N-группа (теория конечных групп) - N-group (finite group theory)

Не путать с n-группа (теория категорий).

В математике теория конечных групп, N-группа это группа, все локальные подгруппы (т.е. нормализаторы нетривиальных п-подгруппы) являются разрешимые группы. Неразрешаемые были классифицированы по Томпсон во время его работы по поиску всех минимальных конечных простых групп.

Простые N-группы

Простые N-группы были классифицированы Томпсоном (1968, 1970, 1971, 1973, 1974, 1974b ) в серии из 6 статей общим объемом около 400 страниц.

Простые N-группы состоят из специальные линейные группы PSL2(q), PSL3(3), Группы Suzuki Sz (22п+1) унитарная группа U3(3), переменная группа А7, то Группа Матье M11, а Группа синицы. (Группа Титса была упущена из виду в первоначальном заявлении Томсона в 1968 г., но Хирн указал, что это также была простая N-группа.) В более общем плане Томпсон показал, что любая неразрешимая N-группа является подгруппой Aut (грамм) содержащий грамм для некоторой простой N-группы грамм.

Горенштейн и Лион (1976) обобщил теорему Томпсона на случай групп, когда все 2-локальные подгруппы разрешимы. Единственные дополнительные простые группы, которые появляются, это унитарные группы U3(q).

Доказательство

Горенштейн (1980, 16.5) дает сводку классификации Томпсона N-групп.

Простые числа, делящие порядок группы, делятся на четыре класса π1, π2, π3, π4 следующее

  • π1 это набор простых чисел п так что силовский п-подгруппа нетривиальна и циклическая.
  • π2 это набор простых чисел п так что силовский п-подгруппа п нециклический, но SCN3(п) пусто
  • π3 это набор простых чисел п так что силовский п-подгруппа п имеет SCN3(п) непустой и нормализует нетривиальную абелеву подгруппу порядка, простого с п.
  • π4 это набор простых чисел п так что силовский п-подгруппа п имеет SCN3(п) непустое, но не нормализует нетривиальную абелеву подгруппу порядка, простого с п.

Доказательство разбивается на несколько случаев в зависимости от того, к какому из этих четырех классов принадлежит простое число 2, а также от целого числа е, которое является наибольшим целым числом, для которого существует элементарный абелев подгруппа ранга е нормализована нетривиальной 2-подгруппой, тривиально пересекающей ее.

  • Томпсон (1968) Дает общее введение, формулирует основную теорему и доказывает множество предварительных лемм.
  • Томпсон (1970) характеризует группы E2(3) и S4(3) (в обозначениях Томпсона; это исключительная группа грамм2(3) и симплектическая группа Sp4(3)), которые не являются N-группами, но характеризация которых необходима для доказательства основной теоремы.
  • Томпсон (1971) покрывает случай, когда 2∉π4. Теорема 11.2 показывает, что если 2∈π2 тогда группа PSL2(q), M11, А7, U3(3) или PSL3(3). Возможность того, что 2∈π3 исключается, показав, что любая такая группа должна быть C-группой, и используя классификацию Сузуки C-групп, чтобы проверить, что ни одна из групп, найденных Сузуки, не удовлетворяет этому условию.
  • Томпсон (1973) и Томпсон (1974) покрывают случаи, когда 2∈π4 и е≥3, или е= 2. Он показывает, что либо грамм это C-группа так что группа Судзуки, или удовлетворяет его характеристике групп E2(3) и S4(3) в его второй статье, которые не являются N-группами.
  • Томпсон (1974) покрывает случай, когда 2∈π4 и е= 1, где единственная возможность состоит в том, что грамм это C-группа или Группа синицы.

Последствия

А минимальная простая группа является нециклической простой группой, все собственные подгруппы которой разрешимы. Полный список минимальных конечных простых групп представлен следующим образом Томпсон (1968 г., следствие 1)

  • PSL2(2п), п прайм.
  • PSL2(3п), п нечетное простое число.
  • PSL2(п), п > 3 простое число, конгруэнтное 2 или 3 по модулю 5
  • Sz (2п), п нечетное простое число.
  • PSL3(3)

Другими словами, нециклический конечная простая группа должен иметь подфактор, изоморфный одной из этих групп.

Рекомендации