Смешанный биномиальный процесс - Mixed binomial process

А смешанный биномиальный процесс это особенный точечный процесс в теория вероятности. Они естественно возникают из-за ограничений (смешанный ) Пуассоновские процессы ограниченные интервалы.

Определение

Позволять ${\displaystyle P}$ быть распределение вероятностей и разреши ${\displaystyle X_{i},X_{2},\dots }$ быть i.i.d. случайные переменные с распределением ${\displaystyle P}$. Позволять ${\displaystyle K}$ быть случайной величиной, принимающей п.н. (почти наверняка) значения в ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}}$. Предположим, что ${\displaystyle K,X_{1},X_{2},\dots }$ находятся независимый и разреши ${\displaystyle \delta _{x}}$ обозначить Мера Дирака по делу ${\displaystyle x}$.

Потом случайная мера ${\displaystyle \xi }$ называется смешанным биномиальным процессом, если он имеет представление как

${\displaystyle \xi =\sum _{i=0}^{K}\delta _{X_{i}}}$

Это эквивалентно ${\displaystyle \xi }$ условно на ${\displaystyle \{K=n\}}$ будучи биномиальный процесс на основе ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle P}$.^[1]

Свойства

Преобразование Лапласа

При условии ${\displaystyle K=n}$, смешанный биномиальный процесс имеет Преобразование Лапласа

${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)=\left(\int \exp(-f(x))\;P(\mathrm {d} x)\right)^{n}}$

для любого позитива, измеримая функция ${\displaystyle f}$.

Ограничение на ограниченные множества

Для точечного процесса ${\displaystyle \xi }$ и ограниченное измеримое множество ${\displaystyle B}$ определить ограничение${\displaystyle \xi }$ на ${\displaystyle B}$ так как

${\displaystyle \xi _{B}(\cdot )=\xi (B\cap \cdot )}$.

Смешанные биномиальные процессы устойчивы при ограничениях в том смысле, что если ${\displaystyle \xi }$ смешанный биномиальный процесс, основанный на ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle K}$, тогда ${\displaystyle \xi _{B}}$ смешанный биномиальный процесс, основанный на

${\displaystyle P_{B}(\cdot )={\frac {P(B\cap \cdot )}{P(B)}}}$

и некоторая случайная величина ${\displaystyle {\tilde {K}}}$.

Также если ${\displaystyle \xi }$ это Пуассоновский процесс или смешанный пуассоновский процесс, тогда ${\displaystyle \xi _{B}}$ представляет собой смешанный биномиальный процесс.^[2]

Примеры

Случайные меры пуассоновского типа представляют собой семейство из трех случайных счетных мер, замкнутых при ограничении на подпространство, т.е. замкнутых при прореживании, которые являются примерами смешанных биномиальных процессов. Это единственные распределения в семействе распределений канонического неотрицательного степенного ряда, обладающие этим свойством и включающие распределение Пуассона, отрицательное биномиальное распределение, и биномиальное распределение. Случайные меры пуассоновского типа (ПТ) включают Случайная мера Пуассона, отрицательная биномиальная случайная мера и биномиальная случайная мера^[3].

использованная литература

1. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Спрингер. п. 72. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.
2. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Спрингер. п. 77. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.
3. Калеб Бастиан, Грегори Ремпала. Бросание камней и сбор костей: поиск случайных мер, подобных Пуассону, Математические методы в прикладных науках, 2020. DOI: 10.1002 / MMA.6224