идеал р с {0} ⊆ K ⊆ N, то либо K = {0} или же K = N.
  • N это просто верно р-модуль.

Минимальные правые идеалы - это двойное понятие к максимальные правые идеалы.

Характеристики

Многие стандартные факты о минимальных идеалах можно найти в стандартных текстах, таких как (Андерсон и Фуллер 1992 ), (Айзекс 2009 ), (Лам 2001 ), и (Лам 1999 ).

  • В кольцо с единством, максимальные правые идеалы всегда существуют. Напротив, минимальные правые, левые или двусторонние идеалы в кольце с единицей могут не существовать.
  • Право цоколь кольца является важной структурой, определенной в терминах минимальных правых идеалов р.
  • Кольца, каждый правый идеал которых содержит минимальный правый идеал, - это в точности кольца с существенным правым цоколем.
  • Любое право Артинианское кольцо или право Кольцо Kasch имеет минимальный правый идеал.
  • Домены это не делительные кольца не имеют минимальных правых идеалов.
  • В кольцах с единицей минимальные правые идеалы обязательно основные правые идеалы, потому что для любого ненулевого Икс в минимальном правом идеале N, набор xR является ненулевым правым идеалом р внутри N, и так xR = N.
  • Лемма Брауэра: Любой минимальный правый идеал N в кольце р удовлетворяет N2 = {0} или же N = eR для некоторых идемпотентный элемент е из р. (Лам 2001, п. 162)
  • Если N1 и N2 неизоморфные минимальные правые идеалы р, то продукт N1N2 равно {0}.
  • Если N1 и N2 - различные минимальные идеалы кольца р, тогда N1N2 = {0}.
  • А простое кольцо с минимальным правым идеалом является полупростое кольцо.
  • В полупервичное кольцо, существует минимальный правый идеал тогда и только тогда, когда существует минимальный левый идеал. (Лам 2001, п. 174)

Обобщение

Ненулевой подмодуль N правого модуля M называется минимальный подмодуль если он не содержит других ненулевых подмодулей M. Эквивалентно, N является ненулевым подмодулем M который является простой модуль. Это также может быть расширено на бимодули вызывая ненулевой подбимодуль N а минимальный суббимодуль из M если N других ненулевых подбимодулей нет.

Если модуль M считается правильным р-модуль рр, то очевидно, что минимальные подмодули - это в точности минимальные правые идеалы модуля р. Точно так же минимальные левые идеалы р - в точности минимальные подмодули левого модуля рр. В случае двусторонних идеалов мы видим, что минимальные идеалы р являются в точности минимальными подбимодулями бимодуля ррр.

Как и в случае с кольцами, нет гарантии, что в модуле существуют минимальные подмодули. Минимальные подмодули могут использоваться для определения цоколь модуля.

Рекомендации

  • Андерсон, Фрэнк У .; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей, Тексты для выпускников по математике, 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. X + 376, ISBN  0-387-97845-3, МИСТЕР  1245487
  • Айзекс, И. Мартин (2009) [1994], Алгебра: аспирантура, Аспирантура по математике, 100, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. Xii + 516, ISBN  978-0-8218-4799-2, МИСТЕР  2472787
  • Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98428-5, МИСТЕР  1653294
  • Лам, Т. Ю. (2001), Первый курс некоммутативных колец, Тексты для выпускников по математике, 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 385, ISBN  0-387-95183-0, МИСТЕР  1838439

внешняя ссылка