Случайные меры пуассоновского типа - Poisson-type random measures

Случайные меры пуассоновского типа представляют собой семейство из трех случайных считающих мер, замкнутых при ограничении на подпространство, т. е. замкнутых относительно прореживания. Это единственные распределения в семействе распределений канонического неотрицательного степенного ряда, обладающие этим свойством и включающие распределение Пуассона, отрицательное биномиальное распределение, и биномиальное распределение.^[1] Семейство распределений PT также известно как семейство распределений Каца,^[2] Панджер или (a, b, 0) класс распределений^[3] и может быть получен через Распределение Конвея – Максвелла – Пуассона.^[4].

Метание камней

Позволять ${\displaystyle K}$ быть неотрицательной целочисленной случайной величиной ${\displaystyle K\in \mathbb {N} _{\geq 0}=\mathbb {N} _{>0}\cup \{0\}}$) с законом ${\displaystyle \kappa }$, иметь в виду ${\displaystyle c\in (0,\infty )}$ и когда существует отклонение ${\displaystyle \delta ^{2}>0}$. Позволять ${\displaystyle \nu }$ - вероятностная мера на измеримое пространство ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$. Позволять ${\displaystyle \mathbf {X} =\{X_{i}\}}$ набор iid случайных величин (камней), принимающих значения в ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ с законом ${\displaystyle \nu }$.

Мера случайного подсчета ${\displaystyle N}$ на ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ зависит от пары детерминированных вероятностных мер ${\displaystyle (\kappa ,\nu )}$ сквозь каменное строительство (STC) ^[5]

${\displaystyle \quad N_{\omega }(A)=N(\omega ,A)=\sum _{i=1}^{K(\omega )}\mathbb {I} _{A}(X_{i}(\omega ))\quad {\text{for}}\quad \omega \in \Omega ,\,\,\,A\in {\mathcal {E}}}$

куда ${\displaystyle K}$ имеет закон ${\displaystyle \kappa }$ и iid ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsb }$ иметь закон ${\displaystyle \nu }$. ${\displaystyle N}$ это смешанный биномиальный процесс^[6]

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{+}=\{f:E\mapsto \mathbb {R} _{+}\}}$ быть сборником положительных ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-измеримые функции. Вероятностный закон ${\displaystyle N}$ закодирован в Функционал Лапласа

${\displaystyle \quad \mathbb {E} e^{-Nf}=\mathbb {E} (\mathbb {E} e^{-f(X)})^{K}=\mathbb {E} (\nu e^{-f})^{K}=\psi (\nu e^{-f})\quad {\text{for}}\quad f\in {\mathcal {E}}_{+}}$

куда ${\displaystyle \psi (\cdot )}$ является производящей функцией ${\displaystyle K}$. В иметь в виду и отклонение даны

${\displaystyle \quad \mathbb {E} Nf=c\nu f}$

и

${\displaystyle \quad \mathbb {V} {\text{ar}}Nf=c\nu f^{2}+(\delta ^{2}-c)(\nu f)^{2}}$

В ковариация для произвольных ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {E}}_{+}}$ дан кем-то

${\displaystyle \quad \mathbb {C} {\text{ov}}(Nf,Ng)=c\nu (fg)+(\delta ^{2}-c)\nu f\nu g}$

Когда ${\displaystyle K}$ является пуассоновским, отрицательным биномом или биномом, он называется Типа Пуассона (ПТ). Совместное распространение коллекции ${\displaystyle N(A),\ldots ,N(B)}$ это для ${\displaystyle i,\ldots ,j\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle i+\cdots +j=k}$

${\displaystyle \mathbb {P} (N(A)=i,\ldots ,N(B)=j)=\mathbb {P} (N(A)=i,\ldots ,N(B)=j|K=k)\,\mathbb {P} (K=k)={\frac {k!}{i!\cdots j!}}\,\nu (A)^{i}\cdots \nu (B)^{j}\,\mathbb {P} (K=k)}$

Следующий результат расширяет построение случайной меры ${\displaystyle N=(\kappa ,\nu )}$ на тот случай, когда сбор ${\displaystyle \mathbf {X} }$ расширяется до ${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\{(X_{i},Y_{i})\}}$ куда ${\displaystyle Y_{i}}$ является случайным преобразованием ${\displaystyle X_{i}}$. Эвристически, ${\displaystyle Y_{i}}$ представляет некоторые свойства (марки) ${\displaystyle X_{i}}$. Мы предполагаем, что условный закон ${\displaystyle Y}$ следует некоторому переходному ядру согласно ${\displaystyle \mathbb {P} (Y\in B|X=x)=Q(x,B)}$.

Теорема: отмеченный STC

Рассмотрим случайную меру ${\displaystyle N=(\kappa ,\nu )}$ и ядро ​​вероятности перехода ${\displaystyle Q}$ из ${\displaystyle (E,{\cal {E)}}}$ в ${\displaystyle (F,{\cal {F)}}}$. Предположим, что для данной коллекции ${\displaystyle \mathbf {X} }$ переменные ${\displaystyle \mathbf {Y} =\{Y_{i}\}}$ условно независимы с ${\displaystyle Y_{i}\sim Q(X_{i},\cdot )}$. потом ${\displaystyle M=(\kappa ,\nu \times Q)}$ случайная мера на ${\displaystyle (E\times F,{\cal {E\otimes F)}}}$. Здесь ${\displaystyle \mu =\nu \times Q}$ понимается как ${\displaystyle \mu (dx,dy)=\nu (dx)Q(x,dy)}$. Причем для любого ${\displaystyle f\in ({\cal {E}}\otimes {\cal {F}})_{+}}$ у нас есть это ${\displaystyle \mathbb {E} e^{-Mf}=\psi (\nu e^{-g})}$ куда ${\displaystyle \psi (\cdot )}$ это pgf из ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle g\in {\mathcal {E}}_{+}}$ определяется как ${\displaystyle e^{-g(x)}=\int _{F}Q(x,dy)e^{-f(x,y)}.}$

Следующее следствие является непосредственным следствием.

Следствие: ограниченный STC

Количество ${\displaystyle N_{A}=(N\mathbb {I} _{A},\nu _{A})}$ является корректно определенной случайной мерой на измеримом подпространстве ${\displaystyle (E\cap A,{\mathcal {E}}_{A})}$ куда ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{A}=\{A\cap B:B\in {\mathcal {E}}\}}$ и ${\displaystyle \nu _{A}(B)=\nu (A\cap B)/\nu (A)}$. Причем для любого ${\displaystyle f\in {\mathcal {E}}_{+}}$у нас есть это ${\displaystyle \mathbb {E} e^{-N_{A}f}=\psi (\nu e^{-f}\mathbb {I} _{A}+b)}$ куда ${\displaystyle b=1-\nu (A)}$.

Примечание ${\displaystyle \psi (\nu e^{-f}\mathbb {I} _{A}+1-a)=\psi _{A}(\nu _{A}e^{-f})}$ где мы используем ${\displaystyle \nu e^{-f}\mathbb {I} _{A}=a\nu _{A}e^{-f}}$.

Сбор костей

Вероятностный закон случайной меры определяется ее функционалом Лапласа и, следовательно, производящей функцией.

Определение: кость

Позволять ${\displaystyle K_{A}=N\mathbb {I} _{A}}$ быть счетной переменной ${\displaystyle K}$ ограниченный ${\displaystyle A\subset E}$. Когда ${\displaystyle \{N\mathbb {I} _{A}:A\subset E\}}$ и ${\displaystyle K=N\mathbb {I} _{E}}$ имеют одну и ту же семью законов, подлежащих изменению масштаба ${\displaystyle h_{a}(\theta )}$ параметра ${\displaystyle \theta }$, тогда ${\displaystyle K}$ называется кость распределение. В состояние костей для pgf дается${\displaystyle \psi _{\theta }(at+1-a)=\psi _{h_{a}(\theta )}(t)}$.

Основываясь на понятии распределения и состояния костей, основной результат существования и уникальности случайных счетных мер пуассоновского типа (ПТ) заключается в следующем.

Теорема: существование и единственность PT случайных мер

Предположить, что ${\displaystyle K\sim \kappa _{\theta }}$ с pgf ${\displaystyle \psi _{\theta }}$ принадлежит к семейству распределений канонических неотрицательных степенных рядов (NNPS) и ${\displaystyle \{0,1\}\subset {\text{supp}}(K)}$. Рассмотрим случайную меру ${\displaystyle N=(\kappa _{\theta },\nu )}$ в космосе ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ и предположим, что ${\displaystyle \nu }$ диффузный. Тогда для любого ${\displaystyle A\subset E}$ с ${\displaystyle \nu (A)=a>0}$ существует отображение ${\displaystyle h_{a}:\Theta \rightarrow \Theta }$ такая, что ограниченная случайная мера ${\displaystyle N_{A}=(\kappa _{h_{a}(\theta )},\nu _{A})}$, то есть,

${\displaystyle \quad \mathbb {E} e^{-N_{A}f}=\psi _{h_{a}(\theta )}(\nu _{A}e^{-f})\quad {\text{for}}\quad f\in {\mathcal {E}}_{+}}$

если только ${\displaystyle K}$ является пуассоновским, отрицательным биномом или биномом (Типа Пуассона).

Доказательство этой теоремы основано на обобщенном аддитивном уравнении Коши и его решениях. Теорема утверждает, что из всех распределений NNPS только PT обладает тем свойством, что их ограничения ${\displaystyle N\mathbb {I} _{A}}$ имеют то же семейство распределения, что и ${\displaystyle K}$, то есть закрываются при прореживании. Случайные меры PT - это Случайная мера Пуассона, отрицательная биномиальная случайная мера и биномиальная случайная мера. Пуассон добавка с независимостью от непересекающихся множеств, тогда как отрицательный бином имеет положительную ковариацию, а биномиальный - отрицательную ковариацию. В биномиальный процесс является предельным случаем биномиальной случайной меры, где ${\displaystyle p\rightarrow 1,n\rightarrow c}$.

Распределительные приложения самоподобия

Состояние "кости" на pgf ${\displaystyle \psi _{\theta }}$ из ${\displaystyle K}$ кодирует свойство самоподобия распределения, посредством которого все подсчеты в ограничениях (прореживаниях) подпространств (кодируются pgf ${\displaystyle \psi _{A}}$) принадлежат к той же семье, что и ${\displaystyle \psi _{\theta }}$ из ${\displaystyle K}$ путем изменения масштаба канонического параметра. Эти идеи кажутся тесно связанными с идеями саморазложимости и устойчивости дискретных случайных величин.^[7]. Биномиальное прореживание - это базовая модель для подсчета временных рядов.^[8][9]. В Случайная мера Пуассона обладает хорошо известным свойством расщепления, является прототипом класса аддитивных (полностью случайных) случайных мер и связана со структурой Леви процессы, прыжки Уравнения Колмогорова (процесс марковского скачка), и экскурсии Броуновское движение.^[10] Следовательно, свойство самоподобия семейства PT является фундаментальным для множества областей. Члены семейства PT - это «примитивы» или прототипы случайных мер, с помощью которых могут быть построены многие случайные меры и процессы.

Рекомендации

1. Калеб Бастиан, Грегори Ремпала. Бросание камней и сбор костей: поиск случайных мер, подобных Пуассону, Математические методы в прикладных науках, 2020. DOI: 10.1002 / MMA.6224
2. Кац Л. Классические и заразные дискретные распределения гл. Единая трактовка широкого класса дискретных распределений вероятностей,: 175-182. Pergamon Press, Оксфорд, 1965.
3. Пенджер Гарри Х .. Рекурсивная оценка семейства составных распределений. 1981; 12 (1): 22-26.
4. Конвей Р. У., Максвелл У. Л. Модель массового обслуживания с зависимой от государства скоростью обслуживания. Журнал промышленной инженерии. 1962; 12.
5. Чинлар Эрхан. Вероятность и стохастика. Springer-Verlag New York; 2011 г.
6. Калленберг Олав. Случайные меры, теория и приложения. Springer; 2017 г.
7. Стейтель Ф. В., Ван Харн К. Дискретные аналоги саморазложимости и устойчивости. Анналы вероятности. 1979;: 893–899.
8. Аль-Ош М.А., Альзаид А.А. Целочисленный автогрессивный процесс первого порядка (INAR (1)). Журнал анализа временных рядов. 1987. 8 (3): 261–275.
9. Скотто Мануэль Г., Вайс Кристиан Х., Гувейя Сония. Истончение моделей при анализе целочисленных временных рядов: обзор. Статистическое моделирование. 2015; 15 (6): 590–618.
10. Чинлар Эрхан. Вероятность и стохастика. Springer-Verlag New York; 2011 г.